Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.
Questions de cours : Soient $ \sum
u_n$ et $ \sum v_n$ deux séries et $ n_0$ un entier tel que pour tout $ n\geqslant
n_0$, $ 0\leqslant u_n \leqslant v_n$. Pour tout $ n\in\mathbb{N}$, on pose

$\displaystyle s_n=\sum_{n=0}^n u_k$   et$\displaystyle \quad
t_n = \sum_{n=0}^n v_k\;.
$

  1. Montrer que les suites $ (s_n)$ et $ (t_n)$ sont croissantes à partir de $ n_0$, et qu'il existe un réel $ a$ tel que pour tout $ n\in\mathbb{N}$, $ s_n\leqslant t_n+a$.
  2. En déduire que si $ \sum v_n$ converge, alors $ \sum
u_n$ converge et si $ \sum
u_n$ diverge, alors $ \sum v_n$ diverge.
  3. On suppose que $ u_n$ est équivalent à $ v_n$ quand $ n$ tend vers l'infini. Démontrer que $ \sum
u_n$ converge si et seulement si $ \sum v_n$ converge.
  4. On suppose qu'il existe $ r<1$ et $ n_0\in\mathbb{N}$ tel que pour tout $ n\geqslant
n_0$, $ u_{n+1}\leqslant ru_n$. Montrer que la série $ \sum
u_n$ converge.
  5. On suppose que $ \sum
u_n$ diverge. Démontrer que la série de terme général $ (-1)^n/s_n$ converge.

Exercice 1 : Soit $ (u_n)$ une suite de réels strictement positifs. On suppose qu'il existe $ a>0$ et $ b>1$ tels que

$\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n} = 1-\frac{a}{n}+O\left(\frac{1}{n^b}\right)\;.
$

  1. Pour tout $ n\in\mathbb{N}$, on pose $ v_n=n^a u_n$. Démontrer que

    $\displaystyle \frac{v_{n+1}}{v_n}=1+O\left( \frac{1}{n^c}\right)\;,
$

    $ c=\min\{b,2\}$.
  2. En déduire que la série de terme général $ \ln(v_{n+1}/v_n)$ converge.
  3. En déduire que la suite $ (v_n)$ converge.
  4. Utiliser le résultat précédent pour démontrer que si $ a\leqslant 1$, alors $ \sum
u_n$ diverge, et si $ a>1$ alors $ \sum
u_n$ converge. (Vous venez de justifier la règle de Raabe-Duhamel).
Exercice 2 : On considère la série harmonique, de terme général $ u_n=1/n$. On note $ h_n$ ses sommes partielles, définies pour $ n\geqslant 1$ par :

$\displaystyle h_n = 1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\;.
$

  1. Démontrer que pour tout $ k\geqslant 2$,

    $\displaystyle \int_k^{k+1} \frac{1}{t} \mathrm{d}t \leqslant u_k
\leqslant\int_{k-1}^k\frac{1}{t} \mathrm{d}t\;.
$

  2. En déduire que pour tout $ n\geqslant 1$,

    $\displaystyle \ln(n+1)\leqslant h_n\leqslant \ln(n)+1\;.
$

  3. En déduire que $ \sum
u_n$ diverge et que $ h_n$ est équivalent à $ \ln(n)$ quand $ n$ tend vers l'infini.
  4. Pour tout $ n\geqslant 1$, on pose

    $\displaystyle \delta_n = u_n-\int_n^{n+1} \frac{1}{t} \mathrm{d}t\;.
$

    Montrer que $ 0\leqslant\delta_n \leqslant u_n-u_{n+1}$. En déduire que la série $ \sum \delta_n$ converge.
  5. En déduire qu'il existe un réel strictement positif $ \gamma$ tel que

    $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} h_n-\ln(n)=\gamma\;.
$

    ( $ \gamma \simeq 0.577215665$ est la constante d'Euler.)
  6. Pour tout $ n\geqslant 1$, on pose $ v_n=(-1)^{n-1} u_n = (-1)^{n-1}/n$. Montrer que la série $ \sum v_n$ converge.
  7. Vérifier que pour tout $ k\geqslant 1$, $ 1/k=\int_0^1 t^{k-1} \mathrm{d}
t$. En déduire l'expression suivante des sommes partielles.

    $\displaystyle s_n=\sum_{k=1}^n v_n = \int_0^1 \frac{1-(-t)^n}{1+t} \mathrm{d}t\;.
$

  8. Montrer que pour tout $ n\geqslant 1$

    $\displaystyle \left\vert  s_n-\int_0^1 \frac{1}{1+t} \mathrm{d}t \right\vert\leqslant \frac{1}{n+1}\;.
$

  9. En déduire que

    $\displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} v_n = \ln(2)\;.
$

  10. Quelle est la plus petite valeur de $ n$ telle que $ \vert r_n\vert=\vert s_n-\ln(2)\vert<
10^{-3}$ ?
  11. Démontrer l'égalité $ s_{2n}=h_{2n}-h_n$. Retrouver la limite de $ (s_n)$ en utilisant le résultat de la question $ 5$.


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