Équations à coefficients constants

Cette section est consacrée aux équations du type suivant.

$$y'' = ay'+by\;,$$ (6)

où $a$ et $b$ sont deux réels donnés. Avant d'énoncer le résultat qui donne la solution générale de (6), commençons par chercher une solution sous la forme $y(t) = \mathrm{e}^{r t}$.

$$y(t)=\mathrm{e}^{r t}\;;\quad y'(t)=r \mathrm{e}^{r t}\;;\quad y''(t) = r^2 \mathrm{e}^{r t}\;.$$

Si on reporte ces expressions dans (6), on peut simplifier par $\mathrm{e}^{r t}$ qui est toujours non nul. On obtient l'équation suivante en $r$.

$$r^2=ar+b\;.$$ (7)

Cette équation porte le nom d'équation caractéristique associée (ECA). C'est la condition nécessaire et suffisante pour que $y(t) = \mathrm{e}^{r t}$ soit solution de (6). La solution générale de (6) s'exprime à l'aide des racines de l'ECA.

Théorème 3   Soit $E$ l'ensemble des solutions de (6), définies sur $\mathbb{R}$. L'ensemble $E$ est un sous-espace vectoriel de dimension $2$ de $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$. Si l'équation caractéristique associée possède

1. deux racines réelles distinctes $r_1$ et $r_2$, alors :
   $$E = \big\{ t\mapsto C_1 \mathrm{e}^{r_1 t} + C_2 \mathrm{e}^{r_2 t} ,\; (C_1,C_2)\in \mathbb{R}^2 \big\}$$

2. une racine double $r$, alors :
   $$E = \big\{ t\mapsto C_1 \mathrm{e}^{rt} + C_2 t\mathrm{e}^{rt} ,\; (C_1,C_2)\in \mathbb{R}^2 \big\}$$

3. deux racines complexes conjuguées $\alpha+\mathrm{i}\beta$ et $\alpha-\mathrm{i}\beta$, alors :
   $$E = \big\{ t\mapsto C_1 \mathrm{e}^{\alpha t} \cos(\beta t) +... ... \mathrm{e}^{\alpha t} \sin(\beta t) ,\; (C_1,C_2)\in \mathbb{R}^2 \big\}\;.$$

Voici des exemples illustrant les trois cas (vérifiez les calculs).

$$\begin{array}{\vert c\vert c\vert c\vert c\vert} \hline&&&\\... ...os(3t)+C_2\mathrm{e}^{-2t}\sin(3t) [1.5ex] \hline \end{array}$$

Démonstration : Nous donnons ici une démonstration élémentaire, sans aucun outil d'algèbre linéaire. Nous commençons par le cas où l'équation caractéristique associée a son discriminant positif ou nul, c'est-à-dire soit deux solutions réelles distinctes, soit une solution double. Nous avons déjà vérifié que $t\mapsto \mathrm{e}^{r t}$ est solution de (6) si et seulement si $r$ est solution de l'équation caractéristique associée. Dans le cas où $r$ est racine double, vous vérifierez que $t\mapsto t\mathrm{e}^{ rt}$ est aussi solution de (6). Or si $y_1$ et $y_2$ sont deux solutions de (6), alors pour tous $C_1,C_2\in\mathbb{R}$, la fonction $C_1y_1+C_2y_2$ est encore solution (donc $E$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^\mathbb{R}$). Ceci montre que dans les 2 premiers cas, toutes les fonctions proposées sont bien des solutions de l'équation différentielle. Nous devons prouver que ce sont les seules.

Soit $r$ une racine de l'équation caractéristique associée. Soit $y$ une fonction telle que $y''=ay'+by$. Considérons la fonction $z$ définie pour tout $t\in\mathbb{R}$ par :

$$z(t)=y(t)\mathrm{e}^{-r t}\;\Longleftrightarrow\;y(t)=z(t)\mathrm{e}^{r t}\;.$$

Écrivons en fonction de $z$ les dérivées successives de $y$.

$$y(t) = \mathrm{e}^{r t}z(t)$$

$$y'(t) = r\mathrm{e}^{r t}z(t)+\mathrm{e}^{r t}z'(t)$$

$$y''(t) = r^2\mathrm{e}^{r t}z(t)+2r\mathrm{e}^{r t}z'(t)+\mathrm{e}^{r t}z''(t)$$

Multiplions $y$ par $b$, $y'$ par $a$, $y''$ par $-1$ et ajoutons. Comme $r$ vérifie $r^2=ar+b$, les termes en $z(t)$ disparaissent, et après simplification par $\mathrm{e}^{r t}$ il reste :

$$(a-2r)z'(t)-z''(t)=0\;.$$

Donc $z'$ vérifie une équation linéaire du premier ordre. Le théorème 1 donne la solution générale :

$$z'(t)= C\mathrm{e}^{(a-2r) t} ,\;C\in\mathbb{R}\;.$$

Observons que dans l'équation caractéristique associée, la somme des deux racines est égale à $a$. Il peut se faire que $a-2r$ soit nul : c'est le cas si $r$ est racine double. Dans ce cas :

$$z(t)=Ct+C_2\;\Longleftrightarrow\;y(t)=\mathrm{e}^{rt}(C t+ C_2)\;.$$

C'est le point 2 du théorème.

Supposons maintenant $(a-2r)\neq 0$ : l'équation caractéristique associée a deux racines réelles distinctes, qui sont $r$ et $a-r$.

$$z(t)=\frac{C}{a-2r}\mathrm{e}^{(a-2r) t} +C_2 \;\Longrightarrow\; y(t)=\frac{C}{a-2r}\mathrm{e}^{(a-r) t} +C_2\mathrm{e}^{r t}\;.$$

En posant $C_1=C/(a-2r)$, ceci démontre le point 1 du théorème.

Le cas où l'équation caractéristique associée a deux racines complexes est un peu plus délicat si vous n'avez pas l'habitude de dériver des fonctions à valeurs complexes. Nous nous contenterons d'esquisser l'argument. Il se trouve que tout ce que nous venons de dire pour des racines réelles, reste vrai pour des racines complexes. La même démonstration prouve que l'ensemble des fonctions à valeurs complexes vérifiant $y''=ay+b$ est :

$$E = \big\{ t\mapsto {\cal C}_1 \mathrm{e}^{(\alpha+\mathrm{i}... ...a-\mathrm{i}\beta) t} ,\; ({\cal C}_1,{\cal C}_2)\in \mathbb{C}^2 \big\}\;.$$

Reste à extraire de cet ensemble les fonctions à valeurs réelles. Pour qu'une des fonctions écrites ci-dessus ne prenne que des valeurs réelles pour $t\in\mathbb{R}$, il est nécessaire et suffisant que les deux constantes ${\cal C}_1$ et ${\cal C}_2$ soient deux complexes conjugués. L'ensemble des fonctions à valeurs réelles solution de l'équation (6) peut donc s'écrire :

$$E = \big\{ t\mapsto (c_1+\mathrm{i}c_2) \mathrm{e}^{(\alpha+\... ...hrm{e}^{(\alpha-\mathrm{i}\beta) t} ,\; (c_1,c_2)\in \mathbb{R}^2 \big\}\;.$$

Or :

$$\mathrm{e}^{(\alpha+\mathrm{i}\beta) t} =\mathrm{e}^{\alpha t} \big( \cos(\beta t)+\mathrm{i}\sin(\beta t) \big)$$   et$$\quad \mathrm{e}^{(\alpha-\mathrm{i}\beta) t} =\mathrm{e}^{\alpha t} \big( \cos(\beta t)-\mathrm{i}\sin(\beta t) \big)\;.$$

On en déduit :

$$(c_1+\mathrm{i}c_2) \mathrm{e}^{(\alpha+\mathrm{i}\beta) t} +... ...1\mathrm{e}^{\alpha t}\cos(\beta t)-2c_2\mathrm{e}^{\alpha t}\sin(\beta t)\;.$$

D'où le résultat, en remplaçant $2c_1$ par $C_1$ et $-2c_2$ par $C_2$.$\square$