Équations linéaires avec second membre

Cette section est consacrée à la résolution d'équations du type suivant :

$$y'(t) = a(t) y(t) +b(t)\;,$$ (5)

où $a(t)$ et $b(t)$ sont deux fonctions données, définies et continues sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$, et la fonction inconnue $y$ doit être définie et dérivable sur un intervalle ouvert $J$, inclus dans $I$. La fonction $b$ est le second membre.

Théorème 2   Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$. Soient $a$ et $b$ deux fonctions définies et continues sur $I$. Soit $A : I\to\mathbb{R}$ une primitive de $a$ sur $I$. Soit $y_p(t)$ une solution particulière de (5), définie sur $I$.

L'ensemble des solutions sur $I$ de (5) est l'ensemble des fonctions $y$ de $I$ dans $\mathbb{R}$, telles que :

$$y(t) = y_p(t) + C \mathrm{e}^{A(t)}\;,$$

où $C$ est une constante réelle.

On retiendra que la solution générale de l'équation $y'(t) = a(t) y(t)+b(t)$ est la somme d'une solution particulière et de la solution générale de l'équation sans second membre $y'(t) = a(t) y(t)$. L'ensemble des solutions de (5) est une droite affine, passant par $y_p$, dont la droite vectorielle associée est l'ensemble des solutions de l'équation sans second membre. Démonstration : Une fonction $y$ est solution de (5), si et seulement si la différence $y(t)-y_p(t)$ est solution de l'équation sans second membre (3). Il suffit alors d'appliquer le théorème 1. $\square$ Le théorème 2 suppose la connaissance d'une solution particulière $y_p$. Ne rêvons pas : les solutions «évidentes»  ne le sont jamais. Vous pouvez toujours essayer de trouver une solution constante : $y_p(t)\equiv y_0$. Il y en a parfois ; mais s'il n'y en pas, vous perdriez votre temps à essayer de deviner une solution particulière en cherchant au hasard. Mieux vaut utiliser la méthode dite de variation de la constante. Elle consiste à rechercher les solutions de (5) sous la forme suivante.

$$y(t) = C(t) \mathrm{e}^{A(t)}\;.$$

On remplace donc la constante $C$ dans la solution générale de l'équation sans second membre (3), par une fonction de $t$. C'est pour cela que l'on parle de variation de la constante. À partir de cette expression de $y(t)$, on calcule $y'(t)$, puis $y'(t)-a(t) y(t)$, qui doit être égal à $b(t)$.

$$\begin{array}{rcl} y(t) &=& \displaystyle{C(t) \exp\left(A(... ...laystyle{C'(t)\exp\left(A(t)\right) \;=\; b(t)\;. } \end{array}$$

On en déduit alors $C'(t)$, puis une primitive $C(t)$, que l'on reporte dans l'expression de $y(t)$. On obtient l'expression suivante, qu'il est conseillé de ne pas retenir.

$$y(t) = \left(\exp\left(\int_{t_0}^t a(s) \mathrm{d}s\right)\righ... ...b(s) \exp\left(-\int_{t_0}^s a(u) \mathrm{d}u\right) \mathrm{d}s\right)\;.$$

Voici un exemple.

$$y'(t) = -\frac{2t}{1+t^2} y(t) +t\;.$$

Commençons par résoudre l'équation sans second membre.

$$\begin{array}{lcl} y'(t)&=&\displaystyle{-\frac{2t}{1+t^2} ... ... [2ex] y(t) &=& \displaystyle{ \frac{C}{1+t^2}\;. } \end{array}$$

La solution générale de l'équation sans second membre est :

$$y(t) = \frac{C}{1+t^2}\;,$$

où $C$ est une constante réelle quelconque. Cherchons maintenant une solution de l'équation de départ, en remplaçant $C$ par une fonction $C(t)$ dans la solution générale de l'équation sans second membre.

$$\begin{array}{rcl} y(t) &=& \displaystyle{ \frac{C(t)}{1+t^2... ...}{2}+\frac{t^4}{4}}{1+t^2} +\frac{C(0)}{1+t^2}\;. } \end{array}$$

La solution générale de l'équation avec second membre est :

$$y(t)= \frac{\frac{t^2}{2}+\frac{t^4}{4}}{1+t^2} +\frac{C}{1+t^2}\;.$$

Comme dans le cas sans second membre, la donnée d'une condition initiale détermine une solution unique. Il est inutile d'écrire l'expression générale de cette solution. On l'obtient en calculant la constante $C$ à partir de la solution générale. Voici par exemple le calcul pour la solution de l'équation précédente vérifiant $y(1)=3$.

$$y(1)= \frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}{2} +\frac{C}{2}\;,$$

d'où on tire $C=\frac{21}{4}$.