Section : dxcas
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Vrai ou Faux ?
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Il y a souvent plusieurs manières d'obtenir le même résultat en
Xcas. On s'efforcera de choisir les solutions les plus compactes.
Corrigé exercice 8.1
Exercice 8.2
Transformer la fraction rationnelle
en les fractions suivantes
Corrigé exercice 8.2
Exercice 8.3
Transformer la fraction rationnelle
en les fractions suivantes
Corrigé exercice 8.3
Exercice 8.4
On considère les fonctions
![$ f$](img24.gif)
définies par
Pour chacune de ces fonctions :
- Calculer une primitive
.
- Calculer
et montrer que
après simplifications.
Corrigé exercice 8.4
Exercice 8.5
On considère les intégrales définies
![$ I=\int_a^b f(x)\,dx$](img103.gif)
suivantes.
Pour chacune de ces intégrales :
- Calculer la valeur exacte, puis approchée de l'intégrale
.
- Pour
, puis
, et
pour tout
, on pose
, et
.
Calculer la valeur approchée de l'intégrale
par la
méthode des rectangles à gauche :
- Même question avec la méthode des trapèzes :
Corrigé exercice 8.5
Corrigé exercice 8.6
Corrigé exercice 8.7
Exercice 8.8
On considère les limites suivantes.
Pour chacune d'entre elles :
- Donner sa valeur exacte.
- Trouver une valeur de
telle que la distance de
à la
limite soit inférieure à
.
Corrigé exercice 8.8
Corrigé exercice 8.9
Corrigé exercice 8.10
Exercice 8.11
- Représenter la fonction
sur l'intervalle
.
Sur ce graphique, tracer aussi les représentations
des polynômes de Taylor de cette fonction en
, aux ordres
.
- Même question pour l'intervalle
.
- Représenter la fonction
sur l'intervalle
. Sur
le même graphique, superposer les représentations
des polynômes de Taylor de cette fonction en
, aux ordres
.
Corrigé exercice 8.11
Corrigé exercice 8.12
Corrigé exercice 8.13
Exercice 8.14
Pour chacune des courbes paramétrées suivantes, on choisira un
intervalle de valeurs du paramètre
assurant une représentation complète et suffisamment lisse.
-
-
-
Corrigé exercice 8.14
Corrigé exercice 8.15
Exercice 8.16
Le but de l'exercice est de visualiser un cône de différentes
manières.
- Représenter la surface d'équation
.
- Représenter la surface paramétrée définie par :
- En choisisant une valeur de
suffisamment grande, représenter la courbe
paramétrée définie par :
- Représenter la famille de courbes paramétrées définies par :
- Représenter le même cône en utilisant la fonction
cone
.
Corrigé exercice 8.16
Exercice 8.17
- Engendrer une liste
de
entiers au hasard entre
et
.
- Vérifier que l'ensemble des valeurs de
est contenu dans
.
- Extraire de la liste
toutes les valeurs
.
- Pour tout
, compter combien de valeurs de la liste
sont égales à
.
Corrigé exercice 8.17
Exercice 8.18
Si
![$ x$](img3.gif)
est un réel, la fraction continue à l'ordre
![$ n$](img32.gif)
de
![$ x$](img3.gif)
est
une liste
![$ [a_0,\ldots,a_n]$](img168.gif)
d'entiers, dont le premier terme
![$ a_0$](img169.gif)
est la partie entière de
![$ x$](img3.gif)
. Pour tout
![$ n\geq 0$](img170.gif)
,
![$ a_n$](img171.gif)
est la
partie entière de l'inverse de la partie décimale de
![$ a_{n-1}$](img172.gif)
.
La liste
![$ [a_0,\ldots,a_n]$](img168.gif)
est associée au rationnel
Pour
![$ x\in\{\pi,\sqrt{2}, e\}$](img174.gif)
et
![$ n\in \{5,10\}$](img175.gif)
:
- Calculer
.
- Comparer votre résultat avec celui que donne la fonction
dfc
de Xcas.
- Calculer
, et donner la valeur numérique de
.
Corrigé exercice 8.18
Exercice 8.19
Ecrire (sans utiliser de boucle) les séquences suivantes :
- Nombres de
à
par pas de
.
- Nombres de
à
par pas de
.
- Carrés des
premiers entiers.
- Nombres de la forme
pour
.
- 10 "0" suivis de 10 "1".
- 3 "0" suivis de 3 "1", suivis de 3 "2",...,
suivis de 3 "9".
- "1", suivi de 1 "0", suivi de "2", suivi de 2 "0",...
, suivi de "8", suivi de 8 zéros, suivi de "9".
"
" suivi de
"
", suivis de
"
",...,
suivis de
"
".
Corrigé exercice 8.19
Corrigé exercice 8.20
Exercice 8.21
- Ecrire la matrice carrée
d'ordre
, telle que
si
et
si
, où
et
sont des variables.
- Calculer et factoriser le polynôme caractéristique de
.
- Déterminer une matrice orthogonale
telle que
soit
une matrice diagonale.
- Utiliser la question précédente pour définir la fonction
qui à un entier
associe la matrice
.
- Calculer
, pour
en effectuant les produits
matriciels, et vérifier que la fonction définie à la question
précédente donne bien le même résultat.
Corrigé exercice 8.21
Corrigé exercice 8.22
Corrigé exercice 8.23
Exercice 8.24
Ecrire les fonctions suivantes. Toutes prennent en entrée une fonction
![$ f$](img24.gif)
(de
![$ \mathbb{R}$](img28.gif)
dans
![$ \mathbb{R}$](img28.gif)
), et trois valeurs
![$ x_{min}$](img223.gif)
,
![$ x_0$](img224.gif)
et
![$ x_{max}$](img225.gif)
(supposées telles que
![$ x_{min}\leq x_0 \leq x_{max}$](img226.gif)
).
derive
:
Elle calcule et représente graphiquement
la dérivée de
sur l'intervalle
. Elle retourne la
une valeur de
.
tangente
:
Elle représente la fonction
sur l'intervalle
, elle
superpose sur le même graphique la tangente à
au point
, et
retourne l'équation de cette tangente comme un polynôme du premier
degré.
araignee
:
Elle représente la fonction
sur l'intervalle
,
ainsi que la droite d'équation
(première bissectrice).
Elle calcule et retourne les
premiers itérés de
en
(
). Elle représente la suite de
segments, alternativement verticaux et horizontaux, permettant de visualiser
les itérations : segments joignant
,
,
,
,
, ...
(comparer avec la fonction plotseq
)
newton_graph
:
Elle représente la fonction
sur l'intervalle
.
Elle calcule et retourne les dix premiers itérés de la suite définie
à partir de
par la méthode de Newton :
,
... Les valeurs de la dérivée sont
approchées. La fonction représente sur le même graphique les
segments permettant de visualiser les itérations : segments joignant
,
,
,
,
,
,...
(comparer avec la fonction newton
)
Corrigé exercice 8.24
Corrigé exercice 8.25
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R. De Graeve, B. Parisse, B. Ycart 2006