Forme résolue

Une fois le système mis sous forme échelonnée, s'il y a des équations de compatibilité et si l'un des seconds membres de ces équations est non nul, le système n'a pas de solution (on dit qu'il est impossible). C'est le cas par exemple pour le système $(S_1)$ de la section précédente.

S'il n'y a pas d'équations de compatibilité ou si leurs seconds membres sont nuls, le système a des solutions et il faut les calculer. À partir du système échelonné $(S_H)$, les étapes successives sont les suivantes.

1. supprimer les équations de compatibilité s'il y en a,
2. diviser chacune des équations restantes par son pivot,
3. si $r<n$, passer les termes en $y_{r+1},\ldots,y_n$ dans le second membre,
4. calculer $y_r,y_{r-1},\ldots,y_1$, par combinaisons de lignes, en annulant les termes au-dessus de chaque pivot et en commençant par le dernier. Si $r<n$, $y_{r+1},\ldots,y_n$ sont traités comme des paramètres, qui peuvent prendre des valeurs réelles arbitraires.

Nous reprenons comme exemples les systèmes $(S_2)$ et $(S_3)$ de la section précédente.

$$\begin{array}{cc} \hspace*{19mm}(S_{2,E})\hspace*{19mm} & \l... ...&40z&+40t&=&32\\ &&&-3t&=&-12/5 \end{array}\right. \end{array}$$

$$\Longleftrightarrow$$

$$\begin{array}{cc} \begin{array}{l}  \\ \hspace*{10mm}L_2\le... ...-7\\ &&z&+t&=&4/5\\ &&&t&=&4/5 \end{array}\right. \end{array}$$

$$\Longleftrightarrow$$

$$\begin{array}{cc} \begin{array}{l} \hspace*{9mm}L_1\leftarro... ...&=&1/5\\ &&z&&=&0\\ &&&t&=&4/5 \end{array}\right. \end{array}$$

$$\Longleftrightarrow$$

$$\begin{array}{cc} \begin{array}{l} L_1\leftarrow L_1+3L_3\ ... ...&=&1/5\\ &&z&&=&0\\ &&&t&=&4/5 \end{array}\right. \end{array}$$

$$\Longleftrightarrow$$

$$\begin{array}{cc} \begin{array}{l} L_1\leftarrow L_1-L_2\\ ... ...&=&1/5\\ &&z&&=&0\\ &&&t&=&4/5 \end{array}\right. \end{array}$$

Le système est maintenant sous forme résolue : $(2,1/5,0,4/5)$ est la seule solution. Voici un autre exemple.

$$\begin{array}{cc} \hspace*{10mm}(S_{3,E})\hspace*{8mm} & \le... ...&=&-10\\ &&-3t&&=&0\\ &&&0&=&0 \end{array}\right. \end{array}$$

$$\Longleftrightarrow$$

$$\begin{array}{cc} \begin{array}{l}  \\ \hspace*{13mm}L_2\le... .../7)t&-(6/7)z&=&-10/7\\ &&t&&=&0 \end{array}\right. \end{array}$$

$$\Longleftrightarrow$$

$$\begin{array}{cc} \begin{array}{l} \hspace*{47mm} \end{array... ...)t&&=&-(10/7)+(6/7)z\\ &&t&&=&0 \end{array}\right. \end{array}$$

$$\Longleftrightarrow$$

$$\begin{array}{cc} \begin{array}{l} L_1\leftarrow L_1-L3\\ L... ...y&&&=&-(10/7)+(6/7)z\\ &&t&&=&0 \end{array}\right. \end{array}$$

$$\Longleftrightarrow$$

$$\begin{array}{cc} \begin{array}{l} \hspace*{8mm}L_1\leftarro... ...y&&&=&-(10/7)+(6/7)z\\ &&t&&=&0 \end{array}\right. \end{array}$$

Le système est maintenant sous forme résolue. Il admet une infinité de solutions, dépendant du paramètre $z$. L'ensemble ${\cal S}$ des solutions s'écrit

$${\cal S} = \left\{ \left(\frac{11}{7},-\frac{10}{7},0,0\right) +z\left(-\frac{1}{7},\frac{6}{7},1,0\right) ,\;z\in\mathbb{R} \right\}\;.$$

C'est bien la forme prévue par le théorème 2 : ${\cal S}$ est une droite affine, passant par la solution particulière $(11/7,-10/7,0,0)$, de vecteur directeur $(-1/7,6/7,1,0)$. Evidemment l'écriture de l'ensemble des solutions obtenue pas la méthode de Gauss, n'est pas la seule possible. Dans l'exemple ci-dessus, ${\cal S}$ pourrait aussi s'écrire :

$${\cal S} = \{ (x,y,z,t)=(2,-4,-3,0) +\lambda(1,-6,-7,0) ,\;\lambda\in\mathbb{R} \}\;.$$