Intégrales convergentes

Comme si cela ne suffisait pas, nous avons encore une difficulté à ajouter ; que se passe-t-il si l'intégrale définissant une fonction est prise sur un intervalle infini, ou bien si la fonction à intégrer tend vers l'infini en un point ? La convergence d'une intégrale s'étudie en isolant les « problèmes» s'il y en a plusieurs. Chaque type de problème peut ensuite se ramener par un changement de variable, au cas d'une intégrale sur $[0,+\infty[$. Afin de ne pas alourdir les notations, nous nous limiterons à ce dernier cas. Soit $f : (x,t)\longmapsto f(x,t)$ une fonction définie sur $I\times [0,+\infty[$, où $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$. Supposons que l'intégrale de l'application partielle $t\longmapsto f(x,t)$ soit convergente sur $[0,+\infty[$. Nous souhaitons étudier la fonction qui à $x\in I$ associe

$$F(x)=\int_0^{+\infty} f(x,t) \mathrm{d}t\;.$$

Comme vous le savez, une intégrale convergente est définie comme une limite d'intégrales sur des intervalles bornés. Posons

$$F_A(x)= \int_0^A f(x,t) \mathrm{d}t$$   donc$$\quad F(x)=\lim_{A\to+\infty} F_A(x)\;.$$

Les résultats de la section précédente donnent des conditions sous laquelle $F_A(x)$ est continue, dérivable, intégrable, pour $A$ fixé. Pour passer à la limite quand $A$ tend vers l'infini, on ajoute comme d'habitude une hypothèse de convergence uniforme.

Définition 7    

1. On dit que l'intégrale $F(x)$ converge simplement si
   $$\underline{\forall x\in I} ,\; \forall \varepsilon >0 ,\;\exist... ...in\mathbb{N} ,\;\forall A>A_0\;, \quad \vert F_A(x)-F(x)\vert<\varepsilon \;.$$

2. On dit que l'intégrale $F(x)$ converge uniformément si
   $$\forall \varepsilon >0 ,\;\exists A_0\in\mathbb{N} ,\;\forall A... ...,\; \underline{\forall x\in I}\;, \quad \vert F_A(x)-F(x)\vert<\varepsilon \;.$$

Sous l'hypothèse de convergence uniforme, les résultats sont bien ceux que vous attendez.

Théorème 18   Si la fonction $f$ est continue sur $I\times \mathbb{R}^+$ et si l'intégrale $F(x)$ converge uniformément, alors la fonction $F$ est continue sur $I$.

Théorème 19   On suppose que la dérivée partielle

$$(x,t)\longmapsto \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)$$

existe et est continue sur $I\times \mathbb{R}^+$. On suppose de plus que son intégrale

$$\int_0^{+\infty} \frac{\partial f}{\partial x}(x,t) \mathrm{d}t$$

converge uniformément. Alors la fonction $F$ est continûment dérivable sur $I$ et :

$$F'(x) = \int_0^{+\infty} \frac{\partial f}{\partial x}(x,t) \mathrm{d}t\;.$$

Théorème 20   Si la fonction $f$ est continue sur $I\times \mathbb{R}^+$ et si l'intégrale $F(x)$ converge uniformément, alors la fonction $F$ est intégrable sur tout intervalle $[\alpha,\beta]\subset I$ et

$$\int_\alpha^\beta F(x) \mathrm{d}x = \int_\alpha^\beta\left(\int... ...0^{+\infty}\left(\int_\alpha^\beta f(x,t) \mathrm{d}x\right) \mathrm{d}t\;.$$

Nous ne donnerons la démonstration que pour la continuité : les deux autres résultats ont des démonstrations très proches, que nous vous engageons vivement à écrire à titre d'exercice. Démonstration : [du théorème 18] Soit $A_n$ une suite de réels, telle que

$$\lim_{n\to+\infty}A_n = +\infty\;.$$

Pour tout $n\in\mathbb{N}$, posons

$$F_{A_n}(x)= \int_0^{A_n} f(x,t) \mathrm{d}t\;.$$

Pour tout $n$, fixé, la fonction $F_{A_n}$ est continue, par application du théorème 15. Par définition, la suite de fonctions $(F_{A_n})_{n\in\mathbb{N}}$ converge (simplement) vers $F$. Il suffit de montrer que la convergence est uniforme pour en déduire la continuité de $F(x)$, par le théorème 4. C'est précisément ce qu'affirme l'hypothèse.$\square$ Les critères permettant de s'assurer qu'une intégrale converge uniformément ressemblent fort à ceux des séries.

Définition 8   Pour tout $t\in \mathbb{R}^+$, notons $f_t$ l'application partielle $x\longmapsto f(x,t)$. Rappelons que

$$\Vert f_t\Vert _\infty = \sup\{ \vert f(x,t)\vert ,\;x\in I \}\;.$$

On dit que l'intégrale $F(x)$ converge normalement, si l'intégrale

$$\int_0^{+\infty} \Vert f_t\Vert _\infty \mathrm{d}t$$

converge

Proposition 3   Si une intégrale converge normalement sur un intervalle, alors elle converge uniformément sur ce même intervalle.

Démonstration : Par définition de la norme uniforme, pour tout $x\in I$, $\vert f(x,t)\vert\leqslant \Vert f_t\Vert _\infty$. Par le théorème de comparaison des intégrales, $\int_0^{+\infty}\vert f(x,t)\vert \mathrm{d}t$ converge, donc $\int_0^{+\infty} f(x,t) \mathrm{d}t$ converge absolument.

$$\displaystyle{\left\vert F(x) - F_A(x)\right\vert} = \displaystyle{\left\vert\int_0^{+\infty}f(x,t) \mathrm{d}t -\int_0^Af(x,t) \mathrm{d}t\right\vert}$$

$$\leqslant \displaystyle{\int_{A}^{+\infty} \vert f(x,t)\vert \mathrm{d}t}$$

$$\leqslant \displaystyle{\int_{A}^{+\infty} \Vert f_t\Vert _\infty \mathrm{d}t }$$

Le dernier majorant est le reste d'une intégrale convergente, et il ne dépend pas de $x$ : la convergence est bien uniforme. $\square$ Il n'est pas indispensable de calculer $\Vert f_t\Vert _\infty$ explicitement : il suffit d'en connaître un majorant fonction de $t$, dont l'intégrale soit convergente.

Corollaire 2   Soit $g$ une fonction définie sur $\mathbb{R}^+$, telle que l'intégrale $\int_0^{+\infty} g(t) \mathrm{d}t$ soit convergente et telle que 

$$\forall t\in \mathbb{R}^+ ,\;\forall x\in I\;,\quad \vert f(x,t)\vert\leqslant g(t)\;.$$

Alors l'intégrale $F(x)$ est normalement, donc uniformément convergente.

L'utilisation de ce corollaire est tellement fréquente, qu'on a donné un nom à cette situation : on parle de convergence dominée.