Exercices

Exercice 1   On considère les suites $(u_n)$ définies par :

$$u_n=1+\frac{\sqrt{n}}{n+1}\;,\quad u_n=\frac{2n+3}{2n+1}\;,\quad u_n = \frac{n^2+1}{n^2+n+1}\;,\quad$$

$$u_n=1+\frac{\sin(n^2)}{n+1}\;,\quad u_n=\frac{2n+(-1)^n}{2n+1}\;,\quad u_n = \frac{n^2+(-1)^n\sqrt{n}}{n^2+n+1}\;.$$

Pour chacune de ces suites :

1. Montrer qu'elle converge vers $1$.
2. Pour $\varepsilon >0$ fixé, déterminer en fonction de $\varepsilon$ le rang $n_0$ à partir duquel tous les termes de la suite restent dans l'intervalle $[1-\varepsilon ,1+\varepsilon ]$.

Exercice 2   On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies comme suit :

1. $$u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$$   et$$\quad v_n = u_n+\frac{1}{n}\;.$$

2. $$u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^3}$$   et$$\quad v_n = u_n+\frac{1}{n^2}\;.$$

3. $$u_n = 1+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k^2(k+1)^2}$$   et$$\quad v_n = u_n+\frac{1}{3n^2}\;.$$

4. $$s_n = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{k} \;,\quad u_n = s_{2n+1}$$   et$$\quad v_n = s_{2n}\;.$$

5. $$u_0=a>0\;,\quad v_0=b>a$$   et$$\quad u_{n+1} =\sqrt{u_n v_n}\;,\quad v_{n+1} = \frac{u_n+v_n}{2}\;.$$

6. $$u_0=a>0\;,\quad v_0=b>a$$   et$$\quad u_{n+1} = \frac{u_n+v_n}{2}\;,\quad v_{n+1} = \frac{2}{1/u_n+1/v_n}\;.$$

Montrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.

Exercice 3   Soit $(u_n)$ une suite de réels.

1. Montrer que si les suites extraites $(u_{3n})$, $(u_{3n+1})$ et $(u_{3n+2})$ convergent vers la même limite, alors $(u_n)$ converge.
2. Montrer que si les suites extraites $(u_{2n})$, $(u_{2n+1})$ et $(u_{3n})$ convergent, alors $(u_n)$ converge.
3. Montrer que si les suites extraites $(u_{2n})$, $(u_{2n+1})$ et $(u_{n^2})$ convergent, alors $(u_n)$ converge.
4. Montrer par un exemple que les suites extraites $(u_{3n})$, $(u_{3n+1})$, $(u_{3n+2})$ et $(u_{n^2})$ peuvent converger sans que $(u_n)$ converge.

Exercice 4   Démontrer les relations de comparaison suivantes.

1. Suites tendant vers 0 :
   $$\frac{\ln n}{n}= o(\frac{1}{\sqrt{n}})\;,\quad \frac{n^2\ln n}{2^n}= o(\frac{1}{n^4})\;,\quad \frac{10^n}{n!}=o((3/2)^{-n})\;.$$

2. Suites tendant vers $+\infty$ :
   $$10^n=o(\frac{\sqrt{n!}}{(4/3)^n})\;,\quad n^4 2^{n^2}=o((6/5)^{n^3})\;,\quad (\ln n)^4 \sqrt{n} = o(n^2\ln(\ln n))\;.$$

Exercice 5   Démontrer les relations de comparaison suivantes.

1. Suites tendant vers 0 :
   $$\frac{\ln(n^2+n)}{n}= O(\frac{\ln(n)}{n})\;,\quad \frac{n^2+\ln(n^2)}{(2n+1)^3}= O(\frac{1}{n})\;,\quad \frac{3}{2^{2n+1}+n^4}=O(4^{-n})\;.$$

2. Suites tendant vers $+\infty$ :
   $$\frac{2n+\sqrt{n}}{\sqrt[3]{2n+3}}=O(n^{2/3})\;,\quad \ln(n^2+2n+3)=O(\ln(n))\;,\quad \frac{4n^2+3n\cos(n)}{5n-\sin(n+3)}= O(n)\;.$$

Exercice 6   Démontrer les relations de comparaison suivantes.

1. Suites tendant vers 0 :
   $$\frac{4n^3-\sqrt{n^5+3n^4}}{(\sqrt{2}n+\sqrt{n})^4}\sim\frac{1}{n... ...\;,\quad \frac{\sqrt[3]{n^2+2n\cos(n)}}{\sqrt{n^3+n^2\sin(n)}}\sim n^{-5/6}\;.$$

2. Suites tendant vers $+\infty$ :
   $$\frac{2n+\ln(n^3)}{\sqrt{4n+5}}\sim \sqrt{n}\;,\quad \frac{\ln(2^... ...n}\;,\quad \frac{\sqrt[3]{n^2+2n\cos(n)}}{\sqrt{n+\sin(n)}}\sim \sqrt[6]{n}\;.$$

Exercice 7   Démontrer les résultats suivants.

1. $$\lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{1}{2n}\right)^n = \sqrt{\... ...\infty\;,\quad \lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n = 1\;.$$

2. $$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n^2+2^{n}}{n^6+2^{3n}} = 0\;,\qua... ...rightarrow\infty} \frac{n^{-1/2}+ (-1/2)^{n}}{n^{-3}+(-1/2)^{3n}} = +\infty\;.$$

3. $$\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1} = 0\;,\quad \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt{n^2+n}-\sqrt{n^2-n} = 1\;.$$

4. $$\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt{n^3+n^2}-\sqrt{n^3-n^2} = +\infty\;, \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2-n+1} = 1\;.$$

5. $$\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt{n+\sqrt{n^2+1}}-\sqrt{n+\sqrt{n^... ...\quad \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n-\sqrt{n^2+1}}{n-\sqrt{n^2-1}} = -1\;.$$

Exercice 8   Soit $A$ une partie de $\mathbb{R}$. On dit que $A$ est dense dans $\mathbb{R}$, si pour tous réels $a,b$ tels que $a<b$, $A\cap ]a,b[\neq \emptyset$.

1. Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b$. Montrer que si $A$ est dense dans $\mathbb{R}$, alors l'intervalle $]a,b[$ contient une infinité d'éléments de $A$.
2. Soit $A$ une partie dense dans $\mathbb{R}$, et $x$ un réel quelconque. Montrer que $x$ est la limite d'une suite d'éléments de $A$. Indication : considérer les intervalles $]x-1/n,x+1/n[$, pour $n\in \mathbb{N}$.
3. Réciproquement, soit $A$ une partie de $\mathbb{R}$ telle que tout réel soit limite d'une suite d'éléments de $A$. Montrer que $A$ est dense dans $\mathbb{R}$.

Exercice 9   Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ une suite de réels. Pour tout $n\geqslant 1$, on note

$$c_n = \frac{1}{n}(u_1+\cdots+u_n)$$

la moyenne arithmétique des $n$ premiers termes. La suite $(c_n)$ est appelée «suite des moyennes de Cesaro» de $(u_n)$.

1. Montrer que si la suite $(u_n)$ converge vers 0, alors la suite $(c_n)$ converge aussi vers 0.
2. En déduire que si la suite $(u_n)$ converge vers $l$, alors la suite $(c_n)$ converge aussi vers $l$.
3. Pour $u_n=(-1)^n$, montrer que $(c_n)$ tend vers 0.
4. Soit $(u_n)$ une suite de réels telle que la suite $(u_{n+1}-u_n)$ converge vers $l$. Montrer que la suite $(u_n/n)$ converge également vers $l$.
5. Soit $(u_n)$ une suite de réels strictement positifs telle que la suite $(u_{n+1}/u_n)$ converge vers $l>0$. Montrer que la suite $(\sqrt[n]{u_n})$ converge également vers $l$.

Exercice 10   On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0\in \mathbb{R}$ et pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=F(u_n)$, avec :

$$F(x) = \frac{x^3}{4}\;.$$

1. Représenter le graphe de $F$. Utiliser les diagrammes en toile d'araignée pour deviner le comportement de la suite $(u_n)$ pour $u_0=-3$, $u_0=-1$, $u_0=1$, $u_0=3$.
2. Déterminer les points fixes de $F$.
3. Montrer que $F([0,2])\subset [0,2]$ et que $F([-2,0])\subset [-2,0]$.
4. Montrer que $(u_n)$ est décroissante, pour tout $u_0\in ]-\infty,-2[\cup ]0,2[$, croissante pour tout $u_0\in ]-2,0[\cup]2,+\infty[$.
5. Donner la limite de $(u_n)$ selon les valeurs de $u_0$.

Exercice 11   On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0\geqslant -2$ et pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=F(u_n)$, avec :

$$F(x) = \sqrt{2+x}\;.$$

1. Représenter le graphe de $F$. Utiliser les diagrammes en toile d'araignée pour deviner le comportement de la suite $(u_n)$ pour $u_0=-1$, puis $u_0=3$. Montrer que $2$ est le seul point fixe de $F$.
2. Pour $u_0\in[-2,2[$, montrer que $(u_n)$ est croissante, et tend vers $2$.
3. Pour $u_0>2$, montrer que $(u_n)$ est décroissante, et tend vers $2$.
4. Donner la limite de $(u_n)$ selon les valeurs de $u_0$.

Exercice 12   On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0\in \mathbb{R}$ et pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=F(u_n)$, avec :

$$F(x) = \frac{x}{x^2+1}\;.$$

1. Représenter le graphe de $F$. Utiliser les diagrammes en toile d'araignée pour deviner le comportement de la suite $(u_n)$ pour $u_0=-1$, puis $u_0=1$. Montrer que 0 est le seul point fixe de $F$.
2. On suppose $u_0<0$. Montrer que $(u_n)$ est croissante et tend vers 0.
3. On suppose $u_0>0$. Montrer que $(u_n)$ est décroissante et tend vers 0.

Exercice 13   On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0\in \mathbb{R}$ et pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=F(u_n)$, avec :

$$F(x) = \frac{1}{2}(x+x^2)\;.$$

1. Représenter le graphe de $F$. Utiliser les diagrammes en toile d'araignée pour deviner le comportement de la suite $(u_n)$ pour $u_0=1/2$, $u_0=2$, $u_0=-1/2$. Déterminer les points fixes de $F$. Montrer que $F([0,1])\subset [0,1]$ et que $F([-1,0])\subset [-1,0]$.
2. On suppose $u_0\in [0,1[$. Montrer que $(u_n)$ est décroissante et donner sa limite.
3. On suppose $u_0>1$. Montrer que $(u_n)$ est croissante et tend vers $+\infty$.
4. On suppose $u_0\in[-1,0]$. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $\vert u_n\vert\leqslant 2^{-n}$. En déduire que $(u_n)$ tend vers 0.
5. On suppose $u_0<-1$. Montrer qu'on peut se ramener aux trois cas précédents. Donner la limite de $(u_n)$ selon les valeurs de $u_0$.

Exercice 14   Soit $a$ un réel tel que $0<a<1$. On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=a$, et pour tout $n\geqslant 0$,

$$u_{n+1} = \frac{n+u_n}{n+1}\;.$$

1. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $0<u_n<1$.
2. Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
3. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$,
   $$u_{n+1}-1 = \frac{u_n-1}{n+1}\;.$$

4. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$,
   $$u_n=1+\frac{a-1}{n!}\;.$$

Exercice 15   On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ :

$$u_{n} = \frac{u_{n-1}+2n^2-2}{n^2}\;.$$

1. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n\geqslant 2$.
2. Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.
3. Montrer que la suite $(u_n)$ converge vers $2$.

Exercice 16   Soit $a$ un réel et $r$ un réel non nul. On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0\in \mathbb{R}$ et

$$(E)\qquad\qquad \forall n\in\mathbb{N}\;,\quad u_{n+1} = r u_n + a\;.$$

1. Montrer que la suite $(u_{n+1}-u_n)$ est une suite géométrique de raison $r$.
2. On pose $\lambda = a/(1-r)$. Montrer que la suite constante dont tous les termes sont égaux à $\lambda$ est solution de l'équation de récurrence $(E)$.
3. Montrer que la suite $(u_n-\lambda)$ est une suite géométrique.
4. En déduire l'expression suivante de $u_n$ :
   $$u_n = \frac{a}{1-r}+\left(u_0-\frac{a}{1-r}\right) r^n\;.$$

Exercice 17   On considère l'équation de récurrence qui engendre la suite de Fibonacci :

$$(E)\qquad\qquad \forall n\in\mathbb{N}\;,\quad u_{n+2}=u_{n+1}+u_n\;.$$

1. Soit $r$ un réel. Montrer qu'une suite géométrique de raison $r$ vérifie $(E)$ si et seulement si $r$ est solution de l'équation $r^2=r+1$.
2. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, définissons $u_n=a\phi^n+b(-1/\phi)^n$, où $a$ et $b$ sont deux réels, et $\phi$ est le nombre d'or :
   $$\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\quad,\quad -\frac{1}{\phi} = \frac{1-\sqrt{5}}{2}\;.$$
   Montrer que la suite $(u_n)$ vérifie l'équation de récurrence $(E)$.
3. Calculer les valeurs de $a$ et $b$ telles que
   $$\left\{ \begin{array}{lcl} a+b&=&1\ [1.5ex] a\phi-b/\phi&=&1 \end{array}\right.$$

4. En déduire l'expression suivante du $n$-ième nombre de Fibonacci :
   $$a_n = \frac{1}{2^{n+1}\sqrt{5}}\left((1+\sqrt{5})^{n+1}-(1-\sqrt{5})^{n+1}\right)\;.$$

5. À partir de cette expression, retrouver le résultat du cours :
   $$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \phi\;.$$

Exercice 18   Soient $(a_n)$ et $(b_n)$ deux suites de réels telles que $a_0=1$, $b_0=0$ et pour tout $n\in \mathbb{N}$ :

$$\left\{ \begin{array}{lcl} a_{n+1}&=&(a_n-b_n)/2\ [1.5ex] b_{n+1}&=&(a_n+b_n)/2\;. \end{array}\right.$$

On pose $z_n=a_n+\mathrm{i} b_n$.

1. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$,
   $$z_{n+1} = \frac{1+\mathrm{i}}{2} z_n\;.$$

2. En déduire que pour tout $n\in \mathbb{N}$,
   $$z_{n} = \frac{1}{2^{n/2}} \mathrm{e}^{n\mathrm{i}\pi/4}\;.$$

3. En déduire l'expression de $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$.
4. Montrer que la suite $(z_n)$ converge vers 0 dans $\mathbb{C}$.