Transformations équivalentes

L'idée de la méthode de Gauss est de transformer par étapes, le système à résoudre en des systèmes plus simples, tous équivalents au système initial, jusqu'à un système dit «résolu», sur lequel on lit directement la solution. Pour un système linéaire, «plus simple»  signifie «avec moins de termes», ou encore «plus de coefficients nuls» . Pour annuler des termes, la méthode de Gauss combine les trois transformations de la proposition suivante.

Proposition 1   Les transformations suivantes changent tout système en un système équivalent :

1. échanger deux lignes,
2. multiplier une ligne par un réel non nul,
3. ajouter une ligne à une autre ligne.

Démonstration : Le résultat est évident pour la première transformation. Pour la seconde, si $(x_1,\ldots,x_n)$ est solution de $(S)$, contenant l'équation

$$a_{i,1} x_1+\ldots+a_{i,n} x_n=b_i\;,$$ (3)

alors $(x_1,\ldots,x_n)$ vérifie encore

$$\lambda(a_{i,1} x_1+\ldots+a_{i,n}) x_n=\lambda b_i\;,$$ (4)

pour tout $\lambda$. Réciproquement, si $\lambda$ est non nul il suffit d'appliquer ce qui précède à $1/\lambda$ pour s'assurer que tout $n$-uplet solution de (4) est aussi solution de (3).

Pour le point 3, considérons les deux lignes

$$\left\{ \begin{array}{lcl} a_{i,1} x_1+\ldots+a_{i,n} x_n&=&b_i\ a_{k,1} x_1+\ldots+a_{k,n} x_n&=&b_k \end{array} \right.$$ (5)

Elles sont remplacées par

$$\left\{ \begin{array}{rcrcl} a_{i,1} x_1&+\ldots&+a_{i,n} x_n&=... ...}+a_{k,1}) x_1&+\ldots&+(a_{i,n}+a_{k,n}) x_n&=&b_i+b_k\ \end{array} \right.$$ (6)

Si un $n$-uplet $(x_1,\ldots,x_n)$ vérifie (5), alors il vérifie aussi (6). Réciproquement, multiplions la première équation de (6) par $-1$ (ce qui ne change pas l'ensemble des solutions d'après le point 2), puis ajoutons les deux équations. D'après ce qui précède, toute solution de (6) est aussi solution de (5).$\square$

Ici, une mise en garde s'impose. Lorsqu'on remplace une ligne par une combinaison linéaire des autres, toute solution du système initial est encore solution du nouveau système. Mais l'ensemble des solutions du nouveau peut être strictement plus grand. Dans la démonstration ci-dessus, nous avons pris soin de vérifier les réciproques : il est essentiel que le système transformé soit bien équivalent au système initial. La méthode de Gauss consiste à appliquer successivement les transformations de la proposition 1. Dans les deux sections suivantes, nous allons décrire les deux étapes principales.