QCM

Donnez-vous une heure pour répondre à ce questionnaire. Les 10 questions sont indépendantes. Pour chaque question 5 affirmations sont proposées, parmi lesquelles 2 sont vraies et 3 sont fausses. Pour chaque question, cochez les 2 affirmations que vous pensez vraies. Chaque question pour laquelle les 2 affirmations vraies sont cochées rapporte 2 points.

Question 1    

La suite $(n^2-2(-1)^n)$ est croissante à partir d'un certain rang.

La suite $(n^2+(-2)^n)$ est croissante à partir d'un certain rang.

La suite $(n+(-1)^n)$ est croissante à partir d'un certain rang.

La suite $(2n+(-1)^n)$ est croissante.

La suite $(3n-2(-1)^n)$ est croissante à partir d'un certain rang.

Question 2   Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels.

Si $(u_n)$ est périodique, alors toute suite extraite de $(u_n)$ est périodique.

Si les suites extraites $(u_{2k})$ et $(u_{k^2})$ sont bornées, alors $(u_n)$ est bornée.

Si $(u_n)$ est croissante, alors toute suite extraite de $(u_n)$ est croissante.

Si $(u_n)$ est périodique, alors on peut extraire de $(u_n)$ une suite constante.

Si les suites extraites $(u_{2k})$ et $(u_{2k+1})$ sont monotones, alors $(u_n)$ est monotone.

Question 3   Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels, et $l$ un réel.

La suite $(u_n)$ converge vers $l$ si et seulement si :

$$\forall k\in\mathbb{N} ,\;\exists n_0\in\mathbb{N} ,\;\forall n>n_0\;,\quad (u_n-l)\in ] -1/k,1/k[\;.$$

La suite $(u_n)$ converge vers $l$ si et seulement si :

$$\forall \varepsilon >0 ,\;\exists n_0\in\mathbb{N} ,\;\forall n>n_0\;,\quad -\varepsilon ^2<(u_n-l)<\sqrt{\varepsilon }\;.$$

La suite $(u_n)$ converge vers $l$ si et seulement si :

$$\forall \varepsilon >0 ,\;\exists n_0\in\mathbb{N} ,\;\forall n>n_0\;,\quad (u_n-l)<\sqrt{\varepsilon }\;.$$

La suite $(u_n)$ converge vers $l$ si et seulement si :

$$\forall k>0 ,\;\exists n_0\in\mathbb{N} ,\;\forall n>n_0\;,\quad (l-u_n)<1/k\;.$$

La suite $(u_n)$ converge vers $l$ si et seulement si :

$$\forall \varepsilon >0 ,\;\forall n_0\in\mathbb{N} ,\;\exists n>n_0\;,\quad \vert u_n-l\vert<\varepsilon \;.$$

Question 4   Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels.

Si $(u_n)$ tend vers $+\infty$ si et seulement si aucune suite extraite de $(u_n)$ n'est majorée.

Si $(u_n)$ ne tend ni vers $+\infty$ ni vers $-\infty$, alors $(u_n)$ est bornée.

Si $(u_n)$ tend vers $+\infty$, alors $(u_n)$ est croissante à partir d'un certain rang.

Si les suites extraites $(u_{2k})$ et $(u_{2k+1})$ ne sont pas majorées, alors $(u_n)$ tend vers $+\infty$.

Si les suites extraites $(u_{2k})$ et $(u_{2k+1})$ convergent, alors $(u_n)$ est bornée.

Question 5   Soient $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ deux suites de réels. On suppose que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $v_n$ est non nul.

Si $(u_n)$ tend vers 0 et $(v_n)$ tend vers $+\infty$, alors $(u_nv_n)$ tend vers 0.

Si $(u_n)$ est bornée et $(v_n)$ tend vers $+\infty$, alors $(u_n+v_n)$ tend vers $+\infty$.

Si $(u_n)$ est bornée et $(v_n)$ tend vers $+\infty$, alors $(\vert u_n\vert v_n)$ tend vers $+\infty$.

Si $(u_n)$ tend vers 0 et $(v_n)$ est majorée, alors $(u_nv_n)$ tend vers 0.

Si $(u_n)$ est bornée et $(v_n)$ vers $+\infty$, alors $(u_n/v_n)$ tend vers 0.

Question 6   Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels.

Si les suites extraites $(u_{2k})$ et $(u_{2k+1})$ sont bornées et monotones, alors la suite $(u_n)$ converge vers une limite finie.

Si $(u_n)$ est monotone et bornée, alors les suites extraites $(u_{2k})$ et $(u_{2k+1})$ convergent vers la même limite finie.

Si $(u_n)$ est monotone et converge vers une limite finie, alors les suites extraites $(u_{2k})$ et $(u_{2k+1})$ sont adjacentes.

Si $(u_n)$ est non majorée, alors les suites extraites $(u_{2k})$ et $(u_{2k+1})$ tendent vers $+\infty$.

Si $(u_n)$ est monotone et non majorée, alors $(u_n)$ est croissante.

Question 7    

$n^2\ln(n)=O(n^2)$

$n^2\ln(n^2)\sim n^2\ln(n)$

$n^2\ln(n)=o(n^3)$

$n^2\ln(n)=o(n^2\ln(n^2))$

$n^2\ln(n^2)=O(n^2\ln(n))$

Question 8    

$${\frac{(n+3)^3 2^{n}}{(n+2)^2 3^n}\sim (2/3)^n}$$

$${\frac{(n+3)^3 2^{n}}{(n+2)^2 3^n}=o( (3/4)^n)}$$

$${\frac{(n+3)^3 2^{n}}{(n+2)^2 2^{2n+1}}=O( 2^{-n})}$$

$${\frac{(n+3)^2 2^{n}}{(n+2)^2 2^{2n+1}}\sim 2^{-n}}$$

$${\frac{(n+3)^2 2^{n}}{(n+2)^2 2^{2n+1}}=O( 2^{-n})}$$

Question 9   Soit $(u_n)$ une suite définie par $u_0\in \mathbb{R}$ et pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=u_n^2$.

Quel que soit $u_0$, la suite $(u_n)$ est monotone.

Quel que soit $u_0$, la suite $(u_n)$ converge vers 0 ou vers $1$.

Si $u_0\in\{0,1\}$, alors la suite $(u_n)$ est constante.

Si $u_0>0$, alors la suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$.

Si $\vert u_0\vert<1$ alors la suite $(u_n)$ tend vers 0.

Question 10   Soit $(z_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite à valeurs complexes définie par :

$$\forall n\in\mathbb{N}\;,\quad z_n=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/2(1+1/n)}+ \frac{1}{n}\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\pi/8}\;.$$

La suite Re$(z_n)$ tend vers 0.

La suite $(z_n)$ converge vers $\mathrm{i}$.

La suite $($Arg$(z_n-\mathrm{i}))$ converge.

La suite $($Arg$(z_n-\mathrm{i}))$ est périodique.

La suite $(\vert z_n-1\vert)$ ne converge pas.