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Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.


Questions de cours : Soit $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels.

  1. Quand dit-on que la suite $ (u_n)$ est croissante à partir d'un certain rang ?
  2. Quand dit-on que la suite $ (u_n)$ est majorée ?
  3. Quand dit-on que la suite $ (u_n)$ tend vers $ +\infty$ ?
  4. Démontrer que si la suite $ (u_n)$ est majorée à partir d'un certain rang, alors elle est majorée.
  5. Démontrer que si la suite $ (u_n)$ est croissante à partir d'un certain rang, et non majorée, alors elle tend vers $ +\infty$.
Exercice 1 : Dans tout l'exercice, $ k$ désigne un entier strictement positif, et $ \delta$ un réel tel que $ 0<\delta<1$.
  1. Démontrer que

    $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{n^k}{(n+1)^k}=1\;.$

  2. En déduire que la suite $ (n^k/(n+1)^k)$ est minorée par $ 1-\delta/2$, à partir d'un certain rang.
  3. Pour tout $ n\geq 1$, on pose :

    $\displaystyle u_n=\frac{(1+\delta)^n}{n^k}\;.$

    Montrer que la suite $ (u_{n+1}/u_n)$ est minorée par $ (1+\delta)(1-\delta/2)$ à partir d'un certain rang. En déduire que la suite $ (u_n)$ tend vers $ +\infty$.
  4. Démontrer que pour tous réels $ \beta_0$, $ \beta_1$ tels que $ 1<\beta_0<\beta_1$, $ \beta_0^n=o(\beta_1^n)$.
  5. Déduire des questions précédentes que pour tout $ k\in\mathbb{N}^*$, et pour tout $ \beta>1$, $ n^k=o(\beta^n)$.
  6. Démontrer les relations de comparaison suivantes.

    $\displaystyle n^{100}=o(1.01^n)\;,\quad 2^{-n}=o(n^{-10})\;,\quad \frac{2^{n+1}+n^{10}}{2^{2n+3}+(n+4)^5}=O(2^{-n})\;. $

Exercice 2 : On considère la suite $ (u_n)$ définie par $ u_0\in\mathbb{R}^+$ et pour tout $ n\in \mathbb{N}$, $ u_{n+1}=F(u_n)$, avec :

$\displaystyle F(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x}+1\;. $

  1. Montrer que le seul point fixe de $ F$ est $ 4$.
  2. Représenter le graphe de $ F$. Utiliser les diagrammes en toile d'araignée pour deviner le comportement de la suite $ (u_n)$ pour $ u_0=0.2$, et $ u_0=5.5$.
  3. Montrer que pour tout $ n\in \mathbb{N}$,

    $\displaystyle \sqrt{u_{n+1}}-2=\frac{3}{2(\sqrt{u_{n+1}}+2)}(\sqrt{u_n}-2)\;. $

  4. Montrer que si $ u_0\in[0,4[$, alors pour tout $ n\geq 0$, $ 0\leqslant u_n< u_{n+1}< 4$.
  5. En déduire que si $ u_0\in[0,4[$, alors la suite $ (u_n)$ converge vers $ 4$.
  6. Montrer que si $ u_0\in]4+\infty[$, alors pour tout $ n\geq 0$, $ 4< u_{n+1}< u_n$.
  7. En déduire que si $ u_0\in]4,+\infty[$, alors la suite $ (u_n)$ converge vers $ 4$.
  8. Démontrer que pour tout $ n\in \mathbb{N}$,

    $\displaystyle \vert\sqrt{u_{n+1}}-2\vert\leqslant \frac{1}{2}\vert\sqrt{u_n}-2\vert\;. $

  9. En déduire que $ \vert u_n-4\vert=O(2^{-n})$.

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