QCM

Donnez-vous une heure pour répondre à ce questionnaire. Les 10 questions sont indépendantes. Pour chaque question 5 affirmations sont proposées, parmi lesquelles 2 sont vraies et 3 sont fausses. Pour chaque question, cochez les 2 affirmations que vous pensez vraies. Chaque question pour laquelle les 2 affirmations vraies sont cochées rapporte 2 points.

Question 1   Pour tout $n\in\mathbb{N}$, soit $u_n$ un réel strictement positif.

Si la suite $(u_n)$ tend vers 0, alors la série $\sum u_n$ converge.

Si la série $\sum u_n$ diverge, alors la série $\sum u_n^2$ diverge.

Si la série $\sum u_n$ diverge, alors la suite $(u_n)$ ne tend pas vers 0.

Si la série $\sum u_n$ converge, alors la suite $(u_n^2)$ tend vers 0.

Si la série $\sum u_n$ converge, alors la série $\sum u_n^2$ converge.

Question 2   Pour tout $n\in\mathbb{N}$, soit $u_n$ un réel strictement positif.

Si la série $\sum u_n$ converge, alors la série $\sum \sin(u_n)$ converge.

Si la série $\sum u_n$ diverge, alors la série $\sum (\cos(u_n)-1)$ diverge.

Si la série $\sum u_n$ diverge, alors la série $\sum u_n/n$ diverge.

Si la série $\sum u_n$ diverge, alors la série $\sum \tan(u_n)$ diverge.

Si la série $\sum u_n$ converge, alors la série $\sum \mathrm{e}^{u_n}$ converge.

Question 3   Soit $r$ et $\alpha$ deux réels strictement positifs.

Si $r\leqslant 1$ alors la série $\sum r^n$ converge.

Si $r<1$, alors la série $\sum n^\alpha r^n$ converge.

Si $r=1$, alors la série $\sum n^\alpha r^n$ diverge.

Si $r\leqslant 1$ et si $\alpha <-1$, alors la série $\sum n^\alpha r^n$ converge.

Si $r<1$ et si $\alpha>1$, alors la série $\sum n^\alpha r^n$ diverge.

Question 4   Pour tout $n\in\mathbb{N}$, soit $u_n$ un réel positif ou nul.

Si la suite $(\sqrt[n]u_n)$ tend vers $1/2$, alors la série $\sum n u_n$ converge.

Si la suite $(\sqrt[n]u_n)$ tend vers $1$, alors la série $\sum u_n$ converge

Si la suite $(\sqrt[n]u_n)$ tend vers $2$, alors la série $\sum u_n/n$ diverge

Si la suite $(\sqrt[n]u_n)$ est majorée par $1$, alors la série $\sum u_n$ converge

Si la suite $(\sqrt[n]u_n)$ converge, alors la suite $(u_n)$ converge.

Question 5   Pour tout $n\in\mathbb{N}$, soit $u_n$ un nombre complexe non nul.

Si la suite $(\vert\frac{u_{n+1}}{u_n}\vert)$ tend vers $1$ alors la série $\sum u_n$ converge.

Si la suite $(\vert\frac{u_{n+1}}{u_n}\vert)$ est minorée par $1$ alors la série $\sum u_n$ converge.

Si la suite $(\vert\frac{u_{n+1}}{u_n}\vert)$ est majorée par $1$ alors la série $\sum u_n/n^2$ converge.

Si la suite $(\vert\frac{u_{n+1}}{u_n}\vert)$ tend vers $1/2$ alors la série $\sum n^2\vert u_n\vert$ converge.

Si la suite $(\vert\frac{u_{n+1}}{u_n}\vert)$ tend vers $2$ alors la série $\sum u_n/n^2$ converge.

Question 6   La série proposée converge.

$${\sum \ln(1+\sin(1/n))}$$

$${\sum \sqrt{\ln(1+\sin(1/n^2))}}$$

$${\sum \sqrt(1+\sin(1/n^4))}$$

$${\sum \sqrt{\ln(1+\sin(1/n^4))}}$$

$${\sum \ln(\sqrt{1+\sin(1/n^2)})}$$

Question 7   Le critère de convergence des séries alternées permet d'affirmer que la série proposée converge.

$${\sum \frac{1}{\ln(n)+(-1)^n}}$$

$${\sum \frac{(-1)^n}{n+(-1)^n}}$$

$${\sum \frac{(-1)^n}{n\sin^2(n)}}$$

$${\sum \frac{(-1)^n}{n\ln(n)}}$$

$${\sum \frac{(-1)^n}{n\arctan(n)}}$$

Question 8   L'égalité proposée est vraie.

$${\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n(2n-3)}= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(n+2)(2n+1)}}$$

$${1+\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(2n-3)}= \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(n+1)(2n-1)}}$$

$${1+\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n(2n-3)}= \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(n+1)(2n-1)}}$$

$${\sum_{n=3}^{+\infty} \frac{1}{n(2n-3)}= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(n+2)(2n+1)}}$$

$${\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n(2n-3)}= \sum_{n=3}^{+\infty} \frac{1}{(n-1)(2n-1)}}$$

Question 9   L'égalité proposée est vraie.

$${\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2}=1}$$

$${\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{2}=\frac{3}{4}}$$

$${\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{3}=\frac{1}{2}}$$

$${\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{3}=\frac{3}{4}}$$

$${\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{3}=\frac{1}{12}}$$

Question 10   L'égalité proposée est vraie.

$${\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{(n-1)!}=\mathrm{e}}$$

$${ \sum_{n=3}^{+\infty} \frac{1}{(n-2)!} = \mathrm{e}-1 }$$

$${\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n+2}{n!}=2\mathrm{e}-1}$$

$${\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n+1}{n!}=2\mathrm{e}}$$

$${\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n+1}{(n-1)!}=2\mathrm{e}-1}$$