Convergence

On dit que la suite $(u_n)$ converge vers un réel $l$ (sa limite) si tout intervalle ouvert contenant $l$, contient aussi tous les $u_n$ pour $n$ assez grand.

Définition 5   Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels et $l$ un réel. On dit que la suite $(u_n)$ converge vers $l$, (ou tend vers $l$, ou a pour limite $l$) si :

$$\forall \varepsilon >0 ,\;\exists n_0\in\mathbb{N} ,\;\forall n\geqslant n_0\;,\quad \vert u_n-l\vert\leqslant \varepsilon \;.$$

On notera :

$$\lim_{n\rightarrow\infty} u_n = l$$   ou bien$$\quad u_n \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} l\;.$$

Autrement dit, tout intervalle ouvert centré en $l$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Observons que le rang $n_0$ à partir duquel tous les termes de la suite restent dans l'intervalle $[l-\varepsilon ,l+\varepsilon ]$, dépend de $\varepsilon$. La figure 1 représente les $50$ premiers termes de la suite $(u_n)=(1+\sin(n)/n)_{n\in\mathbb{N}^*}$. La limite est $l=1$. On a :

$$\vert u_n-l\vert = \left\vert\frac{\sin(n)}{n}\right\vert\leqslant \frac{1}{n}\;.$$

Fixons $\varepsilon >0$ (sur la figure $\varepsilon =0.05$). Posons $n_0=\lfloor 1/\varepsilon \rfloor+1$ ($n_0=21$ pour $\varepsilon =0.05$). Pour tout $n\geqslant n_0$, $1/n<\varepsilon$, donc $\vert u_n-l\vert<\varepsilon$. Sur la figure 1, on constate en fait que $u_n\in [0.95,1.05]$ pour $n\geqslant 18$.

Figure: Convergence de la suite $1+\sin(n)/n$.

On étend la notion de convergence aux limites infinies de la façon suivante.

Définition 6   Soit $(u_n)$ une suite de réels.

1. On dit que $(u_n)$ tend vers $+\infty$ si
   $$\forall A\in\mathbb{R} ,\;\exists n_0\in\mathbb{N} ,\;\forall n\geqslant n_0\;,\quad u_n\geqslant A\;.$$

2. On dit que $(u_n)$ tend vers $-\infty$ si
   $$\forall A\in\mathbb{R} ,\;\exists n_0\in\mathbb{N} ,\;\forall n\geqslant n_0\;,\quad u_n\leqslant A\;.$$

Il est commode de pouvoir dire qu'une suite «tend vers l'infini», mais cela induit une certaine ambiguïté sur la notion de convergence.

De même qu'il faut voir $\varepsilon$ comme un «petit» réel (proche de 0), dans la définition 6 il faut comprendre $A$ comme grand (proche de l'infini). Une suite tend vers $+\infty$ si ses termes restent au-dessus de n'importe quelle quantité, à partir d'un certain rang. Voici quelques exemples classiques.

$\bullet$

Suites arithmétiques : $(u_n)=(u_0+an)$

1. Si $a>0$, $(u_n)$ tend vers $+\infty$.
2. Si $a=0$, $(u_n)$ est constante (tend vers $u_0$).
3. Si $a<0$, $(u_n)$ tend vers $-\infty$.

$\bullet$

Suites géométriques : $(u_n)=(u_0 r^n)$

1. Si $u_0=0$, $(u_n)$ est constante (tend vers 0).
2. Si $r\leqslant -1$, et $u_0\neq 0$, $(u_n)$ ne converge pas.
3. Si $-1<r<1$, $(u_n)$ tend vers 0.
4. Si $r=1$, $(u_n)$ est constante (tend vers $u_0$).
5. Si $r>1$ et $u_0>0$, $(u_n)$ tend vers $+\infty$.
6. Si $r>1$ et $u_0<0$, $(u_n)$ tend vers $-\infty$.

$\bullet$

Suites de Riemann : $(u_n)=(n^{\alpha})$

1. Si $\alpha>0$, $(u_n)$ tend vers $+\infty$.
2. Si $\alpha=0$, $(u_n)$ est constante (tend vers $1$).
3. Si $\alpha<0$, $(u_n)$ tend vers 0.

Pour bien comprendre la notion de convergence, nous allons en étudier quelques conséquences faciles, rassemblées dans la proposition suivante.

Proposition 1   Soit $(u_n)$ une suite de réels :

1. si $(u_n)$ converge, alors sa limite est unique ;
2. si $(u_n)$ converge vers une limite finie, alors $(u_n)$ est bornée ;
3. si pour tout $n$, $u_n\in\mathbb{N}$ et si $(u_n)$ converge vers une limite finie, alors $(u_n)$ est constante à partir d'un certain rang ;
4. si $(u_n)$ converge vers $l$, alors toute suite extraite de $(u_n)$ converge vers $l$ ;
5. si les deux suites extraites $(u_{2k})_{k\in\mathbb{N}}$ et $(u_{2k+1})_{k\in\mathbb{N}}$ convergent vers la même limite $l$ (finie ou infinie), alors $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $l$.

Démonstration : Les démonstrations des 5 points se ressemblent.

1. Supposons que $(u_n)$ vérifie la définition 5 pour deux réels $l$ et $l'$ distincts. Posons $\varepsilon =\vert l-l'\vert/3$. Alors les intervalles $[l-\varepsilon ,l+\varepsilon ]$ et $[l'-\varepsilon ,l'+\varepsilon ]$ sont disjoints. À partir d'un certain rang, les $u_n$ devraient appartenir aux deux à la fois : c'est impossible.
2. Fixons $\varepsilon >0$, et $n_0$ tel que $u_n$ reste dans l'intervalle $[l-\varepsilon ,l+\varepsilon ]$ pour tout $n\geqslant n_0$. Alors :
   $$\forall n\in\mathbb{N}\;\quad u_n\leqslant \max\{u_0,u_1,\ldots,u_{n_0-1},l+\varepsilon \}\;,$$
   et
   $$\forall n\in\mathbb{N}\;\quad u_n\geqslant \min\{u_0,u_1,\ldots,u_{n_0-1},l-\varepsilon \}\;.$$

3. Soit $l$ la limite. Si $l$ n'était pas un entier, pour $\varepsilon$ suffisamment petit, l'intervalle $[l-\varepsilon ,l+\varepsilon ]$ ne contiendrait aucun entier, donc aucun des $u_n$. Donc $l$ doit être un entier. Posons $\varepsilon =1/2$. L'intervalle $[l-\varepsilon ,l+\varepsilon ]$ ne contient qu'un seul entier, $l$. Comme à partir d'un certain rang tous les $u_n$ sont dans cet intervalle, et qu'ils sont tous entiers, ils sont tous égaux à $l$.
4. Soit $(u_{\varphi(k)})_{k\in\mathbb{N}}$ une suite extraite de $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$. Comme $\varphi$ est strictement croissante, pour tout $n_0$ il existe $k_0$ tel que $\varphi(k)\geqslant n_0$ pour tout $k\geqslant k_0$. Si tous les $(u_n)$ sont dans l'intervalle $[l-\varepsilon ,l+\varepsilon ]$ à partir du rang $n_0$, tous les $u_{\varphi(k)}$ sont dans le même intervalle à partir du rang $k_0$.
5. Fixons $\varepsilon >0$. Soit $k_0$ tel que $u_{2k}$ reste dans l'intervalle $[l-\varepsilon ,l+\varepsilon ]$ pour tout $k\geqslant k_0$. Soit $k'_0$ tel que $u_{2k+1}$ reste dans l'intervalle $[l-\varepsilon ,l+\varepsilon ]$ pour tout $k\geqslant k_0$. Alors pour tout $n\geqslant \max\{2k_0,2k'_0+1\}$, $u_n\in [l-\varepsilon ,l+\varepsilon ]$. La démonstration pour une limite infinie est analogue.

$\square$