Le théorème de Merton

Non, Merton n'est pas un de ces illustres inconnus dont nous vous abreuvons à longueur de compléments, mais un collège d'Oxford, ayant accueilli au XIV^esiècle quatre mathématiciens-physiciens-philosophes, restés dans l'histoire sous le nom de «Calculateurs d'Oxford». Leurs noms ? Thomas Bradwardine, William Heytesbury, Richard Swineshead, John Dumbleton, mais personne n'en est sûr. On ignore presque tout de leurs vies et de leurs carrières, sauf qu'ils ont écrit, à peu près à la même période (1330-1350), plusieurs traités de cinématique dans la droite ligne d'Aristote³. Ces traités contiennent un énoncé nouveau et intéressant : le «théorème de la vitesse moyenne». Il concerne un mouvement uniformément accéléré, dont la vitesse est fonction affine du temps : $v(t)=at+b$. Le théorème dit que la distance atteinte au temps $T$ est la même que si le mouvement s'était effectué à vitesse constante, égale à la vitesse atteinte au temps $\frac{T}{2}$, soit la moyenne des vitesses initiale et finale. Démonstration : 

$$x(t)= \int_0^T v(t) \mathrm{d}t = \int_0^T (at+b) \mathrm{d}t = a\frac{T^2}{2}+bT =\left(a\frac{T}{2}+b\right)T= v\left(\frac{T}{2}\right) T\;.$$

$\square$ Pas de quoi s'émerveiller direz-vous ? Ceci se passait bien longtemps avant que les mathématiques soient écrites de manière algébrique, et encore plus longtemps avant les primitives. Le mouvement uniformément accéléré était déjà présent à titre d'exemple chez Aristote, et les calculateurs d'Oxford ne faisaient que suivre sa tradition des « expériences de pensée». Mais voici ce qu'en disait un savant espagnol, Domingo de Soto, en 1555:

Cette sorte de mouvement appartient en propre aux choses qui se meuvent naturellement et aux projectiles. Car lorsqu'un corps tombe dans un milieu homogène, il se déplace plus rapidement à la fin qu'au début. D'un autre côté, le mouvement des projectiles vers le haut est moins rapide à la fin qu'au début. De sorte que le premier croît uniformément, tandis que le second décroît uniformément.

Eh oui : le «théorème de Merton» décrivait la loi de la chute des corps..., publiée par Galilée presque 3 siècles après les calculateurs d'Oxford, et qui lui est attribuée depuis. Voici comment Galilée l'énonce en 1632.

Le temps dans lequel une certaine distance est parcourue par un mobile uniformément accéléré à partir du repos est égal au temps dans lequel la même distance serait parcourue par le même corps voyageant avec une vitesse uniforme, égale à la moitié de la vitesse maximale finale du mouvement uniformément accéléré original.

Parmi les calculateurs d'Oxford, Richard Swineshead, dont le nom avait été déformé en Suiseth, ou Suisset, a suscité l'admiration de ses successeurs. Cardan l'avait classé parmi les 10 plus grands esprits de tous les temps. Leibniz, qui s'était procuré une copie de son manuscrit, écrivait en 1714: «Il y a eu autrefois un Suisse, qui avoit mathématisé dans la Scholastique : ses ouvrages sont peu connus ; mais ce que j'en ai vu m'a paru profond et considérable». Qu'y avait-il de si profond dans le liber calculationum de Swineshead ? Entre autres plusieurs démonstrations du théorème de Merton. Dans l'une d'elles, l'étape principale consiste à montrer que pour un mouvement uniformément décéléré jusqu'à l'arrêt complet, la distance parcourue pendant la première moitié du temps est le triple de la distance parcourue dans la seconde moitié. Voici ce que dit Swineshead.

Pour cela, supposons que $a$ décélère uniformément jusqu'à zéro. Alors dans chacun des instants de la première partie proportionnelle du temps, il ira deux fois plus vite que dans la partie correspondante de la seconde partie, et ainsi de suite pour les parties suivantes, comme il est évident. Comme la première partie proportionnelle du temps est le double de la seconde, il est évident que $a$ parcoura quatre fois plus de distance dans la première que dans la seconde, dans la seconde que dans la troisième, et ainsi jusqu'à l'infini.

En notations modernes, soit $T$ la durée (inconnue) du trajet. L'intervalle $[0,T]$ est subdivisé en $[0,\frac{T}{2}]$, $]\frac{T}{2},\frac{3T}{4}]$, $]\frac{3T}{4},\frac{7T}{8}]$, etc. Pour $n\in \mathbb{N}^*$; Notons $I_n$ l'intervalle

$$I_n=\left]\frac{(2^{n}-1)T}{2^{n}},\frac{(2^{n+1}-1)T}{2^{n+1}}\right]\;.$$

À $I_n$ faisons correspondre l'intervalle $I_{n+1}$, qui est de longueur moitié : nous mettons ainsi en correspondance chaque intervalle de la subdivision de $[0,T]$ avec un intervalle de subdivision de $[\frac{T}{2},T]$. Les vitesses étant proportionnelles aux instants, les vitesses dans $I_{n+1}$ seront la moitié des vitesses dans $I_n$, donc la distance parcourue dans $I_{n+1}$ sera le quart de la distance parcourue dans $I_n$. Vient alors l'argument de sommation :

La conséquence découle du fait que si deux ensembles de quantités sont comparés terme à terme de sorte que chaque comparaison donne la même proportion, alors, si la somme du premier ensemble est comparée avec la somme des termes du second ensemble, les sommes auront la même proportion que celle des comparaisons terme à terme des deux ensembles.

Traduisez :

$$\left(\forall n\in \mathbb{N} ,\; u_n=\lambda v_n\right)\;\Longr... ...\; \left(\sum_{n=0}^{+\infty} u_n = \lambda \sum_{n=0}^{+\infty} v_n\right)\;.$$

Et Swineshead conclut :

Il s'ensuit donc que dans l'intervalle de temps complet, $a$ parcourra quatre fois plus d'espace que dans la seconde moitié du temps. Donc dans la première moitié du temps, il traversera trois fois autant d'espace que dans la seconde moitié.

Vous vous demandez pourquoi avoir eu recours à une sommation de série, alors qu'il suffisait d'appliquer l'argument à la deuxième moitié (un quart de la distance totale parcourue, puisque la durée et la vitesse sont la moitié) ? Moi aussi. Peut-être par fidélité à Aristote et son paradoxe de dichotomie. En tout cas, le même genre d'argument lui permettait d'aller encore plus loin.

Si un point se meut à une vitesse constante durant la première moitié d'un intervalle de temps, durant le quart suivant de l'intervalle de temps à une vitesse double de la vitesse initiale, durant le huitième suivant de l'intervalle à une vitesse triple, etc. ad infinitum ; alors la vitesse moyenne durant l'intervalle de temps total sera le double de la vitesse initiale.

En d'autres termes :

$$\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\cdots+\frac{n}{2^n}+\cdots = 2\;.$$

C'est la première somme de série non géométrique de l'histoire. Comment Swineshead s'y prenait-il ? Doubler la vitesse sur la seconde moitié revient à la doubler sur la première. La tripler en plus sur le dernier quart de l'intervalle, a le même effet sur la vitesse moyenne que la doubler partout, sauf sur le dernier quart. La quadrupler en plus sur le dernier huitième a le même effet que la doubler partout, sauf sur le dernier huitième, etc. (figure 3). En écriture mathématique :

$$\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\cdots+\frac{n}{2^{n}}+\frac{n+1}{2^n} = 2\left(1-\frac{1}{2^n}\right)\;.$$

Figure: Argument de Swineshead pour la somme de la série $\sum n2^{-n}$.