Changements de fonctions et de variables

De nombreuses méthodes ont été inventées pour ramener certaines équations aux cas étudiés dans les sections précédentes. L'idée générale consiste à modifier soit la fonction inconnue soit la variable. Nous nous contenterons dans cette section de donner un exemple pour chacun des deux cas.

Le premier exemple est celui des équations de Bernoulli, qui se traitent par un changement de fonction.

$$y'(t) = a(t)y(t)+b(t)y^\alpha(t)\;,$$

avec $\alpha$ différent de 0 et $1$. Observons tout d'abord que pour $\alpha>0$, la fonction nulle est solution de cette équation. Pour trouver les autres solutions, on remplace la fonction inconnue $y$ par $z=y^{1-\alpha}$. En dérivant, on obtient :

$$z'(t) = (1-\alpha)y'(t)y^{-\alpha}(t) = (1-\alpha)(a(t)y^{1-\alpha}(t)+b(t))\;,$$

soit

$$z'(t) = (1-\alpha)a(t) z(t) + (1-\alpha)b(t)\;,$$

qui est une équation linéaire. Par exemple :

$$y'(t) = \frac{y(t)}{2t}+\frac{1}{2ty(t)}\;.$$

Le changement de fonction $z(t) = y^2(t)$ conduit à :

$$z'(t) =\frac{z(t)}{t}+\frac{1}{t}\;.$$

La solution générale de cette équation linéaire est $z(t) =Ct-1$, sur $]-\infty,0[$, ou bien $]0,+\infty[$. On en déduit les solutions de l'équation de Bernoulli initiale, sous la forme $y(t) = \sqrt{Ct-1}$, définie seulement si $Ct-1\geqslant 0$.

Nous donnons maintenant un exemple de changement de variable, avec les équations d'Euler.

$$t^2y''(t) = aty'(t)+by(t)+h(t)\;,$$

où $a$ et $b$ sont deux constantes, $h$ une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Pour $t\in \mathbb{R}^{+*}$, on pose $t=\mathrm{e}^x$, et $z(x)=y(\mathrm{e}^x)$. On a alors :

$$z'(x)=\mathrm{e}^xy'(\mathrm{e}^x) = ty'(t)\;.$$

En dérivant une fois de plus,

$$z''(x) = \mathrm{e}^xy'(\mathrm{e}^x)+\mathrm{e}^{2x}y''(\mathrm{e}^x)=ty'(t)+t^2y''(t)\;.$$

Pour $t\in\mathbb{R}^{-*}$, le changement de variable $t=-\mathrm{e}^x$ conduit aux mêmes expressions de $z'$ et $z''$ en fonction de $t$ et $y$. On se ramène ainsi, pour $t\in \mathbb{R}^{+*}$, à l'équation linéaire du second ordre en $z$ :

$$z''(x)=(a+1)z'(x)+bz(x)+h(\mathrm{e}^x)$$

Par exemple, l'équation $t^2y''(t)=-ty'(t)-y(t)$, se ramène à $z''(x) = -z(x)$, dont la solution générale est $\big\{ C_1\cos(x)+C_2\sin(x) ,\;(C_1,C_2)\in\mathbb{R}^2 \big\}$. La solution générale sur $\mathbb{R}^{+*}$ (respectivement : $\mathbb{R}^{-*}$) s'obtient en remplaçant $x$ par $\ln(t)$ (respectivement : $\ln(-t)$).