Opérations sur les limites

La combinaison de la notion de limite avec les opérations habituelles sur les suites se passe sans trop de mauvaises surprises : globalement, les résultats que l'on attend sont vrais. Nous les énoncerons dans le théorème 1. Les démonstrations sont basées sur le lemme suivant.

Lemme 1    

1. La somme de deux suites convergeant vers 0 converge vers 0.
2. Le produit d'une suite convergeant vers 0 par une suite bornée, converge vers 0.

Démonstration :  

1. Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites convergeant vers 0. Fixons $\varepsilon >0$. Soit $n_0$ tel que pour tout $n\geqslant n_0$, $\vert u_n\vert<\varepsilon /2$. De même, soit $n_1$ tel que pour tout $n\geqslant n_1$, $\vert v_n\vert<\varepsilon /2$. Alors pour tout $n\geqslant \max\{n_0,n_1\}$,
   $$\vert u_n+v_n\vert\leqslant \vert u_n\vert+\vert v_n\vert\leqslant \frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}=\varepsilon \;,$$
   d'où le résultat.
2. Si la suite $(u_n)$ est bornée, alors il existe $M>0$ tel que pour tout entier $n$, $\vert u_n\vert\leqslant M$. Soit $(v_n)$ une suite convergeant vers 0. Fixons $\varepsilon >0$. Soit $n_0$ tel que pour tout $n\geqslant n_0$, $\vert v_n\vert\leqslant \varepsilon /M$. Pour tout $n\geqslant n_0$, on a donc :
   $$\vert u_n v_n\vert=\vert u_n\vert \vert v_n\vert\leqslant M\vert v_n\vert\leqslant M\frac{\varepsilon }{M}=\varepsilon \;.$$
   D'où le résultat.

$\square$

Théorème 1    

1. La somme de deux suites convergeant vers une limite finie est convergente et sa limite est la somme des limites.
2. Le produit de deux suites convergeant vers une limite finie est convergent et sa limite est le produit des limites.

Démonstration : Pour nous ramener au lemme 1, observons d'abord qu'une suite $(u_n)$ a pour limite $l\in\mathbb{R}$ si et seulement si la suite $(u_n-l)$ tend vers 0.

1. Si $(u_n)$ converge vers $l$ et $(v_n)$ converge vers $l'$, alors $(u_n-l)$ et $(v_n-l')$ convergent vers 0. Donc $(u_n-l+v_n-l')$ converge vers 0 d'après le point 1. du lemme 1, d'où le résultat.
2. Si $(u_n)$ converge vers $l$ et $(v_n)$ converge vers $l'$, nous voulons montrer que $(u_nv_n-ll')$ converge vers 0. Ecrivons :
   $$u_nv_n-ll'=u_n(v_n-l')+(u_n-l)l'\;.$$
   Il suffit donc de montrer séparément que les deux suites $(u_n(v_n-l'))$ et $((u_n-l)l')$ tendent vers 0, d'après le premier point du lemme 1. Mais chacune de ces deux suites est le produit d'une suite convergeant vers 0 par une suite bornée ($(u_n)$ est bornée car elle est convergente). D'où le résultat, par le point 2. du lemme 1.

$\square$

Le théorème 1 est l'outil de base pour étudier des convergences de suites à partir des exemples classiques de la section précédente. On utilise aussi la composition par une fonction continue. On peut donner deux définitions équivalentes de la continuité, dont l'une est parfaitement adaptée aux suites convergentes.

Définition 7   Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ et $x$ un réel. On dit que $f$ est continue au point $x$ si et seulement si, pour toute suite $(u_n)$ convergeant vers $x$, la suite des images $(f(u_n))$ converge vers $f(x)$.

Toutes les fonctions qui interviennent dans ce cours sont continues en tout point où elles sont définies, et nous le supposerons pour l'instant. Par exemple, la fonction $f : x\mapsto 1/x$ est continue en tout point de $\mathbb{R}^*$. Donc si une suite $(u_n)$ converge vers $l\neq 0$, la suite des inverses $(1/u_n)$ converge vers $1/l$. En utilisant le théorème 1, on en déduit que le quotient de deux suites convergentes converge vers le quotient des limites, pourvu que la limite du dénominateur soit non nulle. Voici un exemple de calcul de limite, résumant l'ensemble des techniques que nous avons vues jusqu'ici. Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, posons

$$u_n = \frac{2n+\cos(n)}{n\sin(1/n)+\sqrt{(n+1)(n+2)}}\;.$$

Divisons le numérateur et le dénominateur par $n$ :

$$u_n = \frac{2+\frac{\cos(n)}{n}}{\sin(1/n)+ \sqrt{(1+\frac{1}{n})(1+\frac{2}{n})}}\;.$$

Les suites $(\frac{1}{n})$, $(\frac{2}{n})$, $(\sin(1/n))$ et $(\frac{\cos(n)}{n})$ tendent vers 0. On en déduit que $(u_n)$ tend vers $2$. Si la limite de $(u_n)$ ou celle de $(v_n)$ est infinie, différentes situations peuvent se produire pour la somme et le produit. Nous les résumons dans les tableaux 1 et 2. Dans ces deux tableaux les points d'interrogations sont des indéterminations : tous les cas sont possibles. Par exemple :

$\bullet$

$u_n=n$, $v_n=-n+1/n$ : la suite $(u_n+v_n)$ tend vers 0 ;

$\bullet$

$u_n=n$, $v_n=-n^2$ : la suite $(u_n+v_n)$ tend vers $-\infty$ ;

$\bullet$

$u_n=n$, $v_n=-n +(-1)^n$ : la suite $(u_n+v_n)$ ne converge pas.

Tableau 1: Limites possibles de $(u_n+v_n)$ en fonction des limites de $(u_n)$ et $(v_n)$.

Tableau 2: Limites possibles de $(u_nv_n)$ en fonction des limites de $(u_n)$ et $(v_n)$.