Vocabulaire

Définition 1   Soit $E$ un ensemble. On appelle suite à valeurs dans $E$ une application de $\mathbb{N}$ dans $E$. L'ensemble des suites à valeurs dans $E$ est noté $E^\mathbb{N}$.

Dans ce chapitre, nous nous préoccuperons surtout des suites à valeurs dans $\mathbb{R}$ (nous dirons aussi suites de réels) et très peu des suites à valeurs dans $\mathbb{C}$ (suites de complexes). Une suite à valeurs dans $\mathbb{R}$ sera typiquement notée $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ou simplement $(u_n)$ quand il n'y a pas d'ambiguïté. Les entiers $n$ sont les indices de la suite et leurs images $u_n$ sont les termes de la suite. La suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est un objet différent de l'ensemble $\{u_n ,\;n\in\mathbb{N}\}$. En particulier une suite aura toujours une infinité de termes, même si ces termes ne prennent qu'un nombre fini de valeurs différentes. Par exemple, pour $u_n=(-1)^n$, la suite est $(u_n)=(1,-1,1,-1,1,-1,\ldots)$, et l'ensemble $\{u_n ,\;n\in\mathbb{N}\}$ est l'ensemble $\{-1,1\}$. Il existe deux manières de définir une suite de réels à partir d'une fonction :

$\bullet$

définition explicite :

$$\forall n\in\mathbb{N}\;,\quad u_n=f(n)\;,$$

où $f$ est une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Par exemple :

1. $\forall n\in\mathbb{N}\;,\quad u_n=n$
2. $\forall n\in\mathbb{N}\;,\quad u_n=1/(n+1)$
3. $\forall n\in\mathbb{N}\;,\quad u_n=2^{-n}$.

$\bullet$

définition par récurrence :

$$u_0\in\mathbb{R}\;,$$   et$$\quad\forall n\in\mathbb{N}\;,\quad u_{n+1}=F(u_n)\;,$$

où $F$ est une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Les mêmes exemples peuvent être définis par :

1. $u_0=0$ et $\forall n\in\mathbb{N}\;,\quad u_{n+1}=u_n+1$
2. $u_0=1$ et $\forall n\in\mathbb{N}\;,\quad u_{n+1}=u_n/(u_n+1)$
3. $u_0=1$ et $\forall n\in\mathbb{N}\;,\quad u_{n+1}=u_n/2$.

Voici deux exemples génériques.

Définition 2    

1. Soit $a$ un réel. On appelle suite arithmétique de raison $a$ une suite définie par $u_0\in \mathbb{R}$ et
   $$\forall n\in\mathbb{N}\;,\quad u_{n+1}=u_n+a\;.$$

2. Soit $r$ un réel. On appelle suite géométrique de raison $r$ une suite définie par $u_0\in \mathbb{R}$ et
   $$\forall n\in\mathbb{N}\;,\quad u_{n+1}=r u_n\;.$$

On vérifie facilement par récurrence qu'une suite arithmétique de raison $a$ a pour terme général $u_n=u_0+n a$. De même, une suite géométrique de raison $r$ a pour terme général $u_n=u_0 r^n$.

Définition 3   Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels. On dit que la suite $(u_n)$ est :

$\bullet$

constante si $\forall n\in \mathbb{N}\;,\quad u_{n+1}=u_n$ ;

$\bullet$

croissante si $\forall n\in \mathbb{N}\;,\quad u_{n+1}\geqslant u_n$ ;

$\bullet$

décroissante si $\forall n\in \mathbb{N}\;,\quad u_{n+1}\leqslant u_n$ ;

$\bullet$

strictement croissante si $\forall n\in \mathbb{N}\;,\quad u_{n+1}> u_n$ ;

$\bullet$

strictement décroissante si $\forall n\in \mathbb{N}\;,\quad u_{n+1}< u_n$ ;

$\bullet$

monotone si elle est croissante ou décroissante

$\bullet$

majorée si $\{u_n\;,n\in\mathbb{N}\}$ est majoré ;

$\bullet$

minorée si $\{u_n\;,n\in\mathbb{N}\}$ est minoré ;

$\bullet$

bornée si $\{u_n\;,n\in\mathbb{N}\}$ est borné ;

$\bullet$

périodique si $\exists p\in\mathbb{N}^* ,\;\forall n\in\mathbb{N} \;,\quad u_{n+p}=u_n$.

Il arrive qu'une suite ne soit définie que sur une partie de $\mathbb{N}$ : par exemple $(1/n)_{n\in\mathbb{N}^*}$. On sera également amené à réduire la suite aux indices au-delà d'un certain entier $n_0$ : $(u_n)_{n\geqslant n_0}$. L'expression «à partir d'un certain rang» reviendra souvent dans ce qui suit. Dire que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ possède la propriété $P$ à partir d'un certain rang signifie que la suite $(u_n)_{n\geqslant n_0}$ la possède pour un certain $n_0$. On dit aussi «$P$ est vraie pour $n$ assez grand». Voici quelques exemples.

Définition 4   Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels. On dit que la suite $(u_n)$ est

$\bullet$

constante à partir d'un certain rang (on dit aussi stationnaire) si $\exists n_0\in\mathbb{N} ,\;\forall n\geqslant n_0\;,\quad u_{n+1}=u_n$ ;

$\bullet$

croissante à partir d'un certain rang si $\exists n_0\in\mathbb{N} ,\;\forall n\geqslant n_0\;,\quad u_{n+1}\geqslant u_n$ ;

$\bullet$

périodique à partir d'un certain rang si $\exists n_0\in\mathbb{N} ,\;\exists p\in\mathbb{N}^* ,\;\forall n\geqslant n_0 \;,\quad u_{n+p}=u_n$ ;

Par exemple, la suite $(\lfloor4/(n+1)\rfloor)_{n\in\mathbb{N}}$ est constante à partir du rang $n_0=4$. La suite des décimales de $1/90$ est constante à partir du rang $n_0=2$. La suite $(\vert n-5\vert)_{n\in\mathbb{N}}$ est croissante à partir du rang $n_0=5$. La suite des décimales de $53/2475$ est périodique, de période $p=2$ à partir du rang $n_0=3$. Quel que soit le nombre rationnel $x$, la suite des décimales de $x$ est périodique à partir d'un certain rang.

Si la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est «majorée à partir d'un certain rang», alors elle est majorée tout court. En effet si $u_n\leqslant M$ pour tout $n\geqslant n_0$, alors pour tout entier $n\in \mathbb{N}$,

$$u_n\leqslant \max\{u_0,u_1,\ldots,u_{n_0-1}, M\}\;.$$

De même une suite minorée à partir d'un certain rang est minorée, une suite bornée à partir d'un certain rang est bornée. Les opérations sur les réels s'étendent aux suites en des opérations terme à terme.

$\bullet$

addition : $(u_n)+(v_n)=(u_n+v_n)$,

$\bullet$

multiplication : $(u_n)(v_n)=(u_nv_n)$,

$\bullet$

multiplication par un réel : $\lambda(u_n)=(\lambda u_n)$,

$\bullet$

comparaison : $(u_n)\leqslant (v_n)\Longleftrightarrow \forall n\in\mathbb{N} ,\;u_n\leqslant v_n$.

L'addition a les mêmes propriétés que celle des réels : $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ muni de l'addition est un groupe commutatif. Muni de l'addition et de la multiplication par un réel, c'est un espace vectoriel. Cependant, le produit de deux suites peut être nul sans que les deux suites le soient : $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ muni de l'addition et de la mutiplication est un anneau commutatif non intègre. Etant donnée une suite $(u_n)$, on appelle suite extraite ou sous-suite, une suite formée de certains termes de $(u_n)$, c'est-à-dire une suite de la forme $(v_k)=(u_{\varphi(k)})$, où $\varphi$ est une application strictement croissante de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$. Par exemple si $(u_n)$ est la suite géométrique $((-2)^{n})$, et $\varphi(k)=2k$, alors $(v_k)=(4^k)$ : on a extrait de la suite $(u_n)$ la suite des termes d'indice pair.