Convergence

On dit que la suite converge vers un réel (sa limite) si tout intervalle ouvert contenant , contient aussi tous les pour assez grand.

Définition 5 Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels et un réel. On dit que la suite converge vers , (ou tend vers , ou a pour limite ) si :

$\displaystyle \forall \varepsilon >0 ,\;\exists n_0\in\mathbb{N} ,\;\forall n\geqslant n_0\;,\quad \vert u_n-l\vert\leqslant \varepsilon \;.$

On notera :

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} u_n = l$ ou bien $\displaystyle \quad u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} l\;.$

Autrement dit, tout intervalle ouvert centré en

contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Observons que le rang

à partir duquel tous les termes de la suite restent dans l'intervalle $[l-\varepsilon ,l+\varepsilon ]$ , dépend de $\varepsilon$ . La figure 1 représente les

premiers termes de la suite $(u_n)=(1+\sin(n)/n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ . La limite est

. On a :

$\displaystyle \vert u_n-l\vert = \left\vert\frac{\sin(n)}{n}\right\vert\leqslant \frac{1}{n}\;.$

Fixons $\varepsilon >0$ (sur la figure $\varepsilon =0.05$ ). Posons $n_0=\lfloor 1/\varepsilon \rfloor+1$ (

pour $\varepsilon =0.05$ ). Pour tout $n\geqslant n_0$ , $1/n<\varepsilon$ , donc $\vert u_n-l\vert<\varepsilon$ . Sur la figure 1, on constate en fait que $u_n\in [0.95,1.05]$ pour $n\geqslant 18$ .

**Figure:** Convergence de la suite $1+\sin(n)/n$ .
$\includegraphics[width=10cm]{limite}$

On étend la notion de convergence aux limites infinies de la façon suivante.

Définition 6 Soit une suite de réels.

On dit que tend vers $+\infty$ si

$\displaystyle \forall A\in\mathbb{R} ,\;\exists n_0\in\mathbb{N} ,\;\forall n\geqslant n_0\;,\quad u_n\geqslant A\;.$
On dit que tend vers $-\infty$ si

$\displaystyle \forall A\in\mathbb{R} ,\;\exists n_0\in\mathbb{N} ,\;\forall n\geqslant n_0\;,\quad u_n\leqslant A\;.$

Il est commode de pouvoir dire qu'une suite «tend vers l'infini», mais cela induit une certaine ambiguïté sur la notion de convergence.

De même qu'il faut voir $\varepsilon$ comme un «petit» réel (proche de 0), dans la définition 6 il faut comprendre comme grand (proche de l'infini). Une suite tend vers $+\infty$ si ses termes restent au-dessus de n'importe quelle quantité, à partir d'un certain rang. Voici quelques exemples classiques.

$\bullet$

Suites arithmétiques :

Si , tend vers $+\infty$ .
Si , est constante (tend vers ).
Si , tend vers $-\infty$ .

$\bullet$

Suites géométriques :

Si , est constante (tend vers 0).
Si $r\leqslant -1$ , et $u_0\neq 0$ , ne converge pas.
Si , tend vers 0.
Si , est constante (tend vers ).
Si et , tend vers $+\infty$ .
Si et , tend vers $-\infty$ .

$\bullet$

Suites de Riemann : $(u_n)=(n^{\alpha})$

Si $\alpha>0$ , tend vers $+\infty$ .
Si $\alpha=0$ , est constante (tend vers ).
Si $\alpha<0$ , tend vers 0.

Pour bien comprendre la notion de convergence, nous allons en étudier quelques conséquences faciles, rassemblées dans la proposition suivante.

Proposition 1 Soit une suite de réels :

si converge, alors sa limite est unique ;
si converge vers une limite finie, alors est bornée ;
si pour tout , $u_n\in\mathbb{N}$ et si converge vers une limite finie, alors est constante à partir d'un certain rang ;
si converge vers , alors toute suite extraite de converge vers ;
si les deux suites extraites $(u_{2k})_{k\in\mathbb{N}}$ et $(u_{2k+1})_{k\in\mathbb{N}}$ convergent vers la même limite (finie ou infinie), alors $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers .

Démonstration : Les démonstrations des 5 points se ressemblent.

Supposons que vérifie la définition 5 pour deux réels et distincts. Posons $\varepsilon =\vert l-l'\vert/3$ . Alors les intervalles $[l-\varepsilon ,l+\varepsilon ]$ et $[l'-\varepsilon ,l'+\varepsilon ]$ sont disjoints. À partir d'un certain rang, les devraient appartenir aux deux à la fois : c'est impossible.
Fixons $\varepsilon >0$ , et tel que reste dans l'intervalle $[l-\varepsilon ,l+\varepsilon ]$ pour tout $n\geqslant n_0$ . Alors :

$\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}\;\quad u_n\leqslant \max\{u_0,u_1,\ldots,u_{n_0-1},l+\varepsilon \}\;,$
et

$\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}\;\quad u_n\geqslant \min\{u_0,u_1,\ldots,u_{n_0-1},l-\varepsilon \}\;.$
Soit la limite. Si n'était pas un entier, pour $\varepsilon$ suffisamment petit, l'intervalle $[l-\varepsilon ,l+\varepsilon ]$ ne contiendrait aucun entier, donc aucun des . Donc doit être un entier. Posons $\varepsilon =1/2$ . L'intervalle $[l-\varepsilon ,l+\varepsilon ]$ ne contient qu'un seul entier, . Comme à partir d'un certain rang tous les sont dans cet intervalle, et qu'ils sont tous entiers, ils sont tous égaux à .
Soit $(u_{\varphi(k)})_{k\in\mathbb{N}}$ une suite extraite de $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ . Comme $\varphi$ est strictement croissante, pour tout il existe tel que $\varphi(k)\geqslant n_0$ pour tout $k\geqslant k_0$ . Si tous les sont dans l'intervalle $[l-\varepsilon ,l+\varepsilon ]$ à partir du rang , tous les $u_{\varphi(k)}$ sont dans le même intervalle à partir du rang .
Fixons $\varepsilon >0$ . Soit tel que $u_{2k}$ reste dans l'intervalle $[l-\varepsilon ,l+\varepsilon ]$ pour tout $k\geqslant k_0$ . Soit tel que $u_{2k+1}$ reste dans l'intervalle $[l-\varepsilon ,l+\varepsilon ]$ pour tout $k\geqslant k_0$ . Alors pour tout $n\geqslant \max\{2k_0,2k'_0+1\}$ , $u_n\in [l-\varepsilon ,l+\varepsilon ]$ . La démonstration pour une limite infinie est analogue.

$\square$