Vrai ou faux

Vrai-Faux 1   Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$ Si la série $\sum u_n$ converge, alors la série $\sum u_n^2$ converge.
2. $\boxtimes\;$ Si la série $\sum u_n$ est absolument convergente, alors la série $\sum u_n^2$ converge.
3. $\square\;$ Si la série $\sum u_n$ converge, alors la série $\sum n u_n$ converge.
4. $\square\;$ Si les séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ divergent, alors la série $\sum u_n+v_n$ diverge.
5. $\boxtimes\;$ Si la série $\sum u_n$ converge, alors la série $\sum 1/u_n$ diverge.
6. $\square\;$ Si la série $\sum u_n$ converge, alors la série $\sum \cos(n)u_n$ converge.
7. $\boxtimes\;$ Si la série $\sum u_n$ est absolument convergente, alors la série $\sum \cos(n)u_n$ converge.
8. $\boxtimes\;$ Si la série $\sum \mathrm{e}^{\mathrm{i}n} u_n$ est absolument convergente, alors la série $\sum \cos(2n)u_n$ converge.
9. $\boxtimes\;$ Un nombre réel $x\in[0,1]$ dont toutes les décimales sont strictement positives est supérieur à $\frac{1}{10}(1-\frac{1}{10})^{-1}$.
10. $\square\;$ Un nombre réel $x\in[0,1]$ dont toutes les décimales sont égales à $2$ ou à $3$ est compris entre $(1-\frac{2}{10})^{-1}$ et $(1-\frac{3}{10})^{-1}$.
11. $\boxtimes\;$ Si $u_n>0$ pour tout $n$ et $u_n$ est équivalent à $\frac{1}{n^2}$ quand $n$ tend vers l'infini, alors $\sum \cos(n)u_n$ converge.
12. $\square\;$ Si $u_n>0$ pour tout $n$ et $u_n$ est équivalent à $\frac{1}{n}$ quand $n$ tend vers l'infini, alors $\sum \cos(n)u_n$ converge.
13. $\square\;$ Si $u_n>0$ pour tout $n$ et si la suite $(u_n)$ est décroissante, alors $\sum \cos(n)u_n$ converge.
14. $\boxtimes\;$ Si la suite $(u_n)$ est décroissante et tend vers 0, alors $\sum \cos(n)u_n$ converge.

Vrai-Faux 2   Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$ Si $\vert r\vert\leqslant 1$ alors $\sum nr^n$ converge.
2. $\boxtimes\;$ Si $\vert r\vert<1$ alors $\sum n^2r^n$ converge.
3. $\square\;$ Si $\vert r\vert<1$ alors $\sum \mathrm{e}^nr^n$ converge.
4. $\square\;$ Si $\vert r\vert\leqslant 1$ alors $\sum \cos(n)r^n$ converge.
5. $\boxtimes\;$ Si $\vert r\vert\geqslant 1$ alors $\sum \cos(n)r^n$ diverge.
6. $\square\;$ Si la suite $(u_n)$ est bornée, alors $\sum u_nr^n$ est soit absolument convergente, soit divergente.
7. $\boxtimes\;$ Si $\vert r\vert<1$ et si la suite $(u_n)$ est bornée, alors $\sum u_nr^n$ converge.

Vrai-Faux 3   Les séries suivantes convergent : vrai ou faux et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ $${ \sum \frac{n!}{(2n)!} }$$
2. $\boxtimes\;$ $${ \sum \frac{(n!)^2}{(2n)!} }$$
3. $\square\;$ $${ \sum \frac{n!+1}{(n+1)!} }$$
4. $\square\;$ $${ \sum \frac{1}{(n!)^{1/n}} }$$
5. $\boxtimes\;$ $${ \sum \frac{1}{2^n+3^n} }$$
6. $\square\;$ $${ \sum \frac{2^n+n}{n2^n} }$$
7. $\boxtimes\;$ $${ \sum \frac{2^n+n}{n^22^n} }$$
8. $\square\;$ $${ \sum \frac{2^n+2}{n2^n} }$$

Vrai-Faux 4   Les séries suivantes convergent : vrai ou faux et pourquoi ?

1. $\square\;$ $${ \sum \frac{n^2+1}{\ln(n)\sqrt{n^6+2n+3}} }$$
2. $\boxtimes\;$ $${ \sum \frac{n^2+1}{(\ln(n))^2\sqrt{n^6+2n+3}} }$$
3. $\square\;$ $${ \sum \frac{n^2+1}{(\ln(n))^2\sqrt{n^5+2n+3}} }$$
4. $\boxtimes\;$ $${ \sum \frac{(1+\cos(n))(n^2+1)}{(\ln(n))^2\sqrt{n^6+2n+3}} }$$
5. $\boxtimes\;$ $${ \sum \frac{\cos^6(n)(n^2+1)}{(\ln(n))^2\sqrt{n^6+2n+3}} }$$
6. $\square\;$ $${ \sum \frac{\cos^2(n)(n^2+1)}{(\ln(n))\sqrt{n^6+2n+3}} }$$
7. $\boxtimes\;$ $${ \sum \frac{\cos^2(n)(\sin((n^2+1)^{-1})}{(\ln(n))\sqrt{n^2+2n+3}} }$$

Vrai-Faux 5   Les séries suivantes convergent, mais ne sont pas absolument convergentes : vrai ou faux et pourquoi ?

1. $\square\;$ $${ \sum \frac{\cos^3(n)}{(\sqrt{n})^3} }$$
2. $\square\;$ $${ \sum \frac{\cos^2(n)}{\sqrt{n}} }$$
3. $\boxtimes\;$ $${ \sum \frac{\cos^3(n)}{\sqrt{n}} }$$
4. $\boxtimes\;$ $${ \sum \frac{\cos^3(n)}{\sqrt{n}\sqrt[6]{n^2+n}} }$$
5. $\boxtimes\;$ $${ \sum \frac{\cos^3(n)(n^2+1)}{n^3} }$$
6. $\square\;$ $${ \sum \frac{\cos^3(n)(n+1)}{n^3} }$$

Vrai-Faux 6   Parmi les égalités suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ $${ \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{(n-1)^2} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(n+1)^2} }$$
2. $\square\;$ $${ \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n(n-1)} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(n+1)(n+2)} }$$
3. $\boxtimes\;$ $${ \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{n-3}{n(n-1)(n-2)} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n-2}{n(n^2-1)} }$$
4. $\boxtimes\;$ $${ \sum_{n=1}^{+\infty} 2^{-n} = 1 }$$
5. $\square\;$ $${ \sum_{n=2}^{+\infty} 2^{-n} = \frac{1}{4} }$$
6. $\boxtimes\;$ $${ \sum_{n=2}^{+\infty} 3^{-n-1} = \frac{1}{18} }$$
7. $\boxtimes\;$ $${ \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n!} = \mathrm{e}-2 }$$
8. $\square\;$ $${ \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{(n+1)!} = \mathrm{e}-\frac{3}{2} }$$
9. $\boxtimes\;$ $${ \sum_{n=3}^{+\infty} \frac{1}{(n-2)!} = \mathrm{e}-1 }$$

Vrai-Faux 7   Parmi les égalités suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$ $${ \sum_{n=3}^{+\infty} \frac{1}{n(n-1)} = 1 }$$
2. $\boxtimes\;$ $${ \sum_{n=4}^{+\infty} \frac{1}{(n-1)(n-2)} = \frac{1}{2} }$$
3. $\square\;$ $${ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{4n+6}{n(n+1)(n+2)(n+3)} = 1 }$$
4. $\boxtimes\;$ $${ \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{4n+2}{(n^2-1)(n^2+2n)} = \frac{2}{3} }$$
5. $\boxtimes\;$ $${ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^2+3}{(n-1)!} = 8\mathrm{e} }$$
6. $\boxtimes\;$ $${ \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{n^2+2}{(n-1)!} = 7\mathrm{e}-3 }$$