Séries de fonctions

Comme vous le savez, la convergence d'une série est équivalente par définition à la convergence de la suite des sommes partielles. Les théorèmes portant sur la continuité, l'intégration et la dérivation d'une suite de fonctions s'appliquent aux suites de sommes partielles, donc aux séries de fonctions. Au-delà de la récriture des résultats de la section 1.2, l'enjeu principal de cette section sera de fournir des moyens de vérifier l'hypothèse principale de convergence uniforme, pour les sommes partielles d'une série.

Définition 5   Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de fonctions définies sur $I$, à valeurs dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. On note $(s_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite des sommes partielles :

$$\forall x\in I\;,\quad s_n(x) = \sum_{k=0}^n u_n(x)\;.$$

Soit $s$ une fonction de $I$ dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.

1. On dit que la série $\sum u_n$ converge simplement vers $s$ sur $I$ si la suite $(s_n)$ converge simplement vers $s$ sur $I$.
2. On dit que la série $\sum u_n$ converge uniformément vers $s$ sur $I$ si la suite $(s_n)$ converge uniformément vers $s$ sur $I$.

Les résultats suivants sont des traductions immédiates des théorèmes 4, 5 et 6.

Théorème 11   Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de fonctions continues sur $I$, à valeurs dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Soit $s$ une fonction de $I$ dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Si la série $\sum u_n$ converge uniformément vers $s$, alors $s$ est continue sur $I$.

Théorème 12   Soit $I=[a,b]$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de fonctions continues sur $I$, à valeurs dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Soit $s$ une fonction de $I$ dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Si la série $\sum u_n$ converge uniformément vers $s$, alors la série des primitives $\sum U_n$ définies sur $[a,b]$ par 

$$U_n(x) = \int_a^x u_n(t) \mathrm{d}t\;,$$

converge uniformément sur $[a,b]$ vers la fonction qui à $x$ associe

$$S(x) = \int_a^x s(t) \mathrm{d}t\;.$$

En particulier,

$$\sum_{n=0}^{+\infty}\left( \int_a^b u_n(t) \mathrm{d}t\right) =\int_a^b \left(\sum_{n=0}^{+\infty} u_n(t)\right) \mathrm{d}t\;.$$

Théorème 13   Soit $I=]a,b[$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de fonctions dérivables sur $]a,b[$, dont les dérivées $u'_n$ sont continues sur $]a,b[$. Soit $v$ une fonction de $I$ dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. On suppose que

1. la série $\sum u'_n$ converge uniformément vers $v$ sur $]a,b[$,
2. il existe $x_0\in ]a,b[$, tel que la série $\sum u_n(x_0)$ converge.

Alors la série $\sum u_n$ converge uniformément sur $]a,b[$ vers une fonction $s$, continûment dérivable sur $]a,b[$, telle que $s'=v$ :

$$\left(\sum_{n=0}^{+\infty} u_n\right)'(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} u'_n(x)\;.$$

La convergence uniforme d'une série n'est pas toujours facile à vérifier. Heureusement on dispose de conditions suffisantes assez simples.

Définition 6   Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de fonctions définies sur $I$, à valeurs dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. On dit que la série $\sum u_n$ converge normalement sur $I$ si la série $\sum \Vert u_n\Vert _\infty$ converge.

Proposition 2   Si une série converge normalement sur un intervalle, alors elle converge uniformément sur ce même intervalle.

Démonstration : Par définition de la norme uniforme, pour tout $x\in I$, $\vert u_n(x)\vert\leqslant \Vert u_n\Vert _\infty$. Par le théorème de comparaison des séries, $\sum\vert u_n(x)\vert$ converge, donc $\sum u_n(x)$ converge absolument. Soit $${s(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}u_n(x)}$$ sa somme.

$$\displaystyle{\left\vert s(x) - \sum_{k=0}^n u_k(x)\right\vert} = \displaystyle{\left\vert\sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k(x)\right\vert}$$

$$\leqslant \displaystyle{\sum_{k=n+1}^{+\infty} \vert u_k(x)\vert}$$

$$\leqslant \displaystyle{\sum_{k=n+1}^{+\infty} \Vert u_k\Vert _\infty\;. }$$

Le dernier majorant est le reste d'une série convergente, et il ne dépend pas de $x$ : la convergence est bien uniforme. $\square$ Il n'est pas indispensable de calculer $\Vert u_n\Vert _\infty$ explicitement : il suffit d'en connaître un majorant, qui soit le terme général d'une série convergente.

Corollaire 1   Soit $\sum v_n$ une série convergente telle que 

$$\forall n\in \mathbb{N} ,\;\forall x\in I\;,\quad \vert u_n(x)\vert\leqslant v_n\;.$$

Alors la série $\sum u_n$ est normalement, donc uniformément convergente.

L'autre critère utile est la version uniforme du théorème d'Abel.

Théorème 14   Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$, $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ deux suites de fonctions définies sur $I$ telles que :

1. Pour tout $x\in I$, la suite $(a_n(x))_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite décroissante de réels positifs.
2. La suite de fonctions $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge uniformément vers la fonction nulle.
3. Les sommes partielles de la suite $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ sont uniformément bornées :
   $$\exists M ,\;\forall n\in \mathbb{N}\;,\quad \vert b_0(x)+\cdots+b_n(x)\vert\leqslant M\;.$$
   Alors la série $\sum a_nb_n$ converge uniformément.

Démonstration : Les hypothèses assurent que $\sum a_nb_n$ converge simplement, par le théorème d'Abel pour les séries numériques. Notons $s(x)$ sa somme. Pour tout $n\geqslant 0$ et pour tout $x\in I$, posons $B_n(x)=b_0(x)+\cdots+b_n(x)$. Par hypothèse, la suite $(B_n(x))$ est uniformément bornée. Écrivons le reste de la série $\sum a_n(x)b_n(x)$ sous la forme suivante.

$$\vert s(x)-s_n(x)\vert = \displaystyle{\left\vert \sum_{k=n+1}^{+\infty}b_k(x)a_k(x)\right\vert}$$

$$= \displaystyle{\left\vert\sum_{k=n+1}^{+\infty}(B_k(x)-B_{k-1}(x))a_k(x)\right\vert}$$

$$= \displaystyle{\left\vert-B_n(x)a_{n+1}(x)+ \sum_{k=n+1}^{+\infty}B_k(x)(a_k(x)-a_{k+1}(x))\right\vert}$$

$$\leqslant \displaystyle{\left\vert-B_n(x)a_{n+1}(x)\right\vert+ \sum_{k=n+1}^{+\infty}\vert B_k(x)\vert(a_k(x)-a_{k+1}(x))}$$

$$\leqslant \displaystyle{2 M a_n(x)}$$

La suite $(a_n)$ converge uniformément vers 0, il en est donc de même de la suite $(\vert s-s_n\vert)$.$\square$ Rappelons que si l'intervalle $I$ est fermé borné, alors la convergence simple vers 0 d'une suite décroissante implique sa convergence uniforme, par le théorème de Dini 10. La convergence simple des $a_n$ vers 0 est donc suffisante dans l'hypothèse 2. Dans de nombreux cas, les $b_n$ ne dépendent pas de $x$, et donc la question de l'uniformité de la majoration des sommes partielles ne se pose pas : par exemple pour les séries alternées où $b_n=(-1)^n$. Considérons le cas où $b_n=\mathrm{e}^{\mathrm{i}nx}$. Les sommes partielles $B_n$ se calculent explicitement :

$$\begin{array}{lcl} \vert 1+\cdots+\mathrm{e}^{\mathrm{i}nx}\... ...\frac{2}{1-\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}}\right\vert}\;. \end{array}$$

Elles sont uniformément bornées, sur tout intervalle fermé borné ne contenant aucun réel de la forme $2k\pi ,\;k\in\mathbb{Z}$.