Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.

Questions de cours : Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels.

1. Quand dit-on que la suite $(u_n)$ est croissante à partir d'un certain rang ?
2. Quand dit-on que la suite $(u_n)$ est majorée ?
3. Quand dit-on que la suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$ ?
4. Démontrer que si la suite $(u_n)$ est majorée à partir d'un certain rang, alors elle est majorée.
5. Démontrer que si la suite $(u_n)$ est croissante à partir d'un certain rang, et non majorée, alors elle tend vers $+\infty$.

Exercice 1 : Dans tout l'exercice, $k$ désigne un entier strictement positif, et $\delta$ un réel tel que $0<\delta<1$.

1. Démontrer que
   $$\lim_{n\to\infty} \frac{n^k}{(n+1)^k}=1\;.$$

2. En déduire que la suite $(n^k/(n+1)^k)$ est minorée par $1-\delta/2$, à partir d'un certain rang.
3. Pour tout $n\geq 1$, on pose :
   $$u_n=\frac{(1+\delta)^n}{n^k}\;.$$
   Montrer que la suite $(u_{n+1}/u_n)$ est minorée par $(1+\delta)(1-\delta/2)$ à partir d'un certain rang. En déduire que la suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$.
4. Démontrer que pour tous réels $\beta_0$, $\beta_1$ tels que $1<\beta_0<\beta_1$, $\beta_0^n=o(\beta_1^n)$.
5. Déduire des questions précédentes que pour tout $k\in\mathbb{N}^*$, et pour tout $\beta>1$, $n^k=o(\beta^n)$.
6. Démontrer les relations de comparaison suivantes.
   $$n^{100}=o(1.01^n)\;,\quad 2^{-n}=o(n^{-10})\;,\quad \frac{2^{n+1}+n^{10}}{2^{2n+3}+(n+4)^5}=O(2^{-n})\;.$$

Exercice 2 : On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0\in\mathbb{R}^+$ et pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=F(u_n)$, avec :

$$F(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x}+1\;.$$

1. Montrer que le seul point fixe de $F$ est $4$.
2. Représenter le graphe de $F$. Utiliser les diagrammes en toile d'araignée pour deviner le comportement de la suite $(u_n)$ pour $u_0=0.2$, et $u_0=5.5$.
3. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$,
   $$\sqrt{u_{n+1}}-2=\frac{3}{2(\sqrt{u_{n+1}}+2)}(\sqrt{u_n}-2)\;.$$

4. Montrer que si $u_0\in[0,4[$, alors pour tout $n\geq 0$, $0\leqslant u_n< u_{n+1}< 4$.
5. En déduire que si $u_0\in[0,4[$, alors la suite $(u_n)$ converge vers $4$.
6. Montrer que si $u_0\in]4+\infty[$, alors pour tout $n\geq 0$, $4< u_{n+1}< u_n$.
7. En déduire que si $u_0\in]4,+\infty[$, alors la suite $(u_n)$ converge vers $4$.
8. Démontrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$,
   $$\vert\sqrt{u_{n+1}}-2\vert\leqslant \frac{1}{2}\vert\sqrt{u_n}-2\vert\;.$$

9. En déduire que $\vert u_n-4\vert=O(2^{-n})$.