Vrai ou faux

Vrai-Faux 1   Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$ Si $x$ est rationnel, la suite des décimales de $x$ est périodique.
2. $\boxtimes\;$ Si $x$ est décimal, la suite des décimales de $x$ est constante à partir d'un certain rang.
3. $\boxtimes\;$ Toute suite récurrente qui ne prend qu'un nombre fini de valeurs distinctes, est périodique à partir d'un certain rang.
4. $\square\;$ Si $F$ est une application croissante, la suite $(F^{\circ n}(u_0))$ est croissante.
5. $\boxtimes\;$ Si $f$ est une application croissante, la suite $(f(n))$ est croissante.
6. $\boxtimes\;$ Si $P$ est une application polynôme, la suite $(P(n))$ est monotone à partir d'un certain rang.
7. $\square\;$ La suite $(\mathrm{e}^{n\mathrm{i}\pi/4})$ est périodique de période $4$.
8. $\boxtimes\;$ La suite $((-1)^k)$ est une suite extraite de la suite $(\mathrm{e}^{n\mathrm{i}\pi/4})$.
9. $\boxtimes\;$ On peut extraire de la suite $(\mathrm{e}^{n\mathrm{i}\pi/4})$ une sous-suite constante.

Vrai-Faux 2   Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$ Toute suite croissante et minorée tend vers $+\infty$.
2. $\boxtimes\;$ Toute suite décroissante et non minorée tend vers $-\infty$.
3. $\boxtimes\;$ Toute suite croissante et bornée converge.
4. $\square\;$ Une suite à termes positifs qui converge vers 0 est décroissante à partir d'un certain rang.
5. $\boxtimes\;$ Si la suite des décimales de $x$ converge, alors $x$ est un nombre rationnel.
6. $\square\;$ Si $r\leqslant 1$ alors $(\cos(n) r^n)$ tend vers 0.
7. $\boxtimes\;$ Si $r< 1$ alors $(\cos(n) r^n)$ tend vers 0.

Vrai-Faux 3   Soit $(u_n)$ une suite de réels. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$ Si $(u_n)$ tend vers 0, alors pour tout $n$, $u_n<1$.
2. $\boxtimes\;$ Si $(u_n)$ tend vers 0, alors $u_n<1$ pour $n$ assez grand.
3. $\boxtimes\;$ Si $(u_n)$ tend vers $2$, alors $u_n>1$ pour $n$ assez grand.
4. $\boxtimes\;$ Si $(u_n)$ tend vers 0 alors $(\cos(n) u_n)$ tend vers 0.
5. $\square\;$ Si $(u_n)$ tend vers $1$ alors $(\cos(n) u_n)$ tend vers $1$.
6. $\boxtimes\;$ Si $(u_n)$ tend vers $1$ alors $(\cos(n) u_n)$ est bornée.
7. $\square\;$ Si la suite $(\vert u_n\vert)$ converge vers $l$, alors la suite $(u_n)$ converge vers $l$ ou vers $-l$.
8. $\boxtimes\;$ Si la suite $(u_n)$ converge vers $l$, alors la suite $(\vert u_n\vert)$ converge vers $\vert l\vert$.
9. $\boxtimes\;$ Si la suite $(u_n)$ converge vers $l$, alors la suite $(u_{n^2})$ converge vers $l$.
10. $\boxtimes\;$ Si la suite $(u_n)$ converge vers $1$, alors la suite $(u_{n}^2)$ converge vers $1$.
11. $\square\;$ Si la suite $(u_n)$ converge vers $1$, alors la suite $(u_{n}^n)$ converge vers $1$.

Vrai-Faux 4   Soient $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites de réels. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ Si pour tout $n$, $(u_n)\geqslant \sqrt{n}$ alors $(u_n)$ tend vers $+\infty$.
2. $\square\;$ Si pour tout $n$, $(u_n)\geqslant -\sqrt{n}$ alors $(u_n)$ tend vers $-\infty$.
3. $\boxtimes\;$ Si à partir d'un certain rang $u_n\leqslant v_n\leqslant w_n$ et si les suites $(u_n)$ et $(w_n)$ tendent vers $1$, alors $(v_n)$ tend vers $1$.
4. $\square\;$ Si à partir d'un certain rang $u_n\leqslant v_n\leqslant w_n$ et si les suites $(u_n)$ et $(w_n)$ convergent, alors $(v_n)$ converge.
5. $\boxtimes\;$ Si à partir d'un certain rang $u_n\leqslant v_n\leqslant w_n$ et si les suites $(u_n)$ et $(w_n)$ convergent, alors $(v_n)$ est bornée.
6. $\boxtimes\;$ Si $u_n=o(v_n)$ alors $u_n=O(v_n)$.
7. $\square\;$ Si $u_n=O(v_n)$ et $v_n=O(u_n)$ alors $u_n\sim v_n$.
8. $\boxtimes\;$ Si $u_n\sim v_n$ alors $(u_n/v_n)$ est bornée.
9. $\square\;$ Si $u_n\sim v_n$ alors $u_n-v_n$ tend vers 0.
10. $\boxtimes\;$ Si $u_n\sim v_n$ alors $u_n-v_n=o(v_n)$.

Vrai-Faux 5   Soit $(u_n)$ une suite de réels croissante et non majorée. Vous pouvez en déduire que (vrai ou faux et pourquoi) :

1. $\boxtimes\;$ La suite $(u_n)$ est positive à partir d'un certain rang.
2. $\square\;$ La suite $(u_n^2)$ est croissante.
3. $\boxtimes\;$ La suite $(\sqrt{\vert u_n\vert})$ tend vers $+\infty$.
4. $\boxtimes\;$ La suite $(\exp(-u_n))$ tend vers 0.
5. $\square\;$ La suite $(1/u_n)$ est décroissante.

Vrai-Faux 6   Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$ $n2^n=O(2^n)$.
2. $\boxtimes\;$ $2^{n+1}=O(2^n)$.
3. $\square\;$ $2^{n^2+n}=O(2^{n^2})$.
4. $\boxtimes\;$ $n2^n=o(3^n)$.
5. $\square\;$ $n2^n/\sqrt{n+1}=O(2^n)$.
6. $\boxtimes\;$ $n2^n/\sqrt{n^2+1}\sim 2^n$.
7. $\square\;$ $3^n/n=O(2^n)$.
8. $\boxtimes\;$ $2^n/n=o(2^n)$.
9. $\square\;$ $n2^{-n}=O(2^{-n})$.
10. $\boxtimes\;$ $n3^{-n}=o(2^{-n})$.
11. $\square\;$ $n2^{-n}/\sqrt{n+1}=O(2^{-n})$.
12. $\boxtimes\;$ $n2^{-n}/\sqrt{n^2+1}\sim 2^{-n}$.
13. $\boxtimes\;$ $3^{-n}/n=O(2^{-n})$.
14. $\boxtimes\;$ $2^{-n}/n=o(2^{-n})$.