Section : Cours
Avant : Définition bifocale des coniques à
Après : Ellipse et cercle


Propriétés des tangentes

Rappels : dérivation vectorielle Soit $ t\longmapsto \u(t)$ une fonction d'un intervalle $ I$ de $ \mathbb{R}$ dans un espace vectoriel $ \overrightarrow{E}$ de dimension finie $ n$. On dit que cette fonction est dérivable si toutes les coordonnées $ x_1(t),\dots ,x_n(t)$ de $ \u(t)$ dans une base $ \mathcal B = (\vec{e}_1,\dots,\vec{e}_n)$ de $ \overrightarrow{E}$ le sont (cette propriété ne dépend pas de la base). Le vecteur $ x'_1(t)\vec{e}_1+\dots +x'_n(t)\vec{e}_n$ est alors indépendant de la base. On le note $ \u'(t)$.
On vérifie immédiatement que si deux fonctions $ t\longmapsto \u(t)$ et $ t\longmapsto \v(t)$ d'un intervalle $ I$ de $ \mathbb{R}$ dans un espace vectoriel euclidien $ \overrightarrow{E}$ sont dérivables, la fonction $ t\longmapsto \u(t)\cdot \v(t)$ de $ I$ dans $ \mathbb{R}$ est dérivable et que sa dérivée est $ t\longmapsto \u'(t)\cdot \v(t)+\u(t)\cdot \v'(t)$. En particulier, la fonction $ t\longmapsto \Vert\u(t)\Vert^2$ a pour dérivée $ t\longmapsto 2\u(t)\cdot \u'(t)$. On en déduit (dérivation d'une fonction composée) que la fonction $ t\longmapsto \Vert\u(t)\Vert$ est dérivable en tout point où elle ne s'annule pas et que sa dérivée en un tel point est égale à $ \dfrac{\u(t)}{\Vert\u(t)\Vert}\cdot \u'(t)$.
Une fonction $ t\longmapsto M(t)$ d'un intervalle $ I$ de $ \mathbb{R}$ dans un espace affine $ E$ est dite dérivable s'il existe un point $ O$ de $ E$ tel que la fonction $ t\longmapsto \overrightarrow{OM(t)}$ de $ I$ dans $ \overrightarrow{E}$ soit dérivable. On note alors $ \overrightarrow{M}'(t)$ sa dérivée (il résulte immédiatement de la relation de Chasles que ce vecteur ne dépend pas du point $ O$). La courbe de représentation paramétrique $ t\longmapsto M(t)$ admet alors en tout point de paramètre $ t$ où $ \overrightarrow{M}'(t)$ ne s'annule pas une tangente de vecteur directeur $ \overrightarrow{M}'(t)$.

Tangentes à la parabole

\includegraphics[width=0.5\textwidth]{tangenteparabole}

Soit $ M=M(t)$ une représentation paramétrique de la parabole et $ H=H(t)$ le projeté orthogonal de $ M$ sur la directrice $ D$. En dérivant par rapport à $ t$ la relation $ FM^2-HM^2=0$, on obtient $ 2\overrightarrow{FM}\cdot \overrightarrow{M}' - 2\overrightarrow{HM}\cdot (\overrightarrow{M}'-\overrightarrow{H}')=0$. Mais $ \overrightarrow{HM}\cdot \overrightarrow{H}'=0$ puisque le vecteur $ \overrightarrow{HM}$ est orthogonal à $ D$ et le vecteur $ \overrightarrow{H}'$ appartient à la direction de $ D$. Il en résulte $ \overrightarrow{FH}\cdot \overrightarrow{M}'=(\overrightarrow{FM}-\overrightarrow{HM})\cdot \overrightarrow{M}'=0$. La tangente en $ M$ à la parabole est donc orthogonale à la droite $ (FH)$, i.e. est la hauteur issue de $ M$ dans le triangle $ MFH$. Ce triangle étant isocèle en $ M$, cette tangente est aussi la médiatrice de $ [HF]$ et la bissectrice intérieure de l'angle en $ M$ de ce triangle.

Proposition 4   La tangente en un point $ M$ à la parabole de foyer $ F$ et de directrice $ D$ est la médiatrice de $ [HF]$, où $ H$ est le projeté orthogonal de $ M$ sur $ D$. C'est aussi la bissectrice intérieure de l'angle en $ M$ dans le triangle isocèle $ HMF$.

Il en résulte que tout rayon lumineux parallèle à l'axe d'un miroir parabolique se réfléchit en un rayon passant par le foyer : un miroir parabolique concentre donc la lumière au foyer. Cette propriété est utilisée dans certains télescopes et dans les fours solaires (voir section 3.4).

\includegraphics[width=0.5\textwidth]{miroir}

Tangentes aux coniques à centre Soit $ \Gamma$ l'ellipse de foyers $ F$ et $ F'$ et de demi-grand axe $ a$. En dérivant la relation $ FM+F'M=2a$, on obtient de même : $ \left( \dfrac{\overrightarrow{FM}}{\Vert\overrightarrow{FM}\Vert} + \dfrac{\ov... ...arrow{F'M}}{\Vert\overrightarrow{F'M}\Vert} \right) \cdot \overrightarrow{M}'=0$. Mais le vecteur $ \dfrac{\overrightarrow{MF}}{\Vert\overrightarrow{FM}\Vert} + \dfrac{\overrightarrow{MF'}}{\Vert\overrightarrow{F'M}\Vert}$ est somme de deux vecteurs directeurs unitaires des demi-droites $ [MF)$ et $ [MF')$ ; c'est donc un vecteur directeur de la bissectrice intérieure de l'angle en $ M$ du triangle $ MFF'$. Il en résulte que la tangente en $ M$ à l'ellipse est orthogonale à cette bissectrice intérieure : c'est donc la bissectrice extérieure de l'angle en $ M$ de ce triangle.

Dans le cas de l'hyperbole, on montre de même, en dérivant la relation $ FM-F'M=\pm 2a$ (chaque choix de signe correspondant à une branche de l'hyperbole), que la tangente en $ M$ est la bissectrice intérieure de l'angle en $ M$ du triangle $ MFF'$.

\includegraphics[width=0.45\textwidth]{tangenteellipse1} \includegraphics[width=0.45\textwidth]{tangentehyperbole1}

Ellipses et hyperboles homofocales

Les ellipses (resp. les hyperboles) de foyers $ F$ et $ F'$ fixés sont les lignes de niveau de la fonction $ M\mapsto MF+MF'$ (resp. $ M\mapsto \vert MF-MF'\vert$). Par tout point du plan n'appartenant pas au segment $ [FF']$ (resp. à la médiatrice de $ [FF']$ ou à la droite $ (FF')$ privée du segment $ [FF']$) passe donc une et une seule ellipse (resp. hyperbole) de foyers $ F$ et $ F'$. Il résulte de la démonstration précédente que ces deux coniques se coupent à angle droit, puisque les deux bissectrices en $ M$ du triangle $ MFF'$ sont perpendiculaires (les gradients des deux fonctions considérées sont en tout point orthogonaux). Les ellipses et les hyperboles de foyers fixés constituent donc deux familles de courbes orthogonales.

\includegraphics[width=0.6\textwidth]{homo}

La figure GeoGebra illustre ce résultat. Vous pouvez déplacer le point $ M$. L'ellipse et l'hyperbole de foyers $ F$ et $ F'$ passant par $ M$ sont représentées. C'est une appliquette Java créée avec GeoGebra ( www.geogebra.org) - Il semble que Java ne soit pas installé sur votre ordinateur, merci d'aller sur www.java.com
Génération tangentielle des coniques Soit $ D$ une droite du plan et $ F$ un point du plan n'appartenant pas à $ D$. L'ensemble des médiatrices des segments $ HF$, quand $ H$ parcourt $ D$ est alors l'ensemble des tangentes à la parabole de foyer $ F$ et de directrice $ D$. On dit que la parabole est l'enveloppe de cette famille de droites.

La figure GeoGebra illustre ce résultat. Vous pouvez déplacer le point $ H$ sur la directrice $ D$. La trace de la médiatrice du segment $ [FH]$ est représentée. C'est une appliquette Java créée avec GeoGebra ( www.geogebra.org) - Il semble que Java ne soit pas installé sur votre ordinateur, merci d'aller sur www.java.com

De même, si $ F$ et $ F'$ sont deux points distincts du plan et $ C$ le cercle de centre $ F'$ et de rayon $ 2a$, où $ a$ est un réel vérifiant $ FF'<2a$, l'ensemble des médiatrices des segments $ HF$, quand $ H$ parcourt $ C$ est l'ensemble des tangentes à l'ellipse de foyers $ F$ et $ F'$ et de grand axe $ 2a$. L'ellipse est donc l'enveloppe de cette famille de droites. Le cas de l'hyperbole est analogue (avec cette fois $ FF'>2a$).

\includegraphics[width=0.6\textwidth]{enveloppe}

Les deux figures GeoGebra illustrent cette propriété dans le cas de l'ellipse et de l'hyperbole résultat. Vous pouvez déplacer le point $ M$ sur le cercle directeur de centre $ F$. La trace de la médiatrice du segment $ [F'M]$ est représentée.
Cas de l'ellipse : C'est une appliquette Java créée avec GeoGebra ( www.geogebra.org) - Il semble que Java ne soit pas installé sur votre ordinateur, merci d'aller sur www.java.com
Cas de l'hyperbole : C'est une appliquette Java créée avec GeoGebra ( www.geogebra.org) - Il semble que Java ne soit pas installé sur votre ordinateur, merci d'aller sur www.java.com

Si vous préférez une version animée, vous pouvez regarder les deux figures ci-dessous :
Cas de l'ellipse : C'est une appliquette Java créée avec GeoGebra ( www.geogebra.org) - Il semble que Java ne soit pas installé sur votre ordinateur, merci d'aller sur www.java.com
Cas de l'hyperbole : C'est une appliquette Java créée avec GeoGebra ( www.geogebra.org) - Il semble que Java ne soit pas installé sur votre ordinateur, merci d'aller sur www.java.com


Section : Cours
Avant : Définition bifocale des coniques à
Après : Ellipse et cercle


         © UJF Grenoble, 2011                              Mentions légales