Corrigé du devoir

Questions de cours :  

1. Pour tout $n\geq n_0$ :
   $$s_{n+1}-s_n = u_n\geqslant 0$$   et$$\quad t_{n+1}-t_n = v_n\geqslant 0$$
   Donc les suites $(s_n)$ et $(t_n)$ sont croissantes à partir de $n_0$. De plus,
   $$s_n-s_{n_0} = u_{n_0+1}+\cdots+u_n\leqslant v_{n_0+1}+\cdots+v_n = t_n-t_{n_0}\;.$$
   Donc pour tout $n\in\mathbb{N}$ :
   $$s_n\leqslant t_n +\max\{s_k-t_k ,\;k=0,\ldots,n_0\}\;.$$

2. Une suite croissante converge vers une limite finie si et seulement si elle est majorée. La série $\sum v_n$ converge si et seulement si la suite $(t_n)$ converge. Supposons que ce soit le cas, et notons $t$ la limite. Alors pour tout $n\in\mathbb{N}$, $s_n$ est majorée par $t+a$, donc $(s_n)$ converge, donc $\sum u_n$ converge. Si $\sum u_n$ diverge, alors la suite $(s_n)$ tend vers $+\infty$. Comme $t_n\geqslant s_n+a$, il en est de même de la suite $(t_n)$, donc $\sum v_n$ diverge.
3. Par hypothèse, pour tout $\varepsilon>0$, il existe un entier $n_0$ tel que pour tout $n\geqslant n_0$, $\vert u_n-v_n\vert\leqslant \varepsilon v_n$. Fixons $\varepsilon =1/2$ : pour tout $n\geqslant n_0$
   $$\frac{1}{2}v_n\leqslant u_n\leqslant \frac{3}{2}v_n\;.$$
   Par linéarité, la convergence de la suite $(t_n)$ équivaut aux convergences des suites $(\frac{1}{2}t_n)$ et $(\frac{3}{2}t_n)$. En appliquant ce qui précède :
   $$\sum v_n$$ converge$$\;\Longrightarrow \sum \frac{3}{2}v_n$$ converge$$\;\Longrightarrow \sum u_n$$ converge$$,$$
   et
   $$\sum v_n$$ diverge$$\;\Longrightarrow \sum \frac{1}{2}v_n$$ diverge$$\;\Longrightarrow \sum u_n$$ diverge$$\;.$$

4. Montrons par récurrence que pour tout $n\geqslant n_0$, $u_n\leqslant u_{n_0}r^{n-n_0}$. C'est vrai pour $n=n_0$. Supposons que ce soit vrai pour $n$, alors :
   $$u_{n+1}\leqslant ru_n\leqslant r\left(u_{n_0}r^{n-n_0}\right) = u_{n_0}r^{n+1-n_0}\;,$$
   d'où le résultat. Pour $0<r<1$, la série $\sum r^n$ converge. Par linéarité, il en est de même de la série $\sum v_n$, avec $v_n=\left(u_{n_0}r^{-n_0}\right)r^n$. Or pout tout $n\geqslant n_0$, $0\leqslant u_n \leqslant v_n$. Donc $\sum u_n$ converge, en appliquant le résultat de la question 2.
5. La suite $(s_n)$ est croissante à partir de $n_0$. Si $\sum u_n$ diverge, alors la suite $(s_n)$ tend vers $+\infty$. Elle est donc non nulle à partir d'un certain rang $n_1$. Posons $n_2=\max\{n_0,n_1\}$. À partir du rang $n_2$, la suite $(1/s_n)$ est définie, décroissante, et elle tend vers 0. Donc la série de terme général $(-1)^n/s_n$ converge, par application du critère de convergence des séries alternées (théorème d'Abel).

Exercice 1 :  

1. Calculons un développement limité du rapport $v_{n+1}/v_n$.
   

   $$\displaystyle{\frac{v_{n+1}}{v_n}} = \displaystyle{\left(\frac{n+1}{n}\right)^a \frac{u_{n+1}}{u_n}}$$

   $$= \displaystyle{\left(1+\frac{1}{n}\right)^a \left(1-\frac{a}{n}+O\left(\frac{1}{n^b}\right)\right)}$$

   $$= \displaystyle{\left(1+\frac{a}{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right) \left(1-\frac{a}{n}+O\left(\frac{1}{n^b}\right)\right)}$$

   $$= 1+O\left(\frac{1}{n^c}\right)\;,$$

   
   où $c=\min\{b,2\}$.
2. Par composition du développement limité de la question précédente avec la fonction $\ln$, on obtient :
   $$\ln\left(\frac{v_{n+1}}{v_n}\right) = O\left(\frac{1}{n^c}\right)\;,$$
   donc il existe une constante $C$ et un entier $n_0$ tel que pour tout $n>n_0$,
   $$\left\vert \ln\left(\frac{v_{n+1}}{v_n}\right) \right\vert \leqslant \frac{C}{n^c}\;,$$
   Comme $c\geqslant b>1$, la série de terme général $C/n^c$ converge. Donc la série de terme général $\ln(v_{n+1}/v_n)$ converge.
3. Les sommes partielles de la série de terme général $\ln(v_{n+1}/v_n)$ sont «télescopiques» :
   $$\sum_{k=0}^n\ln\left(\frac{v_{k+1}}{v_k}\right) = \sum_{k=0}^n\l... ...right) - \ln\left(v_k\right) =\ln\left(v_{n+1}\right)-\ln\left(v_{0}\right)\;.$$
   Puisque la série de terme général $\ln(v_{n+1}/v_n)$ converge, la suite de ses sommes partielles, et donc la suite $(\ln(v_n))$ convergent. Par composition avec la fonction $\exp$, la suite $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge.
4. Notons $d$ la limite de la suite $(v_n)$. Comme $v_n=n^a u_n$, $u_n$ est équivalent à $d n^{-a}$. Si $a\leqslant 1$ la série $\sum d n^{-a}$ diverge, donc $\sum u_n$ diverge. Si $a>1$ la série $\sum d n^{-a}$ converge, donc $\sum u_n$ converge.

Exercice 2 : On considère la série harmonique, de terme général $u_n=1/n$. On note $h_n$ ses sommes partielles, définies pour $n\geqslant 1$ par :

$$h_n = 1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\;.$$

1. La fonction $t\longmapsto 1/t$ est décroissante sur $[1,+\infty[$. Pour tout $k\geqslant 1$,
   $$\forall t\in [k,k+1]\;,\quad \frac{1}{k+1}\;\leqslant\; \frac{1}{t}\;\leqslant\; \frac{1}{k}\;.$$
   Donc
   $$\int_k^{k+1}\frac{1}{k+1} \mathrm{d}t\;\leqslant\; \int_k^{k+1}\frac{1}{t} \mathrm{d}t\;\leqslant\; \int_k^{k+1}\frac{1}{k} \mathrm{d}t\;,$$
   ou encore
   $$\frac{1}{k+1}\;\leqslant\; \int_k^{k+1}\frac{1}{t} \mathrm{d}t \;\leqslant\; \frac{1}{k}\;.$$
   Pour tout $k\geqslant 2$, on applique l'inégalité de gauche à $k-1$ :
   $$\frac{1}{k}\;\leqslant\; \int_{k-1}^{k}\frac{1}{t} \mathrm{d}t\;.$$
   On obtient donc la double inégalité :
   $$\int_k^{k+1} \frac{1}{t} \mathrm{d}t \;\leqslant\; u_k \;\leqslant\; \int_{k-1}^k\frac{1}{t} \mathrm{d}t\;.$$

2. Sommons l'inégalité de gauche pour $k$ allant de $1$ à $n$ :
   $$\int_1^{n+1} \frac{1}{t} \mathrm{d}t \;\leqslant\; \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\;,$$
   donc $\ln(n+1)\leqslant h_n$.

   Sommons ensuite la seconde inégalité, pour $k$ allant de $2$ à $n$ :

   $$\sum_{k=2}^n \frac{1}{k}\;\leqslant\; \int_1^{n} \frac{1}{t} \mathrm{d}t\;,$$
   donc $h_n-1\leqslant \ln(n)$.
3. La suite $(\ln(n))_{n\in\mathbb{N}}$ tend vers $+\infty$, il en est de même pour la suite des sommes partielles $(h_n)$. Donc la série $\sum u_n$ diverge. De plus
   $$\frac{\ln(n+1)}{\ln(n)}\;\leqslant\; \frac{h_n}{\ln(n)}\;\leqslant\; \frac{\ln(n)+1}{\ln(n)}\;.$$
   Or
   $$\frac{\ln(n+1)}{\ln(n)} = \frac{\ln(n)+\ln(1+\frac{1}{n})}{\ln(n)} =1+\frac{\ln(1+\frac{1}{n})}{\ln(n)}\;.$$
   La suite $(\frac{\ln(n+1)}{\ln(n)})$ tend vers $1$. Comme
   $$\frac{\ln(n)+1}{\ln(n)}=1+\frac{1}{\ln{n}}\;,$$
   la suite $(\frac{\ln(n)+1}{\ln(n)})$ tend également vers $1$. La suite $(\frac{h_n}{\ln(n)})$ est encadrée par deux suites qui convergent vers $1$, donc elle converge aussi vers $1$ : $h_n$ est équivalent à $\ln(n)$ quand $n$ tend vers l'infini.
4. Le résultat découle de l'encadrement suivant, déjà démontré dans la question 1.
   $$u_{n+1}=\frac{1}{n+1}\;\leqslant\; \int_n^{n+1}\frac{1}{t} \mathrm{d}t \;\leqslant\; \frac{1}{n}=u_n\;.$$
   On en déduit :
   $$\delta_n = u_n - \int_n^{n+1}\frac{1}{t} \mathrm{d}t\;\geqslant\; 0$$   et$$\quad \delta_n = u_n - \int_n^{n+1}\frac{1}{t} \mathrm{d}t\;\leqslant\; u_n-u_{n+1}$$
   La série $\sum u_n-u_{n+1}$ a des sommes partielles «télescopiques» :
   $$\sum_{k=1}^n u_n-u_{k+1} = u_1-u_{n+1}\;.$$
   Comme la suite $(u_n)$ tend vers 0, la série $\sum u_n-u_{n+1}$ converge. Donc la série $\sum \delta_n$ converge, par le théorème de comparaison.
5. Calculons les sommes partielles des $\delta_n$.
   

   $$\sum_{k=1}^n \delta_k = \displaystyle{ \sum_{k=1}^n u_k -\sum_{k=1}^n \int_k^{k+1}\frac{1}{t} \mathrm{d}t}$$

   $$= \displaystyle{h_n -\int_1^{n+1}\frac{1}{y} \mathrm{d}t}$$

   $$= h_n -\ln(n+1)$$

   $$= (h_n-\ln(n)) + \ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$$

   $$= h_n-\ln(n)+O\left(\frac{1}{n}\right)$$

   
   Puisque la suite des sommes partielles des $\delta_n$ converge, il en est de même pour la suite $(h_n-\ln(n))$. Notons $\gamma$ la somme de la série de terme général $\delta_n$ :
   $$\gamma = \sum_{n=1}^{+\infty} \delta_n =\lim_{n\to+\infty} \sum_{n=1}^{+\infty} \delta_k= \lim_{n\to+\infty} h_n-\ln(n)\;.$$

6. La série $\sum v_n$ est une série alternée. Pour lui appliquer le critère de convergence des séries alternées, il suffit d'observer que la suite $(1/n)$ est décroissante et tend vers 0.
7. Pour tout $k\geqslant 1$,
   $$\int_0^1 t^{k-1} \mathrm{d}t = \left[ \frac{t^k}{k}\right]_0^1 = \frac{1}{k}\;.$$
   En sommant de $1$ à $n$, on obtient :
   

   $$s_n = \displaystyle{\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}\frac{1}{k} }$$

   $$= \displaystyle{\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} \int_0^1 t^{k-1} \mathrm{d}t}$$

   $$= \displaystyle{\int_0^1 \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} t^{k-1} \mathrm{d}t}$$

   $$= \displaystyle{\int_0^1 \frac{1-(-t)^n}{1+t} \mathrm{d}t\;. }$$

   
   
8. Reprenons l'identité de la question précédente :
   $$s_n = \int_0^1 \frac{1-(-t)^n}{1+t} \mathrm{d}t = \int_0^1 \frac{1}{1+t} \mathrm{d}t +(-1)^{n+1} \int_0^1 \frac{t^n}{1+t} \mathrm{d}t\;.$$
   Or :
   $$\int_0^1 \frac{t^n}{1+t} \mathrm{d}t\;\leqslant\; \int_0^1 t^n \mathrm{d}t \;=\; \frac{1}{n+1}\;.$$
   Donc :
   $$\left\vert s_n-\int_0^1 \frac{1}{1+t} \mathrm{d}t \right\vert= \int_0^1 \frac{t^n}{1+t} \mathrm{d}t\;\leqslant\; \frac{1}{n+1}\;.$$

9. On a :
   $$\int_0^1 \frac{1}{1+t} \mathrm{d}t = \ln(2)\;.$$
   L'inégalité de la question précédente montre que $\vert s_n-\ln(2)\vert$ tend vers 0. La suite des sommes partielles $(s_n)$ converge donc vers $\ln(2)$ :
   $$\sum_{n=1}^{+\infty} v_n = \ln(2)\;.$$

10. La majoration de la question 8 montre que $r_n<10^{-3}$ pour $n>1000$. Le calcul numérique montre que le premier rang tel que $\vert r_n\vert<10^{-3}$ est $n=500$.
11. Écrivons :
    

    $$s_{2n} = \displaystyle{1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+ \frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}}$$

    $$= \displaystyle{\left(1+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2n-1}\right) -\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2n}\right)}$$

    $$= \displaystyle{\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2n}\right) -2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2n}\right)}$$

    $$= \displaystyle{\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2n}\right) -\frac{2}{2}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)}$$

    $$= h_{2n}-h_n$$

    
    D'après la question 5, $h_n-\ln(n)$ converge vers $\gamma$, il en est donc de même de $h_{2n}-\ln(2n)$. Donc :
    

    $$\displaystyle{\lim_{n\to+\infty} s_n} = \displaystyle{\lim_{n\to+\infty}s_{2n}}$$

    $$= \displaystyle{\lim_{n\to+\infty} h_{2n}-h_n}$$

    $$= \displaystyle{\lim_{n\to+\infty} (h_{2n}-\ln(2n))+\ln(2)-(\ln(n)-h_n)}$$

    $$= \gamma+\ln(2)-\gamma = \ln(2)$$