Ellipse et cercle

Rappels : affinité orthogonale

Définition 2   Soit $D$ une droite du plan et $\lambda$ un réel non nul. On appelle affinité orthogonale de base $D$ et de rapport $\lambda$ l'application du plan dans lui-même qui à tout point $M$ associe le point $M'$ défini par $\overrightarrow{mM'}=\lambda \, \overrightarrow{mM}$, où $m$ est le projeté orthogonal du point $M$ sur la droite $D$.

Si on rapporte le plan à un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ tel que le point $O$ appartienne à $D$ et que $\vec{i}$ soit un vecteur directeur de $D$, les coordonnées du point $M'$ sont données par $x'=x$, $y'=\lambda y$, où $(x,y)$ sont les coordonnées de $M$.

Une affinité orthogonale est une transformation affine. Elle conserve donc l'alignement, les milieux, le contact (ce qui signifie qu'elle transforme la tangente à une courbe en la tangente à la courbe image), et multiplie les aires par la valeur absolue du déterminant de sa partie linéaire, qui est ici le rapport de l'affinité. Elle laisse par ailleurs fixe tout point de sa base $D$.

Proposition 5   L'ellipse de représentation paramétrique $x=a\cos t$, $y=b\sin t$ dans un repère orthonormal $(O,\vec{i},\vec{j})$ est l'image du cercle de centre $O$ et de rayon $a$ par l'affinité orthogonale de base $Ox$ et de rapport $b/a$. Ce cercle est appelé cercle principal de l'ellipse.

Elle est aussi l'image du cercle de centre $O$ et de rayon $b$ par l'affinité orthogonale de base $Oy$ et de rapport $a/b$. Ce cercle est appelé cercle secondaire de l'ellipse.

Démonstration : Il suffit d'utiliser la représentation paramétrique $x=a\cos t$, $y=a\sin t$ (resp. $x=b\cos t$, $y=b\sin t$) du cercle principal (resp. secondaire) de l'ellipse. $\square$

Cette propriété permet de déduire un certain nombre de propriétés de l'ellipse de propriétés analogues pour le cercle.

Construction de l'ellipse par points et par tangentes

Pour construire à la règle et au compas un point $M$ de l'ellipse connaissant ses axes et ses cercles principal et secondaire, il suffit de tracer une demi-droite $\Delta$ d'origine le centre $O$ de l'ellipse ; soit $M_1$ le point d'intersection de $\Delta$ avec le cercle principal, $M_2$ le point d'intersection de $\Delta$ avec le cercle secondaire ; la parallèle au grand axe mené par par $M_2$ et la parallèle au petit axe menée par $M_1$ se coupent un point $M$ de l'ellipse. Le paramètre $t$ de ce point dans la représentation paramétrique $x=a\cos t, \; y=b \sin t$ est une mesure de l'angle $(Ox,\Delta)$ et est appelé anomalie excentrique du point $M$.

Pour construire la tangente en $M$ à l'ellipse, il suffit de tracer la tangente au cercle principal en $M_1$ ; si elle coupe le grand axe en $I$, la droite $(MI)$ est tangente à l'ellipse en $M$. On peut aussi construire le point d'intersection $J$ de la tangente en $M_2$ au cercle secondaire avec le petit axe ; les trois points $M$, $I$, $J$ sont alors alignés sur cette tangente.

Diamètres conjugués

On appelle corde d'une conique $\Gamma$ tout segment joignant deux points de $\Gamma$ et diamètre d'une conique à centre toute corde passant par le centre de cette conique.

Proposition 6   Soit $E$ une ellipse et $D$ une droite.

1. L'ensemble des milieux des cordes de $E$ parallèles à $D$ est le diamètre $[MM']$ de $E$ ayant pour extrémités les deux points $M$ et $M'$ de $E$ en lesquels la tangente à $E$ est parallèle à $D$.
2. L'ensemble des milieux des cordes de $E$ parallèles à $(MM')$ est le diamètre $[NN']$ de $E$ parallèle à $D$.

   Les diamètres $[MM']$ et $[NN']$ de $E$ sont dits conjugués.

Démonstration : Le parallélisme et les milieux sont conservés par toute affinité orthogonale. Il suffit donc de prendre l'image de $E$ par l'affinité orthogonale de base le grand axe qui transforme $E$ en son cercle principal $C$ et de démontrer la propriété pour $C$. Mais la propriété est évidente dans le cas d'un cercle, puisque l'ensemble des milieux des cordes d'un cercle parallèles à une droite donnée est le diamètre du cercle orthogonal à cette droite.$\square$

On remarquera que deux diamètres conjugués d'une ellipse ne sont en général pas orthogonaux : en effet une affinité orthogonale ne conserve pas l'orthogonalité.

La figure GeoGebra représente un cercle et l'ellipse image de ce cercle par une affinité orthogonale. Vous pouvez faire varier le rapport $r=b/a$ de l'affinité et déplacer le point $M$ sur le cercle. Les deux diamètres orthogonaux de ce cercle sont transformés par l'affinité en deux diamètres conjugués de l'ellipse.
C'est une appliquette Java créée avec GeoGebra ( www.geogebra.org) - Il semble que Java ne soit pas installé sur votre ordinateur, merci d'aller sur www.java.com Aire de l'ellipse

Proposition 7   L'aire intérieure à une ellipse de demi-axes $a$ et $b$ est égale à $\pi ab$.

Démonstration : Une affinité orthogonale de rapport $k>0$ multiplie les aires par $k$. L'aire intérieure à l'ellipse est donc $\dfrac{b}{a} \pi a^2=\pi a b$.$\square$

Remarque : il n'existe pas de formule simple pour la longueur de l'ellipse.

Construction de l'ellipse par le procédé dit de la bande de papier

Sur un segment $AB$ de longueur $a+b$ ($0<b<a$), on place un point $M$ tel que $AM=b$ (et donc $BM=a$). Quand $A$ et $B$ se déplacent respectivement sur deux axes orthogonaux $Ox$ et $Oy$, le point $M$ décrit un quart d'ellipse.

Démonstration : Soit $N$ tel que le quadrilatère $OBMN$ soit un parallélogramme et $m$ l'intersection de $(MN)$ et $Ox$ (i.e. le projeté orthogonal de $M$ sur $Ox$). Les triangles rectangles $mMA$ et $mNO$ étant semblables, le point $M$ se déduit du point $N$ par l'affinité orthogonale de base $Ox$ et de rapport $-\dfrac{b}{a}$. Mais le point $N$ décrit un quart de cercle de centre $O$ et de rayon $a$.$\square$

Projection orthogonale d'un cercle sur un plan

Proposition 8   Le projeté orthogonal d'un cercle $C$ de rayon $R$ de l'espace sur un plan $P$ est :

• un cercle de rayon $R$ si le plan $P$ est parallèle au plan de $C$ ;
• un segment de longueur $2R$ si le plan $P$ est perpendiculaire au plan de $C$ ;
• une ellipse de demi-grand axe $R$ et de demi-petit axe $R\cos \theta$, où $\theta$ est l'angle du plan $P$ avec le plan de $C$ si ce plan n'est ni parallèle ni perpendiculaire à $P$.

Démonstration : Si deux plans sont parallèles, le projeté orthogonal d'une figure sur l'un se déduit du projeté orthogonal de cette figure sur l'autre par une translation. Quitte à compléter par une translation, on peut donc supposer que le plan $P$ passe par le centre $O$ de $C$.

Soit $Q$ le plan de $C$. Le cas où $P$ et $Q$ sont parallèles est immédiat. Supposons donc $P$ et $Q$ sécants. Soit $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ un repère orthonormé de l'espace tel que $\vec{i}$ soit un vecteur directeur de la droite $D$ d'intersection de $P$ et $Q$ et $\vec{j}$ un vecteur de $P$. Soit $\u$ un vecteur unitaire de $Q$ orthogonal à $\vec{i}$ ; $(O,\vec{i},\u)$ est alors un repère orthonormé de $Q$. Le cercle $C$ admet dans ce repère la représentation paramétrique $\overrightarrow{OM(t)}=R\cos t \, \vec{i}+ R\sin t \, \u$ $(0\leq t\leq 2\pi)$. Les composantes du vecteur $\u$ dans la base $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ sont (quitte à changer le sens de $\vec{j}$ et $\vec{k}$) $(0,\cos \theta, \sin\theta)$. Il en résulte que $M(t)$ a pour coordonnées $(R\cos t,R\sin t \cos \theta,R\sin t \sin\theta)$ et son projeté orthogonal $m(t)$ sur $P$ pour coordonnées $(R\cos t, R \sin t \cos \theta,0)$. Si $P$ et $Q$ sont perpendiculaires, $\cos\theta=0$ et $m(t)$ parcourt un segment de longueur $2R$. Si $\cos\theta\not = 0$, on reconnaît la représentation paramétrique d'une ellipse dont le grand axe est le diamètre de $C$ porté par $D$ et le petit axe a pour longueur $2R\cos\theta$.$\square$