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Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.


Questions de cours : On considère un système $ (S)$ de $ m$ équations à $ n$ inconnues.

  1. Qu'appelle-t-on système homogène associé à $ (S)$ ?
  2. Démontrer que l'ensemble des solutions du système homogène associé, noté $ (H)$, est un sous-espace vectoriel de $ \mathbb{R}^n$.
  3. En supposant que l'ensemble des solutions de $ (S)$ est non vide, démontrer que c'est un espace affine, dont l'espace vectoriel associé est l'ensemble des solutions de $ (H)$.
  4. Qu'appelle-t-on forme échelonnée pour le système $ (S)$ ?
  5. Qu'est ce que le rang du système $ (S)$ ? Comment détermine-t-on le rang à partir de la forme échelonnée ?
Exercice 1 : Soient $ a$ et $ b$ deux paramètres réels. On considère le système :

\begin{displaymath} (S)\qquad \left\{ \begin{array}{rrrcl} &ay&+az&=&ab\\ &&bz&=&a\\ x&+y&+z&=&1\;. \end{array}\right. \end{displaymath}

  1. Mettre le système $ (S)$ sous forme échelonnée, discuter son rang selon les valeurs de $ a$ et $ b$.
  2. Si $ a$ et $ b$ sont tous les deux non nuls, montrer que le système a une solution unique, et donner l'expression de cette solution en fonction de $ a$ et $ b$.
  3. Pour $ a=0$, donner des équations paramétriques de l'ensemble des solutions de $ (S)$.
Exercice 2 : On considère un espace affine de dimension 3, muni d'un repère $ (O,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$. Soit $ {\cal P}$ le plan d'équation implicite $ x+y+z=1$. Soient $ a$ et $ b$ deux paramètres réels. Soit $ A$ le point de coordonnées $ (1,1,a)$ dans le repère $ (O,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$ et $ \vec{u}$ le vecteur de coordonnées $ (1,0,b)$ dans la base $ (\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$. Soit $ {\cal D}$ la droite passant par $ A$, de vecteur directeur $ \vec{u}$. Le but de l'exercice est d'étudier l'intersection du plan $ {\cal P}$ et de la droite $ {\cal D}$.
  1. Vérifier que le vecteur $ \vec{u}$ appartient au plan vectoriel associé à $ {\cal P}$ si et seulement si $ b=-1$.
  2. Pour $ b\neq -1$ montrer que l'intersection de $ {\cal P}$ et $ {\cal D}$ est réduite à un point.
  3. Pour $ b=-1$, montrer que l'intersection de $ {\cal P}$ est vide si $ a\neq -1$, égale à $ {\cal D}$ si $ a=-1$.
  4. Vérifier que $ {\cal D}$ est l'intersection des deux plans d'équations implicites $ bx-z=b-a$ et $ y=1$. Ecrire le système linéaire caractérisant l'intersection de $ {\cal D}$ et $ {\cal P}$.
  5. Mettre ce système sous forme échelonnée.
  6. Discuter le rang du système et la dimension de l'ensemble des solutions selon les valeurs de $ a$ et $ b$ (retrouver les résultats des questions 1, 2 et 3).
  7. Pour $ b\neq -1$ donner l'expression de la solution du système en fonction de $ a$ et $ b$.
Exercice 3 : Soient $ a$ et $ b$ deux paramètres réels. On considère le système :

\begin{displaymath} (S)\qquad \left\{ \begin{array}{rrrrcl} 2x&+y&+z&+t&=&0\\ -... ...1)t&=&1\\ 2x&+3y&+(b+5)z&+(a+2b)t&=&a+1\;. \end{array}\right. \end{displaymath}

  1. Mettre le système $ (S)$ sous forme échelonnée.
  2. Discuter le rang du système selon les valeurs de $ a$ et $ b$.
  3. Pour $ b=0$, donner une condition nécessaire et suffisante sur $ a$ pour que le système $ (S)$ ait des solutions.
  4. Pour $ (a,b)=(0,1)$, montrer que l'ensemble des solutions est un plan affine dont on donnera des équations paramétriques.
  5. Pour $ b\neq 0$, montrer que le système a une solution unique, dont on donnera l'expression en fonction de $ a$ et $ b$.

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