Vrai ou faux

Vrai-Faux 1   Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \square\;$ Si la série $ \sum
u_n$ converge, alors la série $ \sum u_n^2$ converge.
  2. $ \boxtimes\;$ Si la série $ \sum
u_n$ est absolument convergente, alors la série $ \sum u_n^2$ converge.
  3. $ \square\;$ Si la série $ \sum
u_n$ converge, alors la série $ \sum n u_n$ converge.
  4. $ \square\;$ Si les séries $ \sum
u_n$ et $ \sum v_n$ divergent, alors la série $ \sum u_n+v_n$ diverge.
  5. $ \boxtimes\;$ Si la série $ \sum
u_n$ converge, alors la série $ \sum 1/u_n$ diverge.
  6. $ \square\;$ Si la série $ \sum
u_n$ converge, alors la série $ \sum \cos(n)u_n$ converge.
  7. $ \boxtimes\;$ Si la série $ \sum
u_n$ est absolument convergente, alors la série $ \sum \cos(n)u_n$ converge.
  8. $ \boxtimes\;$ Si la série $ \sum \mathrm{e}^{\mathrm{i}n} u_n$ est absolument convergente, alors la série $ \sum \cos(2n)u_n$ converge.
  9. $ \boxtimes\;$ Un nombre réel $ x\in[0,1]$ dont toutes les décimales sont strictement positives est supérieur à $ \frac{1}{10}(1-\frac{1}{10})^{-1}$.
  10. $ \square\;$ Un nombre réel $ x\in[0,1]$ dont toutes les décimales sont égales à $ 2$ ou à $ 3$ est compris entre $ (1-\frac{2}{10})^{-1}$ et $ (1-\frac{3}{10})^{-1}$.
  11. $ \boxtimes\;$ Si $ u_n>0$ pour tout $ n$ et $ u_n$ est équivalent à $ \frac{1}{n^2}$ quand $ n$ tend vers l'infini, alors $ \sum \cos(n)u_n$ converge.
  12. $ \square\;$ Si $ u_n>0$ pour tout $ n$ et $ u_n$ est équivalent à $ \frac{1}{n}$ quand $ n$ tend vers l'infini, alors $ \sum \cos(n)u_n$ converge.
  13. $ \square\;$ Si $ u_n>0$ pour tout $ n$ et si la suite $ (u_n)$ est décroissante, alors $ \sum \cos(n)u_n$ converge.
  14. $ \boxtimes\;$ Si la suite $ (u_n)$ est décroissante et tend vers 0, alors $ \sum \cos(n)u_n$ converge.

Vrai-Faux 2   Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \square\;$ Si $ \vert r\vert\leqslant 1$ alors $ \sum nr^n$ converge.
  2. $ \boxtimes\;$ Si $ \vert r\vert<1$ alors $ \sum n^2r^n$ converge.
  3. $ \square\;$ Si $ \vert r\vert<1$ alors $ \sum \mathrm{e}^nr^n$ converge.
  4. $ \square\;$ Si $ \vert r\vert\leqslant 1$ alors $ \sum \cos(n)r^n$ converge.
  5. $ \boxtimes\;$ Si $ \vert r\vert\geqslant 1$ alors $ \sum \cos(n)r^n$ diverge.
  6. $ \square\;$ Si la suite $ (u_n)$ est bornée, alors $ \sum u_nr^n$ est soit absolument convergente, soit divergente.
  7. $ \boxtimes\;$ Si $ \vert r\vert<1$ et si la suite $ (u_n)$ est bornée, alors $ \sum u_nr^n$ converge.

Vrai-Faux 3   Les séries suivantes convergent : vrai ou faux et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{
\sum \frac{n!}{(2n)!}
}$
  2. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{
\sum \frac{(n!)^2}{(2n)!}
}$
  3. $ \square\;$ $ \displaystyle{
\sum \frac{n!+1}{(n+1)!}
}$
  4. $ \square\;$ $ \displaystyle{
\sum \frac{1}{(n!)^{1/n}}
}$
  5. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{
\sum \frac{1}{2^n+3^n}
}$
  6. $ \square\;$ $ \displaystyle{
\sum \frac{2^n+n}{n2^n}
}$
  7. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{
\sum \frac{2^n+n}{n^22^n}
}$
  8. $ \square\;$ $ \displaystyle{
\sum \frac{2^n+2}{n2^n}
}$

Vrai-Faux 4   Les séries suivantes convergent : vrai ou faux et pourquoi ?
  1. $ \square\;$ $ \displaystyle{
\sum \frac{n^2+1}{\ln(n)\sqrt{n^6+2n+3}}
}$
  2. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{
\sum \frac{n^2+1}{(\ln(n))^2\sqrt{n^6+2n+3}}
}$
  3. $ \square\;$ $ \displaystyle{
\sum \frac{n^2+1}{(\ln(n))^2\sqrt{n^5+2n+3}}
}$
  4. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{
\sum \frac{(1+\cos(n))(n^2+1)}{(\ln(n))^2\sqrt{n^6+2n+3}}
}$
  5. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{
\sum \frac{\cos^6(n)(n^2+1)}{(\ln(n))^2\sqrt{n^6+2n+3}}
}$
  6. $ \square\;$ $ \displaystyle{
\sum \frac{\cos^2(n)(n^2+1)}{(\ln(n))\sqrt{n^6+2n+3}}
}$
  7. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{
\sum \frac{\cos^2(n)(\sin((n^2+1)^{-1})}{(\ln(n))\sqrt{n^2+2n+3}}
}$

Vrai-Faux 5   Les séries suivantes convergent, mais ne sont pas absolument convergentes : vrai ou faux et pourquoi ?
  1. $ \square\;$ $ \displaystyle{
\sum \frac{\cos^3(n)}{(\sqrt{n})^3}
}$
  2. $ \square\;$ $ \displaystyle{
\sum \frac{\cos^2(n)}{\sqrt{n}}
}$
  3. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{
\sum \frac{\cos^3(n)}{\sqrt{n}}
}$
  4. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{
\sum \frac{\cos^3(n)}{\sqrt{n}\sqrt[6]{n^2+n}}
}$
  5. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{
\sum \frac{\cos^3(n)(n^2+1)}{n^3}
}$
  6. $ \square\;$ $ \displaystyle{
\sum \frac{\cos^3(n)(n+1)}{n^3}
}$

Vrai-Faux 6   Parmi les égalités suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{
\sum_{n=2}^{+\infty}
\frac{1}{(n-1)^2} =
\sum_{n=0}^{+\infty}
\frac{1}{(n+1)^2}
}$
  2. $ \square\;$ $ \displaystyle{
\sum_{n=2}^{+\infty}
\frac{1}{n(n-1)} =
\sum_{n=1}^{+\infty}
\frac{1}{(n+1)(n+2)}
}$
  3. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{
\sum_{n=2}^{+\infty}
\frac{n-3}{n(n-1)(n-2)} =
\sum_{n=1}^{+\infty}
\frac{n-2}{n(n^2-1)}
}$
  4. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{
\sum_{n=1}^{+\infty}
2^{-n} = 1
}$
  5. $ \square\;$ $ \displaystyle{
\sum_{n=2}^{+\infty}
2^{-n} = \frac{1}{4}
}$
  6. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{
\sum_{n=2}^{+\infty}
3^{-n-1} = \frac{1}{18}
}$
  7. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{
\sum_{n=2}^{+\infty}
\frac{1}{n!} = \mathrm{e}-2
}$
  8. $ \square\;$ $ \displaystyle{
\sum_{n=2}^{+\infty}
\frac{1}{(n+1)!} = \mathrm{e}-\frac{3}{2}
}$
  9. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{
\sum_{n=3}^{+\infty}
\frac{1}{(n-2)!} = \mathrm{e}-1
}$

Vrai-Faux 7   Parmi les égalités suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \square\;$ $ \displaystyle{
\sum_{n=3}^{+\infty}
\frac{1}{n(n-1)} = 1
}$
  2. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{
\sum_{n=4}^{+\infty}
\frac{1}{(n-1)(n-2)} = \frac{1}{2}
}$
  3. $ \square\;$ $ \displaystyle{
\sum_{n=1}^{+\infty}
\frac{4n+6}{n(n+1)(n+2)(n+3)} = 1
}$
  4. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{
\sum_{n=2}^{+\infty}
\frac{4n+2}{(n^2-1)(n^2+2n)} = \frac{2}{3}
}$
  5. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{
\sum_{n=1}^{+\infty}
\frac{n^2+3}{(n-1)!} = 8\mathrm{e}
}$
  6. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{
\sum_{n=2}^{+\infty}
\frac{n^2+2}{(n-1)!} = 7\mathrm{e}-3
}$


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