Exercices

Exercice 1   En examinant la limite du terme général, montrer que les séries suivantes divergent.

$$\sum \sin(n) \;;\quad \sum (1+(-1)^n\cos(1/n)) \;;\quad \sum \left(\frac{n}{{n+1}}\right)^n \;;\quad \sum \frac{(-1)^n}{1+n^{-1}}$$

Exercice 2   Utiliser le théorème de comparaison ou un équivalent, pour démontrer que

1. les séries suivantes convergent
   $$\sum \frac{1-\cos(\frac{1}{n\ln(n)})} {\sin(\frac{1}{n})} \;;\quad \sum \sqrt{n+2} \;\sin\left(\frac{3}{(n+1)^2}\right) \;;\quad$$
   $$\sum \left(\frac{1}{n}+\ln \left(\frac{n-1}{n}\right)\right) \;;\quad \sum \vert\sin(\pi\sqrt{n^4+1})\vert^{\frac{3}{4}} \;;\quad$$
   $$\sum \frac{n^2}{2^n+n} \;;\quad \sum \mathrm{e}^{n^\frac{1}{3}-\sqrt{n}} \;;\quad$$
   $$\sum \left(1-\cos \left(\frac{n-1}{n}\right)\right) \;;\quad \sum \arg\!\cosh \frac{n+1}{n} \;.\quad$$

2. les séries suivantes divergent
   $$\sum \ln\left(\frac{n+1}{n}\right) \;;\quad \sum \sqrt{n^2+2n}\; \sin\left(\frac{3}{(n+1)^2}\right) \;;\quad$$
   $$\sum n^{-(1+\frac{1}{n})} \;;\quad \sum \frac{1}{n+(-1)^n \sqrt{n}} \;;\quad$$
   $$\sum \sqrt{n^2 +n+1}-\sqrt{n^2+n-1} \;;\quad \sum (n^3 +1)^{\frac{1}{3}}-\sqrt{n^2+1} \;.\quad$$

Exercice 3   Utiliser le critère de Cauchy pour déterminer la nature des séries suivantes.

$$\sum \frac{n^{\ln n}}{(\ln n)^n} \;;\quad \sum \left(\frac{n+3}{2n+1}\right)^n \;;\quad$$

$$\sum \left(\frac{n+3}{2n+1}\right)^{n(-1)^n} \;;\quad \sum \left(\frac{n}{2n+1}\right)^{n^2} \;.$$

Exercice 4   Utiliser le critère de d'Alembert pour déterminer la nature des séries suivantes.

$$\sum \frac{n!}{n^n} \;;\quad \sum \frac{(\ln n)^n}{n!} \;;\quad \sum \frac{(3n)!}{9(n!)^3}$$

$$\sum \frac{n!}{n^{\alpha n}} \;;\quad \sum \frac{n^\alpha (\ln n)^n}{n!} \;;\quad \sum \frac{2^n}{n^2\sin^{2n}(\alpha)}\;.$$

(discuter selon la valeur du réel $\alpha$).

Exercice 5   Déterminer la nature des séries suivantes

$$\sum n\mathrm{e}^{-n}\;;\quad \sum n\mathrm{e}^{-\sqrt{n}}\;;\qua... ...rac{\mathrm{e}^n}{n^5+1}\;;\quad \sum \frac{\mathrm{e}^{-n}}{4+\sin n}\;;\quad$$

$$\sum \frac{2^n+n^2}{3^nn^2+1}\;;\quad \sum \frac{\mathrm{e}^{\fra... ...ac{1}{n}}-1}{\sqrt{n+1}}\;;\quad \sum n\ln\left(1+{\frac{1}{n}}\right)\;;\quad$$

$$\sum \frac{1-n\ln\left(1+{\frac{1}{n}}\right)}{\sqrt{n+1}}\;;\qua... ...1}{\sqrt{n}}\right)^n\;;\quad \sum \left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^n\;;\quad$$

$$\sum \frac{n!}{n^n}\;;\quad \sum \frac{\sin n}{n^2+\cos^2 n}\;;\q... ...{(n+1)\pi }\frac{\sin x}{x^2} \mathrm{d}x\;;\quad \sum (\ln n)^{-n} \;;\quad$$

$$\sum \left(\frac{n+3}{2n+1}\right)^{n\ln n}\;;\quad \sum (\mathr... ...frac{1}{n}})-\cos \frac{1}{ n^{1/2}}\;;\quad \sum \frac{(n!)^2}{(2n)!}\;;\quad$$

$$\sum \frac{1}{n.n^{3/n}}\;;\quad \sum \frac{\sqrt{n(n-1)}}{n^3 -2... ...3\ln n}\;;\quad \sum \frac{\sqrt{n(n-\cos(n))}}{\sqrt{n^4 -2n^3}+3\sin(n)} \;.$$

Exercice 6   On considère une suite $(u_n)$ définie par $u_0\in\mathbb{R}^+$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$ par l'une des formules suivantes.

$\bullet$

$u_{n+1}=\frac{\sin(u_n)}{n+1}$

$\bullet$

$u_{n+1}=\frac{\ln(1+u_n)}{2}$

$\bullet$

$u_{n+1}=1-\cos(u_n)$

1. Montrer que $(u_n)$ tend vers 0.
2. Étudier la limite du rapport $u_{n+1}/u_n$.
3. En déduire que la série $\sum u_n$ est convergente.

Exercice 7   Soient $a$ et $b$ deux réels. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on pose

$$u_n=\sqrt{n}+a\sqrt{n+1}+b\sqrt{n+2}\;.$$

1. Vérifier que la suite $(u_n)$ tend vers 0 si et seulement si $a+b=-1$.
2. Déterminer $a$ et $b$ pour que la série $\sum u_n$ soit convergente.

Exercice 8   Soit $\sum u_n$ une série à termes positifs ou nuls, convergente.

1. Montrer que pour tout $\alpha>1$, la série $\sum u_n^\alpha$ converge.
2. Montrer que les séries $\sum \sin(u_n)$ et $\sum \arctan(u_n)$ convergent.
3. Soit $f$ une application de $\mathbb{R}^+$ dans $\mathbb{R}^+$ telle que $f(0)=0$, admettant une dérivée à droite en 0. Montrer que la série $\sum f(u_n)$ converge.

Exercice 9   Soit $u_n$ une suite à termes réels positifs ou nuls. Montrer que les séries de termes généraux $u_n$, $\frac{u_n}{1+u_n}$, $\ln (1+u_n)$ et $\int_0^{u_n}\frac{\mathrm{d}x}{1+x^3}$ sont de même nature (convergentes ou divergentes).

Exercice 10   Soient $\sum u_n$ et $\sum v_n$ deux séries à termes positifs ou nuls, convergentes.

1. Montrer que les séries $\sum \min\{ u_n,v_n\}$ et $\sum \max\{ u_n,v_n\}$ convergent.
2. Si $a$ et $b$ sont deux réels tels que $0<a<b$, alors $0<a<2ab/(a+b)<\sqrt{ab}<b$ ($2ab/(a+b)$ et $\sqrt{ab}$ sont respectivement la moyenne harmonique et la moyenne géométrique de $a$ et $b$). Montrer que $\sum\sqrt{u_nv_n}$ et $\sum \frac{u_nv_n}{u_n+v_n}$ convergent.

Exercice 11   Soit $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ deux séries réelles convergentes et $\sum w_{n}$ une série réelle telle que pour tout $n\in\mathbb{N}$,

$$u_{n}\leqslant w_{n}\leqslant v_{n}\;.$$

1. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$,
   $$0\leqslant w_{n}-u_{n}\leqslant v_{n}-u_{n}$$

2. En déduire que $\sum w_{n}$ converge.

Exercice 12   Soit $f$ la fonction définie sur $[2,\infty[$ par $f(x)=\frac{1}{x\ln x}$. Soit pour tout $n\geqslant 2$, $u_n=f(n)$ et $s_n=\sum_{k=2}^n u_k$.

1. Vérifier que $F : x\mapsto \ln(\ln(x))$ est une primitive de $f$. En déduire les inégalités :
   $$s_n\geqslant F(n+1)-F(2)$$   et$$\quad s_n-u_2\leqslant F(n)-F(2)$$

2. Déduire de la question précédente que $s_n$ est équivalent à $\ln(\ln(n)$ quand $n$ tend vers l'infini.
3. On pose $a_n=s_n-\ln(\ln n)$. Montrer en utilisant des développements limités que la série de terme général $(a_n-a_{n-1})$ converge. En déduire que $S_n-\ln(\ln n)$ est borné.
4. Quelle est la plus petite valeur de $n$ telle que $s_n>10^3$ ?

Exercice 13   Pour tout $n\geqslant 1$, on note $u_n=1/\sqrt{n}$ et

$$s_n=\sum_{k=1}^n u_n$$

1. Montrer que pour tout $n\geqslant 2$,
   $$S_n-1\leqslant 2(\sqrt{n}-1)\leqslant S_{n-1}$$

2. En déduire que $S_n$ est équivalent à $2\sqrt{n}$ quand $n$ tend vers l'infini.
3. Quelle est la plus petite valeur de $n$ telle que $s_n>10^{-5}$ ?

Exercice 14   En utilisant la comparaison avec une intégrale, démontrer les résultats suivants.

   Si $$\gamma\leqslant 1\quad \sum_{n=3}^{+\infty} n^{-1} (\ln(n))^{-1}(\ln(\ln(n)))^{-\gamma} \;$$ diverge.

   Si $$\gamma > 1\quad \sum_{n=3}^{+\infty} n^{-1} (\ln(n))^{-1}(\ln(\ln(n)))^{-\gamma} \;$$ converge.

Exercice 15   Soit $u_n$ une suite à termes réels (quelconques).

1. Donner un exemple tel que $\sum u_n$ converge et $\sum u_n^2$ diverge. On suppose dans les questions suivantes que $\sum u_n$ et $\sum u_n^2$ convergent.
2. Montrer pour tout $k\in \mathbb{N}^*$, $\sum u_n^k$ converge.
3. Soit $f$ une application de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ deux fois continûment dérivable, telle que $f(0)=0$. Montrer que $\sum f(u_n)$ converge.

Exercice 16   Soit $n$ un entier strictement positif. On considére l'équation $x^n +nx+1=0$

1. Montrer que cette équation admet une unique solution dans $\mathbb{R}+$. On la note $u_n$.
2. Montrer que la suite $(u_n)$ tend vers 0.
3. Montrer que la série $\sum u_n$ diverge.

Exercice 17   Montrer que les séries suivantes convergent, mais ne sont pas absolument convergentes

$$\sum \frac{\sin(n)}{\sqrt{n^2+n}} \;;\quad \sum \frac{\sin^3(n)}{\sqrt{n+2}} \;;\quad \sum \frac{\cos(n)}{\ln(n)} \;;\quad$$

$$\sum \frac{\sin^5(n)}{\ln(\ln(n))} \;;\quad \sum \frac{(-1)^n\cos(n)}{\sqrt n} \;;\quad \sum \frac{\sin(3n)\cos(n)}{\sqrt{n}}$$

Exercice 18   Déterminer la nature des séries suivantes.

$$\sum \frac{(-1)^n}{ \ln n}\;;\quad \sum \frac{(-1)^n}{ \sqrt{n}}\... ...\frac{(-1)^n}{ \sqrt{n}}\right)\;;\quad \sum \frac{(-1)^n}{ n +(-1)^n}\;;\quad$$

$$\sum \frac{(-1)^n}{ \sqrt{n} +(-1)^n}\;;\quad \sum \frac{(-1)^n}{ \sqrt{n+(-1)^n} }\;;\quad$$

$$\sum \int_{n\pi }^{(n+1)\pi }\frac{\sin(x)}{x} \mathrm{d}x\;;\quad \sum \int_{n\pi }^{(n+1)\pi }\frac{\sin^2(x)}{x} \mathrm{d}x\;.$$

Exercice 19   Soit $k$ un entier.

1. Montrer que $\cos^{2k}(x)$ est une combinaison linéaire de $1, \cos(2x),\ldots, \cos(2kx)$. En déduire que la série $\sum \cos^{2k}(n)/n$ est divergente.
2. Montrer que $\cos^{2k+1}(x)$ est une combinaison linéaire de $\cos(x), \ldots, \cos((2k+1)x)$. En déduire que la série $\sum \cos^{2k+1}(n)/n$ est convergente.

Exercice 20   Soit $\sum u_n$ une série convergente à termes complexes. Montrer que la série $\sum \frac{u_n}{n}$ converge.

Exercice 21   On considère la série $\sum u_n$, où

$$u_n = \frac{\sin(n)}{\sqrt{n}+ \cos(n)}$$

1. Vérifier que la suite $(1/(\sqrt{n}+\cos(n))$ n'est pas décroissante.
2. Montrer que la suite $(1/(n-\cos^2(n))$ est décroissante.
3. Montrer que la suite $(\sqrt{n}/(n-\cos^2(n))$ est décroissante.
4. Vérifier que
   $$u_n = \frac{\sin(n)\sqrt{n}}{n-\cos^2(n)}-\frac{\sin(n)\cos(n)}{n-\cos^2(n)}\;.$$
   En déduire que $\sum u_n$ converge.

Exercice 22   Soient $a$ et $b$ deux réels. On considére la série $\sum u_n$ avec $u_n=\frac{a^n}{n+b^n}$.

1. On suppose $b\leq 1$. Pour quelles valeurs de $a$ la série est-elle absolument convergente ?
2. Même question pour $b>1$.
3. On suppose $a=-1$. Pour quelles valeurs de $b$ la série est-elle convergente ?
4. Représenter dans le plan les points de coordonnées $(a,b)$ tels que la série est absolument convergente, convergente, divergente.

Exercice 23   On considère la série de terme général $u_n$, où

$$u_n = \frac{1}{n(n^2-1)}\;.$$

1. Écrire la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle $\frac{1}{X(X^2-1)}$.
2. En déduire une expression explicite en fonction de $n$ de
   $$\sum_{k=2}^n \frac{1}{k(k^2-1)}$$

3. Déduire de ce qui précède la convergence de la série $\sum u_n$ et la valeur de la somme
   $$s=\sum_{k=2}^{+\infty}u_k\;.$$

Exercice 24   On considère la série de terme général :

$$u_n=\ln\left(1-\frac{1}{n^2}\right)= \ln\left(\frac{n^2-1}{n^2}\right)$$

1. Démontrer que cette série converge.
2. Donner une expression explicite de $s_n=\displaystyle{\sum_{k=2}^{n}u_k}$.
3. En déduire la valeur de la somme $s=\displaystyle{\sum_{k=2}^{+\infty}u_k}$.

Exercice 25   Montrer que les séries suivantes convergent et calculer leurs sommes :

$$\sum_{n=3}^{+\infty} 3^{-n+2}+2^{-n+3}\;;\quad \sum_{n=1}^{+\infty} (n-2)3^{-n}+(n-3)2^{-n}\;;\quad$$

$$\sum_{n=1}^{+\infty} (n^2-2n)3^{-n}+(n^2-3n)2^{-n}\;;\quad \sum_{n=0}^{+\infty} (n^2-2n+3)3^{-n}+(n^2-3n+2)2^{-n}\;;\quad$$

$$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^2+2n}{n!}\;;\quad \sum_{n=1}^{+\inft... ...c{n^3+2n^2+3n}{n!}\;;\quad \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^3+2n+3n+1}{n!}\;;\quad$$

$$\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{2n+1}{{n^3-n^2}} \;;\quad \sum_{n=2}^... ...c{2n-1}{n^3-4n} \;;\quad \sum_{n=3}^{+\infty} \frac{4n+2}{(n^2-1)(n^2-2n)} \;.$$

Exercice 26   Si $\sum u_n$ est une série convergente à termes strictement positifs, on note $r_n$ son reste d'ordre $n$ :

$$r_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k\;.$$

On suppose qu'il existe $k\in]0,1[$ et $n_0\in\mathbb{N}$ tels que $\frac{u_{n+1}}{u_n}\leqslant k$ pour tout $n\geqslant n_0$. Montrer que pour tout $n\geqslant n_0$, $0<r_n\leqslant \frac{1}{{1-k}}u_{n+1}$.

Exercice 27   Soit $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels. On dit que le produit infini $\prod a_n$ converge, s'il existe $\pi\in \mathbb{R}^*$ tel que la suite de terme général

$$\prod_{k=0}^n a_k$$ converge vers $$\pi\;.$$

1. Montrer que si le produit infini $\prod a_n$ converge, alors $\forall n ,\; a_n\neq 0$ et
   $$\lim_{n\to +\infty} a_n = 1\;.$$
   On pose désormais $a_n = 1+u_n$.
2. On suppose que $\forall n\in \mathbb{N} ,\; a_n>1$. Montrer que le produit $\prod a_n$ converge si et seulement si la série $\sum u_n$ converge.
3. On suppose que $\forall n\in \mathbb{N} ,\; a_n\in ]0,1]$. Montrer que le produit $\prod a_n$ converge si et seulement si la série $\sum u_n$ converge.
4. On suppose que $\forall n\in \mathbb{N} ,\; a_n\in ]0,+\infty[$. Montrer que si la série $\sum u_n$ converge absolument, alors le produit $\prod a_n$ converge.
5. Montrer que pour tout $n\geqslant 2$,
   $$\prod_{k=2}^n \left(1-\frac{1}{k^2}\right) = \frac{n+1}{2n}\;.$$
   En déduire $${\prod_{n=2}^{+\infty} \left(1-\frac{1}{n^2}\right)}$$.
6. Montrer que
   $$\prod_{n=1}^{+\infty} \left(1 +\frac{(-1)^n}{n}\right) = 1$$
   On pourra calculer $(1+\frac{1}{2n})(1-\frac{1}{2n+1})$.
7. Montrer que le produit infini
   $$\prod \left\vert 1+\frac{\mathrm{i}}{n}\right\vert$$    converge.
   On pourra appliquer le résultat de la question 2.
8. Montrer que le produit infini
   $$\prod \left(1+\frac{\mathrm{i}}{n}\right)$$    diverge.
   On pourra écrire
   $$\left(1+\frac{\mathrm{i}}{n}\right) =\left\vert 1+\frac{\mathrm{i}}{n}\right\vert \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta_n}$$    avec $$\theta_n = \arctan\left(\frac{1}{n}\right)\;.$$

Exercice 28   Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels, telle que la série $\sum u_n$ soit convergente mais non absolument convergente. On note $(p_n)$ la suite des termes positifs et $(m_n)$ la suite des termes négatifs.

$$p_n = \left\{\begin{array}{ll} u_n&\mbox{si }u_n> 0\\ 0&\mbox{sinon} \end{array}\right.$$   et$$\quad m_n = \left\{\begin{array}{ll} u_n&\mbox{si }u_n< 0\\ 0&\mbox{sinon} \end{array}\right.$$

1. Montrer que les séries $\sum p_n$ et $\sum m_n$ sont divergentes.
2. Soit $a$ un réel quelconque. Construire une bijection $\sigma_a$ de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$ telle que
   $$\lim_{n\to+\infty} \sum_{i=1}^n u_{\sigma_a(i)} = a\;.$$
   Indication : supposant $a>0$, prendre les premiers termes positifs dont la somme dépasse $a$, puis ajouter des termes négatifs jusqu'à ce que la somme repasse en-dessous de $a$, puis itérer.
3. Construire une bijection $\sigma_+$ de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$ telle que
   $$\lim_{n\to+\infty} \sum_{i=1}^n u_{\sigma_+(i)} = +\infty\;.$$

4. Construire une bijection $\sigma_-$ de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$ telle que
   $$\lim_{n\to+\infty} \sum_{i=1}^n u_{\sigma_-(i)} = -\infty\;.$$

Exercice 29   Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels tels que la série $\sum u_n$ soit absolument convergente. Soit $\sigma$ une bijection de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$.

1. Montrer que la série $\sum u_{\sigma(n)}$ est absolument convergente.
2. Montrer que
   $$\sum_{n=0}^{+\infty} u_{\sigma(n)} = \sum_{m=0}^{+\infty} u_m\;.$$