Fonction définie par une intégrale

Soit $f : (x,t)\longmapsto f(x,t)$ une fonction de deux variables, $x$ et $t$. Nous considérons $x$ comme un paramètre et $t\in [a,b]$ comme une variable d'intégration, permettant de définir

$$F(x) = \int_a^b f(x,t) \mathrm{d}t\;.$$

Pour que $F(x)$ existe, il suffit que les applications partielles $t\mapsto f(x,t)$ soient continues sur $I$. À ce stade du chapitre, vous ne devriez plus être surpris d'apprendre que cela ne garantit pas la continuité de la fonction $F$. Nous donnons des conditions suffisantes pour que $F$ soit continue, puis dérivable, puis intégrable.

Théorème 15   Soit $I$ un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$, $J=[a,b]$ un intervalle fermé borné, et $f$ une fonction continue sur $I\times J$, à valeurs dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Alors la fonction $F$ définie pour tout $x\in I$ par

$$F(x) = \int_a^b f(x,t) \mathrm{d}t\;,$$

est continue sur $I$.

Démonstration : Soit $x_0$ un point de $I$. Fixons $\alpha>0$ tel que l'intervalle fermé borné $[x_0-\alpha,x_0+\alpha]$ soit inclus dans $I$. Le théorème de Heine 9 s'applique à la fonction $f$ sur $[x_0-\alpha,x_0+\alpha]\times J$ : elle est donc uniformément continue. En particulier, pour tout $\varepsilon >0$, il existe $\eta>0$ tel que pour tout $t\in J$,

$$\vert x-x_0\vert<\eta \; \Longrightarrow \vert f(x,t)-f(x_0,t)\vert< \frac{\varepsilon }{b-a}\;.$$

Dans ce cas,

$$\vert F(x)-F(x_0)\vert = \displaystyle{\left\vert \int_a^b (f(x,t)-f(x_0,t) \mathrm{d}t \right\vert}$$

$$\leqslant \displaystyle{ \int_a^b \vert f(x,t)-f(x_0,t)\vert \mathrm{d}t}$$

$$\leqslant \displaystyle{ (b-a)\frac{\varepsilon }{b-a} = \varepsilon \;.}$$

$\square$

Théorème 16   Soit $I$ un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$, $J=[a,b]$ un intervalle fermé borné, et $f$ une fonction continue sur $I\times J$, à valeurs dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. On suppose que la dérivée partielle

$$(x,t)\longmapsto \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)$$

existe et est continue sur $I\times J$. Alors la fonction $F$ définie pour tout $x\in I$ par

$$F(x) = \int_a^b f(x,t) \mathrm{d}t\;,$$

est continûment dérivable sur $I$ et :

$$F'(x) = \int_a^b \frac{\partial f}{\partial x}(x,t) \mathrm{d}t\;.$$

Démonstration : Soit $x_0\in I$. Nous devons démontrer que pour tout $\varepsilon >0$, il existe $\eta>0$ tel que, pour tout $x\in ]x_0-\eta,x_0+\eta[$ :

$$\left\vert \frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0} - \int_a^b \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,t) \mathrm{d}t \right\vert<\varepsilon \;.$$

Écrivons :

$$\displaystyle{\left\vert F(x)-F(x_0)-(x-x_0)\int_a^b \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,t) \mathrm{d}t \right\vert}$$

$$= \displaystyle{\left\vert \int_a^b \left(f(x,t)-f(x_0,t)- (x-x_0)\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,t)\right) \mathrm{d}t \right\vert}$$

$$\leqslant \displaystyle{\int_a^b \left\vert f(x,t)-f(x_0,t) - (x-x_0)\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,t)\right\vert \mathrm{d}t\;.}$$

Par le théorème des accroissements finis, pour tout $t\in [a,b]$ il existe $x_1$ strictement compris entre $x_0$ et $x$, tel que

$$f(x,t)-f(x_0,t) = (x-x_0)\frac{\partial f}{\partial x}(x_1,t)\;.$$

Fixons $\delta>0$ tel que $[x_0-\delta,x_0+\delta]$ soit inclus dans $I$ : la dérivée partielle $\partial f/\partial x$ est uniformément continue sur $[x_0-\delta, x_0+\delta]\times [a,b]$, d'après le théorème de Heine 9. Il existe $\eta>0$ tel que pour tout $y$ tel que $\vert y-x_0\vert<\eta$ et pour tout $t\in [a,b]$,

$$\left\vert\frac{\partial f}{\partial x}(y,t)- \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,t)\right\vert< \frac{\varepsilon }{b-a}\;.$$

Si $\vert x-x_0\vert<\eta$, alors tout $x_1$ strictement compris entre $x_0$ et $x$ est encore tel que $\vert x_1-x_0\vert<\eta$, donc :

$$\left\vert\frac{\partial f}{\partial x}(x_1,t)- \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,t)\right\vert< \frac{\varepsilon }{b-a}\;.$$

En reportant dans l'expression ci-dessus, on obtient :

$$\displaystyle{ \left\vert f(x,t)-f(x_0,t)- (x-x_0)\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,t)\right\vert} = \displaystyle{ \left\vert(x-x_0)\frac{\partial f}{\partial x}(x_1,t)- (x-x_0)\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,t)\right\vert}$$

$$\leqslant \vert x-x_0\vert\frac{\varepsilon }{b-a}\;.$$

Il reste à intégrer entre $a$ et $b$ :

$$\left\vert F(x)-F(x_0)-(x-x_0)\int_a^b \frac{\partial f}{\partia... ...x_0\vert\frac{\varepsilon }{b-a} \mathrm{d}t =\vert x-x_0\vert\varepsilon \;,$$

d'où le résultat en divisant par $\vert x-x_0\vert$.$\square$

Théorème 17   Soit $I=[\alpha,\beta]$ un intervalle de $\mathbb{R}$, $J=[a,b]$ un intervalle fermé borné, et $f$ une fonction continue sur $I\times J$, à valeurs dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Alors la fonction $F$ définie pour tout $x\in I$ par

$$F(x) = \int_a^b f(x,t) \mathrm{d}t\;,$$

est intégrable sur $I$ et

$$\int_\alpha^\beta F(x) \mathrm{d}x = \int_\alpha^\beta\left(\int... ... = \int_a^b\left(\int_\alpha^\beta f(x,t) \mathrm{d}x\right) \mathrm{d}t\;.$$

Démonstration : Par le théorème 15, la fonction $F$ est continue sur $]\alpha,\beta[$, donc intégrable. Pour $z\in ]\alpha,\beta[$, considérons la fonction :

$$\varphi(x,t)= \int_{\alpha}^x f(y,t) \mathrm{d}y\;.$$

C'est une fonction continue sur $I\times J$. Sa dérivée partielle par rapport à $x$ est $f(x,t)$, qui est elle aussi continue sur $I\times J$. On peut donc lui appliquer le théorème précédent. La fonction qui à $x$ associe

$$\Phi(x) = \int_a^b \varphi(x,t) \mathrm{d}t= \int_a^b\left(\int_{\alpha}^x f(y,t) \mathrm{d}y\right) \mathrm{d}t$$

est dérivable et sa dérivée est :

$$\Phi'(x) = \int_a^bf(x,t) \mathrm{d}t\;.$$

On obtient donc, pour tout $x\in ]\alpha,\beta[$ :

$$\int_a^b\left(\int_{\alpha}^x f(y,t) \mathrm{d}y\right) \mathrm{d}t = \int_\alpha^x\left(\int_a^b f(y,t) \mathrm{d}t\right) \mathrm{d}y\;.$$

D'où le résultat.$\square$