Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu. Questions de cours : Soient $\sum u_n$ et $\sum v_n$ deux séries et $n_0$ un entier tel que pour tout $n\geqslant n_0$, $0\leqslant u_n \leqslant v_n$. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on pose

$$s_n=\sum_{n=0}^n u_k$$   et$$\quad t_n = \sum_{n=0}^n v_k\;.$$

1. Montrer que les suites $(s_n)$ et $(t_n)$ sont croissantes à partir de $n_0$, et qu'il existe un réel $a$ tel que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $s_n\leqslant t_n+a$.
2. En déduire que si $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge et si $\sum u_n$ diverge, alors $\sum v_n$ diverge.
3. On suppose que $u_n$ est équivalent à $v_n$ quand $n$ tend vers l'infini. Démontrer que $\sum u_n$ converge si et seulement si $\sum v_n$ converge.
4. On suppose qu'il existe $r<1$ et $n_0\in\mathbb{N}$ tel que pour tout $n\geqslant n_0$, $u_{n+1}\leqslant ru_n$. Montrer que la série $\sum u_n$ converge.
5. On suppose que $\sum u_n$ diverge. Démontrer que la série de terme général $(-1)^n/s_n$ converge.

Exercice 1 : Soit $(u_n)$ une suite de réels strictement positifs. On suppose qu'il existe $a>0$ et $b>1$ tels que

$$\frac{u_{n+1}}{u_n} = 1-\frac{a}{n}+O\left(\frac{1}{n^b}\right)\;.$$

1. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on pose $v_n=n^a u_n$. Démontrer que
   $$\frac{v_{n+1}}{v_n}=1+O\left( \frac{1}{n^c}\right)\;,$$
   où $c=\min\{b,2\}$.
2. En déduire que la série de terme général $\ln(v_{n+1}/v_n)$ converge.
3. En déduire que la suite $(v_n)$ converge.
4. Utiliser le résultat précédent pour démontrer que si $a\leqslant 1$, alors $\sum u_n$ diverge, et si $a>1$ alors $\sum u_n$ converge. (Vous venez de justifier la règle de Raabe-Duhamel).

Exercice 2 : On considère la série harmonique, de terme général $u_n=1/n$. On note $h_n$ ses sommes partielles, définies pour $n\geqslant 1$ par :

$$h_n = 1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\;.$$

1. Démontrer que pour tout $k\geqslant 2$,
   $$\int_k^{k+1} \frac{1}{t} \mathrm{d}t \leqslant u_k \leqslant\int_{k-1}^k\frac{1}{t} \mathrm{d}t\;.$$

2. En déduire que pour tout $n\geqslant 1$,
   $$\ln(n+1)\leqslant h_n\leqslant \ln(n)+1\;.$$

3. En déduire que $\sum u_n$ diverge et que $h_n$ est équivalent à $\ln(n)$ quand $n$ tend vers l'infini.
4. Pour tout $n\geqslant 1$, on pose
   $$\delta_n = u_n-\int_n^{n+1} \frac{1}{t} \mathrm{d}t\;.$$
   Montrer que $0\leqslant\delta_n \leqslant u_n-u_{n+1}$. En déduire que la série $\sum \delta_n$ converge.
5. En déduire qu'il existe un réel strictement positif $\gamma$ tel que
   $$\lim_{n\to+\infty} h_n-\ln(n)=\gamma\;.$$
   ( $\gamma \simeq 0.577215665$ est la constante d'Euler.)
6. Pour tout $n\geqslant 1$, on pose $v_n=(-1)^{n-1} u_n = (-1)^{n-1}/n$. Montrer que la série $\sum v_n$ converge.
7. Vérifier que pour tout $k\geqslant 1$, $1/k=\int_0^1 t^{k-1} \mathrm{d} t$. En déduire l'expression suivante des sommes partielles.
   $$s_n=\sum_{k=1}^n v_n = \int_0^1 \frac{1-(-t)^n}{1+t} \mathrm{d}t\;.$$

8. Montrer que pour tout $n\geqslant 1$
   $$\left\vert s_n-\int_0^1 \frac{1}{1+t} \mathrm{d}t \right\vert\leqslant \frac{1}{n+1}\;.$$

9. En déduire que
   $$\sum_{k=1}^{+\infty} v_n = \ln(2)\;.$$

10. Quelle est la plus petite valeur de $n$ telle que $\vert r_n\vert=\vert s_n-\ln(2)\vert< 10^{-3}$ ?
11. Démontrer l'égalité $s_{2n}=h_{2n}-h_n$. Retrouver la limite de $(s_n)$ en utilisant le résultat de la question $5$.