Suites de fonctions

Nous commençons par expliciter à nouveau l'hypothèse de convergence uniforme dans le cas d'une suite de fonctions.

Définition 1   Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de fonctions définies sur $I$, à valeurs dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Soit $f$ une fonction de $I$ dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.

1. On dit que la suite $(f_n)$ converge simplement vers $f$ sur $I$ si
   $$\underline{\forall x\in I} ,\; \forall \varepsilon >0 ,\;\exist... ...in\mathbb{N} ,\;\forall n>n_0\;, \quad \vert f_n(x)-f(x)\vert<\varepsilon \;.$$

2. On dit que la suite $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $I$ si
   $$\forall \varepsilon >0 ,\;\exists n_0\in\mathbb{N} ,\;\forall n... ...,,\; \underline{\forall x\in I}\;,\quad \vert f_n(x)-f(x)\vert<\varepsilon \;.$$

La convergence uniforme est naturellement associée à la norme uniforme.

Définition 2   Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$, et $f$ une fonction définie sur $I$. On appelle norme uniforme de $f$ sur $I$, et on note $\Vert f\Vert _\infty$ la quantité

$$\Vert f\Vert _\infty = \sup\{ \vert f(x)\vert ,\;x\in I \}\;.$$

Rappelons que toute partie majorée de $\mathbb{R}$ admet une borne supérieure finie, et que par convention la borne supérieure d'une partie non majorée est $+\infty$. Vous apprendrez plus tard que les normes servent à évaluer les distances dans les espaces vectoriels, et vous saurez pourquoi celle-ci, parmi toutes les normes possibles dans les espaces vectoriels de fonctions, est affublée d'un indice $\infty$. Pour l'instant, elle va nous permettre de rendre la convergence uniforme un peu plus lisible.

Proposition 1   Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de fonctions définies sur $I$, à valeurs dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Soit $f$ une fonction de $I$ dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. La suite $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ si et seulement si

$$\lim_{n\to+\infty} \Vert f_n-f\Vert _\infty = 0$$

Démonstration : Reprenons la définition :

$$\forall \varepsilon >0 ,\;\exists n_0\in\mathbb{N} ,\;\forall n... ...,,\; \underline{\forall x\in I}\;,\quad \vert f_n(x)-f(x)\vert<\varepsilon \;.$$

Cette définition dit qu'à partir de $n_0$, $\varepsilon$ est un majorant de $\{ \vert f_n(x)-f(x)\vert ,\;x\in I \}$, ce qui entraîne que $\Vert f_n-f\Vert _\infty<\varepsilon$ (la borne supérieure est le plus petit des majorants). Donc $\Vert f_n(x)-f(x)\Vert _\infty$ tend vers 0.

Réciproquement, si $\Vert f_n(x)-f(x)\Vert _\infty$ tend vers 0, alors, pour tout $\varepsilon >0$, il existe $n_0$ tel que $\sup\{ \vert f_n(x)-f(x)\Vert ,\;x\in I \}<\varepsilon$, donc pour tout $x\in I$, $\vert f_n(x)-f(x)\Vert<\varepsilon$. $\square$ La figure 1 donne un support géométrique à votre intuition. Si $(f_n)$ converge uniformément vers $f$, alors pour $n$ assez grand, le graphe de $f_n$ reste dans un «tube» de largeur constante $\varepsilon$ autour du graphe de $f$.

Figure 1: Convergence uniforme d'une suite de fonctions.

La proposition 1 fournit un moyen de démontrer qu'une convergence est uniforme : il suffit de trouver un majorant $\alpha_n$ de l'ensemble $\{ \vert f_n(x)-f(x)\vert ,\;x\in I \}$, puis de montrer que $\alpha_n$ tend vers 0. Réciproquement, pour montrer qu'une convergence n'est pas uniforme, recherchez le maximum de $\vert f_n(x)-f(x)\vert$ : s'il ne tend pas vers 0, la convergence n'est pas uniforme. Par exemple $f_n : x\mapsto\mathbb{I}_{]0,\frac{1}{n}]}(x)$ converge simplement vers la fonction nulle, mais la convergence n'est pas uniforme car le maximum de $f_n$ est $1$. Avant d'étudier les conséquences de la convergence uniforme, insistons à nouveau sur le fait que la limite simple d'une suite de fonctions continues n'est pas nécessairement une fonction continue. Nous avons déjà donné l'exemple de $x\mapsto x^n$ sur $[0,1]$, en voici un autre. Pour tout $x\in\mathbb{R}$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$, soit $f_n(x)=(1+x^{2n})^{-1}$. La suite de fonctions $(f_n)$ converge simplement.

$$\lim_{n\to+\infty} f_n(x) = \left\{\begin{array}{lcl} 0&\mbox{si}... ...{2}&\mbox{si}& \vert x\vert=1\\ 1&\mbox{si}&\vert x\vert<1 \end{array}\right.$$

Si la convergence d'une suite de fonctions continues est uniforme, la limite est bien continue.

Théorème 4   Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de fonctions continues sur $I$, à valeurs dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Soit $f$ une fonction de $I$ dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Si la suite $(f_n)$ converge uniformément vers $f$, alors $f$ est continue sur $I$.

Démonstration : Pour tout $a\in I$,

$$\lim_{x\to a} f_n(x)=f_n(a)\;,$$

car $f_n$ est continue en $a$. Comme la convergence est uniforme, le théorème 2 donne :

$$\lim_{x\to a} f(x)= \lim_{x\to a}\left(\lim_{n\to +\infty} f_n(x)... ... +\infty}\left(\lim_{x\to a} f_n(x)\right)= \lim_{n\to +\infty} f_n(a)=f(a)\;.$$

$\square$ Il s'agit bien d'une condition suffisante : une limite non uniforme de fonctions continues peut très bien être continue : par exemple $f_n : x\mapsto\mathbb{I}_{]0,\frac{1}{n}]}(x)$ converge (simplement) vers la fonction nulle. Il en est d'ailleurs de même de $nf_n$. Or l'intégrale de $nf_n$ sur $[0,1]$ vaut $1$ : l'intégrale de la limite simple d'une suite de fonctions n'est pas forcément l'intégrale de la limite. Là encore, la convergence uniforme est la bonne hypothèse.

Théorème 5   Soit $I=[a,b]$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et et $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de fonctions continues sur $I$, à valeurs dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Soit $f$ une fonction de $I$ dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Si la suite $(f_n)$ converge uniformément vers $f$, alors la suite des primitives $(F_n)$ définies sur $[a,b]$ par 

$$F_n(x) = \int_a^x f_n(t) \mathrm{d}t\;,$$

converge uniformément sur $[a,b]$ vers la fonction qui à $x$ associe

$$F(x) = \int_a^x f(t) \mathrm{d}t\;.$$

En particulier,

$$\lim_{n\to+\infty}\left( \int_a^b f_n(t) \mathrm{d}t\right) =\int_a^b \left(\lim_{n\to+\infty} f_n(t)\right) \mathrm{d}t\;.$$

Démonstration : La fonction $f$ est limite uniforme d'une suite de fonctions continues, elle est donc continue (théorème 4). En tant que fonction continue, elle est intégrable sur $[a,b]$, et sa primitive $F$ est donc bien définie. De plus pour tout $x\in [a,b]$ :

$$\vert F_n(x)-F(x)\vert = \displaystyle{\left\vert \int_a^x (f_n(t)-f(t)) \mathrm{d}t \right\vert}$$

$$\leqslant \displaystyle{\int_a^x \vert f_n(t)-f(t)\vert \mathrm{d}t}$$

$$\leqslant (b-a)\Vert f_n-f\Vert _\infty\;.$$

Or par hypothèse, $\Vert f_n-f\Vert _\infty$ tend vers 0 : $\vert F_n(x)-F(x)\vert$ est majoré indépendamment de $x$ par un terme qui tend vers 0. Donc la suite $(F_n)$ converge vers $F$ uniformément sur $[a,b]$. $\square$ La convergence uniforme sur $I$ permet d'intégrer, mais pas de dériver, comme le montre l'exemple suivant.

$$f_n(x)=\sqrt{x^2+\frac{1}{n}}\;.$$

La suite $(f_n)$ converge uniformément sur $\mathbb{R}$ vers $f : x\mapsto \vert x\vert$. En effet, pour tout $x\in\mathbb{R}$ :

$$\vert f_n(x)-f(x)\vert= \left\vert\sqrt{x^2+\frac{1}{n}}-\sqrt{x^... ...leqslant \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{\sqrt{n}}} \leqslant\frac{1}{\sqrt{n}}\;.$$

Pourtant $f(x)$ n'est pas dérivable en 0, bien que la suite des dérivées $f'_n(x)$ converge (simplement).

$$\lim_{n\to +\infty} f'_n(x) = \left\{\begin{array}{rcl} -1&\mbox{si}&x<0\\ 0&\mbox{si}&x=0\\ +1&\mbox{si}&x>0 \end{array}\right.$$

Par contre, si la suite des dérivées converge uniformément, on peut intégrer, et ce qui est vrai pour les primitives doit l'être pour les dérivées, si on fait attention à bien ajuster la constante d'intégration.

Théorème 6   Soit $I=]a,b[$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de fonctions dérivables sur $]a,b[$, dont les dérivées $f'_n$ sont continues sur $]a,b[$. Soit $g$ une fonction de $I$ dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. On suppose que

1. la suite $(f'_n)$ converge uniformément vers $g$ sur $]a,b[$,
2. il existe $x_0\in ]a,b[$, tel que la suite $(f_n(x_0))_{n\in\mathbb{N}}$ converge.

Alors la suite $(f_n)$ converge uniformément sur $]a,b[$ vers une fonction $f$, continûment dérivable sur $]a,b[$, telle que $f'=g$ :

$$\left(\lim_{n\to+\infty} f_n\right)'(x) = \lim_{n\to+\infty} f'_n(x)\;.$$

Démonstration : Comme $(f'_n)$ est une suite de fonctions continues qui converge uniformément, sa limite $g$ est une fonction continue (théorème 4). Pour tout $x\in ]a,b[$, posons

$$f(x) = l+\int_{x_0}^x g(t) \mathrm{d}t$$   où$$\quad l=\lim_{n\to+\infty} f_n(x_0)\;.$$

Par le théorème fondamental de l'analyse, $f$ est continûment dérivable sur $]a,b[$ et sa dérivée est $g$. Or, pour tout $n\in\mathbb{N}$ et pour tout $x\in ]a,b[$,

$$f_n(x) = f_n(x_0)+\int_{x_0}^x f'_n(t) \mathrm{d}t\;.$$

Alors :

$$\vert f_n(x)-f(x)\vert = \displaystyle{\left\vert f_n(x_0) -l + \int_{x_0}^x (f'_n(t) - g(t)) \mathrm{d}t \right\vert}$$

$$\leqslant \displaystyle{\vert f_n(x_0) -l\vert + \int_{x_0}^x \vert f'_n(t) - g(t)\vert \mathrm{d}t}$$

$$\leqslant \vert f_n(x_0) -l\vert +(b-a)\Vert f'_n-g\Vert _\infty\;.$$

Or par hypothèse, $\Vert f'_n-g\Vert _\infty$ tend vers 0 : $\vert f_n(x)-f(x)\vert$ est majoré indépendamment de $x$ par un terme qui tend vers 0. Donc la suite $(f_n)$ converge vers $f$ uniformément sur $]a,b[$. $\square$