Vrai ou faux

Vrai-Faux 1   On considère la fonction $f : x\mapsto x$ sur l'intervalle $I=[0,2]$. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$ $${\sum_{i=1}^{2n} \frac{i}{n}}$$ est une somme de Riemann associée à $f$ sur $I$.
2. $\boxtimes\;$ $${\sum_{i=1}^{2n} \frac{i}{n^2}}$$ est une somme de Riemann associée à $f$ sur $I$.
3. $\square\;$ $${\frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n} \frac{2i}{n^2}}$$ est une somme de Riemann associée à $f$ sur $I$.
4. $\boxtimes\;$ $${\sum_{i=1}^{n} \frac{4i}{n^2}}$$ est une somme de Riemann associée à $f$ sur $I$.
5. $\square\;$ $${\sum_{i=1}^{2n} \frac{i}{n^2}}$$ tend vers $${\frac{1}{2}}$$ quand $n$ tend vers l'infini.
6. $\boxtimes\;$ $${\sum_{i=1}^{2n} \frac{i}{n^2}}$$ tend vers $2$ quand $n$ tend vers l'infini.

Vrai-Faux 2   Toutes les fonctions considérées sont supposées intégrables sur l'intervalle considéré. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ L'intégrale sur $[0,1]$ d'une fonction négative ou nulle est négative ou nulle.
2. $\square\;$ L'intégrale sur $[0,1]$ d'une fonction paire est positive ou nulle.
3. $\boxtimes\;$ L'intégrale sur $[-1,1]$ d'une fonction impaire est nulle.
4. $\square\;$ L'intégrale sur $[0,1]$ d'une fonction minorée par $1$ est inférieure ou égale à $1$.
5. $\square\;$ L'intégrale sur $[-1,1]$ d'une fonction majorée par $1$ est inférieure ou égale à $1$.
6. $\boxtimes\;$ L'intégrale sur $[-1,1]$ d'une fonction majorée par $2$ est inférieure ou égale à $4$.
7. $\boxtimes\;$ Si une fonction $f$ est telle que pour tout $x\in[-1,1]$, $f(x)<x^3$, alors son intégrale sur $[-1,1]$ est strictement négative.
8. $\boxtimes\;$ Si l'intégrale sur $[0,1]$ d'une fonction $f$ continue vaut $y$, alors il existe $x\in [0,1]$ tel que $f(x)=y$.
9. $\square\;$ Si l'intégrale sur $[-1,1]$ d'une fonction $f$ vaut $y$, alors il existe $x\in [0,1]$ tel que $f(x)=2y$.

Vrai-Faux 3   Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\square\;$ Toute fonction intégrable sur $[a,b]$ est continue.
2. $\boxtimes\;$ Si une fonction est continue sur $[a,b]$, sauf en un point, alors $f$ admet une primitive.
3. $\boxtimes\;$ Toute fonction continue sur $[a,b]$ admet une primitive qui s'annule en $b$.
4. $\square\;$ Toute primitive d'une fonction continue sur $[a,b]$ s'annule en un point de $[a,b]$.
5. $\boxtimes\;$ Toute primitive d'une fonction continue sur $[a,b]$ est dérivable sur $]a,b[$.
6. $\square\;$ Toute primitive d'une fonction continue sur $]a,b[$ est dérivable à droite en $a$.

Vrai-Faux 4   Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\square\;$ Toute primitive d'une fonction positive ou nulle est positive ou nulle.
2. $\boxtimes\;$ Toute primitive d'une fonction négative ou nulle est décroissante.
3. $\square\;$ Toute fonction continue est la primitive d'une fonction continue.
4. $\square\;$ Si $f$ est une fonction continue, alors $-\cos(f(x))$ est une primitive de $\sin(f(x))$.
5. $\square\;$ Si $f$ est une fonction continûment dérivable et ne s'annulant pas, $\ln(f(x))$ est une primitive de $f'(x)/f(x)$.
6. $\boxtimes\;$ Si $f$ est une fonction continûment dérivable, $\arctan(f(x))$ est une primitive de $f'(x)/(1+f^2(x))$.
7. $\square\;$ Il existe des primitives de $(1-x^2)^{-1/2}$ définies sur l'intervalle $[0,2]$.
8. $\boxtimes\;$ Il existe des primitives de $(1-x^2/2)^{-1/2}$ définies sur l'intervalle $[0,1]$.
9. $\boxtimes\;$ Il existe des primitives de $\vert 1-x^2\vert^{1/2}$ définies sur l'intervalle $[-2,2]$.
10. $\square\;$ Il existe des primitives de $\vert 1-x^2\vert^{-1/2}$ définies sur l'intervalle $[-2,2]$.

Vrai-Faux 5   Parmi les égalités suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ $${ \int_0^\pi x\sin(x) \mathrm{d}x = -\int_0^\pi \frac{x^2}{2}\cos(x) \mathrm{d}x\;. }$$
2. $\square\;$ $${ \int_0^\pi x\sin(x) \mathrm{d}x = \int_0^\pi \cos(x) \mathrm{d}x\;. }$$
3. $\boxtimes\;$ $${ \int_0^\pi x\sin(x) \mathrm{d}x = \pi-\int_0^\pi \cos(x) \mathrm{d}x\;. }$$
4. $\square\;$ $${ \int_0^\pi x\sin(x) \mathrm{d}x = \pi-2\;. }$$
5. $\boxtimes\;$ $${ \int_0^\pi x\sin(x) \mathrm{d}x = \pi\;. }$$
6. $\boxtimes\;$ $${ \int_0^\pi x\cos(x) \mathrm{d}x = -2\;. }$$
7. $\square\;$ $${ \int_0^\pi x\sin(2x) \mathrm{d}x = \Big[\sin(2x)\Big]_0^\pi -2\int_0^\pi \cos(2x) \mathrm{d}x\;. }$$
8. $\boxtimes\;$ $${ \int_0^\pi x\cos(2x) \mathrm{d}x = 0\;. }$$
9. $\boxtimes\;$ $${ \int_0^\pi x\sin^2(x) \mathrm{d}x = \int_0^\pi x\cos^2(x) \mathrm{d}x\;. }$$
10. $\square\;$ $${ \int_0^\pi x\sin^2(x) \mathrm{d}x = \frac{\pi^2}{2}\;. }$$

Vrai-Faux 6   Parmi les égalités suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\square\;$ $${ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x) \mathrm{d}x = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(u) \frac{\mathrm{d}u}{2}\;. }$$
2. $\square\;$ $${ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x) \mathrm{d}x = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin(u) \frac{\mathrm{d}u}{2}\;. }$$
3. $\boxtimes\;$ $${ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x) \mathrm{d}x = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(u) \mathrm{d}u\;. }$$
4. $\boxtimes\;$ $${ \int_0^{\frac{\pi}{8}} \sin(2x) \mathrm{d}x = \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{u}{2\sqrt{1-u^2}} \mathrm{d}u\;. }$$
5. $\square\;$ $${ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x) \mathrm{d}x = \... ...{\frac{1}{\pi}}^{\frac{2}{\pi}} \frac{\sin(\frac{1}{u})}{u^2} \mathrm{d}u\;. }$$
6. $\boxtimes\;$ $${ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x) \mathrm{d}x = \int_{1}^{\mathrm{e}^{\pi}} \frac{\sin(\ln(u))}{2u} \mathrm{d}u\;. }$$