QCM

Donnez-vous une heure pour répondre à ce questionnaire. Les 10 questions sont indépendantes. Pour chaque question 5 affirmations sont proposées, parmi lesquelles 2 sont vraies et 3 sont fausses. Pour chaque question, cochez les 2 affirmations que vous pensez vraies. Chaque question pour laquelle les 2 affirmations vraies sont cochées rapporte 2 points.

Question 1    
\framebox{A}
La suite $ (n^2-2(-1)^n)$ est croissante à partir d'un certain rang.
\framebox{B}
La suite $ (n^2+(-2)^n)$ est croissante à partir d'un certain rang.
\framebox{C}
La suite $ (n+(-1)^n)$ est croissante à partir d'un certain rang.
\framebox{D}
La suite $ (2n+(-1)^n)$ est croissante.
\framebox{E}
La suite $ (3n-2(-1)^n)$ est croissante à partir d'un certain rang.

Question 2   Soit $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels.
\framebox{A}
Si $ (u_n)$ est périodique, alors toute suite extraite de $ (u_n)$ est périodique.
\framebox{B}
Si les suites extraites $ (u_{2k})$ et $ (u_{k^2})$ sont bornées, alors $ (u_n)$ est bornée.
\framebox{C}
Si $ (u_n)$ est croissante, alors toute suite extraite de $ (u_n)$ est croissante.
\framebox{D}
Si $ (u_n)$ est périodique, alors on peut extraire de $ (u_n)$ une suite constante.
\framebox{E}
Si les suites extraites $ (u_{2k})$ et $ (u_{2k+1})$ sont monotones, alors $ (u_n)$ est monotone.

Question 3   Soit $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels, et $ l$ un réel.
\framebox{A}
La suite $ (u_n)$ converge vers $ l$ si et seulement si :

$\displaystyle \forall k\in\mathbb{N} ,\;\exists n_0\in\mathbb{N} ,\;\forall n>n_0\;,\quad
(u_n-l)\in ] -1/k,1/k[\;.
$

\framebox{B}
La suite $ (u_n)$ converge vers $ l$ si et seulement si :

$\displaystyle \forall \varepsilon >0 ,\;\exists n_0\in\mathbb{N} ,\;\forall n>n_0\;,\quad
-\varepsilon ^2<(u_n-l)<\sqrt{\varepsilon }\;.
$

\framebox{C}
La suite $ (u_n)$ converge vers $ l$ si et seulement si :

$\displaystyle \forall \varepsilon >0 ,\;\exists n_0\in\mathbb{N} ,\;\forall n>n_0\;,\quad
(u_n-l)<\sqrt{\varepsilon }\;.
$

\framebox{D}
La suite $ (u_n)$ converge vers $ l$ si et seulement si :

$\displaystyle \forall k>0 ,\;\exists n_0\in\mathbb{N} ,\;\forall n>n_0\;,\quad
(l-u_n)<1/k\;.
$

\framebox{E}
La suite $ (u_n)$ converge vers $ l$ si et seulement si :

$\displaystyle \forall \varepsilon >0 ,\;\forall n_0\in\mathbb{N} ,\;\exists n>n_0\;,\quad
\vert u_n-l\vert<\varepsilon \;.
$

Question 4   Soit $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels.
\framebox{A}
Si $ (u_n)$ tend vers $ +\infty$ si et seulement si aucune suite extraite de $ (u_n)$ n'est majorée.
\framebox{B}
Si $ (u_n)$ ne tend ni vers $ +\infty$ ni vers $ -\infty$, alors $ (u_n)$ est bornée.
\framebox{C}
Si $ (u_n)$ tend vers $ +\infty$, alors $ (u_n)$ est croissante à partir d'un certain rang.
\framebox{D}
Si les suites extraites $ (u_{2k})$ et $ (u_{2k+1})$ ne sont pas majorées, alors $ (u_n)$ tend vers $ +\infty$.
\framebox{E}
Si les suites extraites $ (u_{2k})$ et $ (u_{2k+1})$ convergent, alors $ (u_n)$ est bornée.

Question 5   Soient $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $ (v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ deux suites de réels. On suppose que pour tout $ n\in \mathbb{N}$, $ v_n$ est non nul.
\framebox{A}
Si $ (u_n)$ tend vers 0 et $ (v_n)$ tend vers $ +\infty$, alors $ (u_nv_n)$ tend vers 0.
\framebox{B}
Si $ (u_n)$ est bornée et $ (v_n)$ tend vers $ +\infty$, alors $ (u_n+v_n)$ tend vers $ +\infty$.
\framebox{C}
Si $ (u_n)$ est bornée et $ (v_n)$ tend vers $ +\infty$, alors $ (\vert u_n\vert v_n)$ tend vers $ +\infty$.
\framebox{D}
Si $ (u_n)$ tend vers 0 et $ (v_n)$ est majorée, alors $ (u_nv_n)$ tend vers 0.
\framebox{E}
Si $ (u_n)$ est bornée et $ (v_n)$ vers $ +\infty$, alors $ (u_n/v_n)$ tend vers 0.

Question 6   Soit $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels.
\framebox{A}
Si les suites extraites $ (u_{2k})$ et $ (u_{2k+1})$ sont bornées et monotones, alors la suite $ (u_n)$ converge vers une limite finie.
\framebox{B}
Si $ (u_n)$ est monotone et bornée, alors les suites extraites $ (u_{2k})$ et $ (u_{2k+1})$ convergent vers la même limite finie.
\framebox{C}
Si $ (u_n)$ est monotone et converge vers une limite finie, alors les suites extraites $ (u_{2k})$ et $ (u_{2k+1})$ sont adjacentes.
\framebox{D}
Si $ (u_n)$ est non majorée, alors les suites extraites $ (u_{2k})$ et $ (u_{2k+1})$ tendent vers $ +\infty$.
\framebox{E}
Si $ (u_n)$ est monotone et non majorée, alors $ (u_n)$ est croissante.

Question 7    
\framebox{A}
$ n^2\ln(n)=O(n^2)$
\framebox{B}
$ n^2\ln(n^2)\sim n^2\ln(n)$
\framebox{C}
$ n^2\ln(n)=o(n^3)$
\framebox{D}
$ n^2\ln(n)=o(n^2\ln(n^2))$
\framebox{E}
$ n^2\ln(n^2)=O(n^2\ln(n))$

Question 8    
\framebox{A}
$ \displaystyle{\frac{(n+3)^3  2^{n}}{(n+2)^2  3^n}\sim (2/3)^n}$
\framebox{B}
$ \displaystyle{\frac{(n+3)^3  2^{n}}{(n+2)^2  3^n}=o( (3/4)^n)}$
\framebox{C}
$ \displaystyle{\frac{(n+3)^3  2^{n}}{(n+2)^2  2^{2n+1}}=O( 2^{-n})}$
\framebox{D}
$ \displaystyle{\frac{(n+3)^2  2^{n}}{(n+2)^2  2^{2n+1}}\sim 2^{-n}}$
\framebox{E}
$ \displaystyle{\frac{(n+3)^2  2^{n}}{(n+2)^2  2^{2n+1}}=O( 2^{-n})}$

Question 9   Soit $ (u_n)$ une suite définie par $ u_0\in \mathbb{R}$ et pour tout $ n\in \mathbb{N}$, $ u_{n+1}=u_n^2$.
\framebox{A}
Quel que soit $ u_0$, la suite $ (u_n)$ est monotone.
\framebox{B}
Quel que soit $ u_0$, la suite $ (u_n)$ converge vers 0 ou vers $ 1$.
\framebox{C}
Si $ u_0\in\{0,1\}$, alors la suite $ (u_n)$ est constante.
\framebox{D}
Si $ u_0>0$, alors la suite $ (u_n)$ tend vers $ +\infty$.
\framebox{E}
Si $ \vert u_0\vert<1$ alors la suite $ (u_n)$ tend vers 0.

Question 10   Soit $ (z_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite à valeurs complexes définie par :

$\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}\;,\quad z_n=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/2(1+1/n)}+
\frac{1}{n}\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\pi/8}\;.
$

\framebox{A}
La suite Re$ (z_n)$ tend vers 0.
\framebox{B}
La suite $ (z_n)$ converge vers $ \mathrm{i}$.
\framebox{C}
La suite $ ($Arg$ (z_n-\mathrm{i}))$ converge.
\framebox{D}
La suite $ ($Arg$ (z_n-\mathrm{i}))$ est périodique.
\framebox{E}
La suite $ (\vert z_n-1\vert)$ ne converge pas.

\framebox{\rotatebox{180}{Réponses~: 1--AD~2--CD~3--AB~4--AE~5--BE~6--BE~7--CE~8--BE~9--CE~10--AB}}

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