Opérations sur les limites

La combinaison de la notion de limite avec les opérations habituelles sur les suites se passe sans trop de mauvaises surprises : globalement, les résultats que l'on attend sont vrais. Nous les énoncerons dans le théorème 1. Les démonstrations sont basées sur le lemme suivant.

Lemme 1

La somme de deux suites convergeant vers 0 converge vers 0.
Le produit d'une suite convergeant vers 0 par une suite bornée, converge vers 0.

Démonstration :

Soient et deux suites convergeant vers 0. Fixons $\varepsilon >0$ . Soit tel que pour tout $n\geqslant n_0$ , $\vert u_n\vert<\varepsilon /2$ . De même, soit tel que pour tout $n\geqslant n_1$ , $\vert v_n\vert<\varepsilon /2$ . Alors pour tout $n\geqslant \max\{n_0,n_1\}$ ,

$\displaystyle \vert u_n+v_n\vert\leqslant \vert u_n\vert+\vert v_n\vert\leqslant \frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}=\varepsilon \;,$
d'où le résultat.
Si la suite est bornée, alors il existe tel que pour tout entier , $\vert u_n\vert\leqslant M$ . Soit une suite convergeant vers 0. Fixons $\varepsilon >0$ . Soit tel que pour tout $n\geqslant n_0$ , $\vert v_n\vert\leqslant \varepsilon /M$ . Pour tout $n\geqslant n_0$ , on a donc :

$\displaystyle \vert u_n v_n\vert=\vert u_n\vert \vert v_n\vert\leqslant M\vert v_n\vert\leqslant M\frac{\varepsilon }{M}=\varepsilon \;.$
D'où le résultat.

$\square$

Théorème 1

La somme de deux suites convergeant vers une limite finie est convergente et sa limite est la somme des limites.
Le produit de deux suites convergeant vers une limite finie est convergent et sa limite est le produit des limites.

Démonstration : Pour nous ramener au lemme 1, observons d'abord qu'une suite

a pour limite $l\in\mathbb{R}$ si et seulement si la suite

tend vers 0.

Si converge vers et converge vers , alors et convergent vers 0. Donc converge vers 0 d'après le point 1. du lemme 1, d'où le résultat.
Si converge vers et converge vers , nous voulons montrer que converge vers 0. Ecrivons :

$\displaystyle u_nv_n-ll'=u_n(v_n-l')+(u_n-l)l'\;.$
Il suffit donc de montrer séparément que les deux suites et tendent vers 0, d'après le premier point du lemme 1. Mais chacune de ces deux suites est le produit d'une suite convergeant vers 0 par une suite bornée ( est bornée car elle est convergente). D'où le résultat, par le point 2. du lemme 1.

$\square$

Le théorème 1 est l'outil de base pour étudier des convergences de suites à partir des exemples classiques de la section précédente. On utilise aussi la composition par une fonction continue. On peut donner deux définitions équivalentes de la continuité, dont l'une est parfaitement adaptée aux suites convergentes.

Définition 7 Soit une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ et un réel. On dit que est continue au point si et seulement si, pour toute suite convergeant vers , la suite des images converge vers .

Toutes les fonctions qui interviennent dans ce cours sont continues en tout point où elles sont définies, et nous le supposerons pour l'instant. Par exemple, la fonction $f : x\mapsto 1/x$ est continue en tout point de $\mathbb{R}^*$ . Donc si une suite

converge vers $l\neq 0$ , la suite des inverses

converge vers

. En utilisant le théorème 1, on en déduit que le quotient de deux suites convergentes converge vers le quotient des limites, pourvu que la limite du dénominateur soit non nulle. Voici un exemple de calcul de limite, résumant l'ensemble des techniques que nous avons vues jusqu'ici. Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ , posons

$\displaystyle u_n = \frac{2n+\cos(n)}{n\sin(1/n)+\sqrt{(n+1)(n+2)}}\;.$

Divisons le numérateur et le dénominateur par

$\displaystyle u_n = \frac{2+\frac{\cos(n)}{n}}{\sin(1/n)+ \sqrt{(1+\frac{1}{n})(1+\frac{2}{n})}}\;.$

Les suites $(\frac{1}{n})$ , $(\frac{2}{n})$ , $(\sin(1/n))$ et $(\frac{\cos(n)}{n})$ tendent vers 0. On en déduit que

tend vers

. Si la limite de

ou celle de

est infinie, différentes situations peuvent se produire pour la somme et le produit. Nous les résumons dans les tableaux 1 et 2. Dans ces deux tableaux les points d'interrogations sont des indéterminations : tous les cas sont possibles. Par exemple :

$\bullet$: , : la suite tend vers 0 ;
$\bullet$: , : la suite tend vers $-\infty$ ;
$\bullet$: , : la suite ne converge pas.

**Tableau 1:** Limites possibles de en fonction des limites de et .
$\begin{table}\begin{displaymath} \begin{array}{\vert cr\vert ccc\vert} \hline \l... ...fty&&-\infty&\mbox{?}&-\infty\\ \hline \end{array}\end{displaymath} \end{table}$

**Tableau 2:** Limites possibles de en fonction des limites de et .
$\begin{table}\begin{displaymath} \begin{array}{\vert cr\vert ccccc\vert} \hline ... ...nfty&\mbox{?}&-\infty&+\infty\\ \hline \end{array}\end{displaymath} \end{table}$