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Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.

Questions de cours : On considère un système $(S)$ de $m$ équations à $n$ inconnues.

1. Qu'appelle-t-on système homogène associé à $(S)$ ?
2. Démontrer que l'ensemble des solutions du système homogène associé, noté $(H)$, est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^n$.
3. En supposant que l'ensemble des solutions de $(S)$ est non vide, démontrer que c'est un espace affine, dont l'espace vectoriel associé est l'ensemble des solutions de $(H)$.
4. Qu'appelle-t-on forme échelonnée pour le système $(S)$ ?
5. Qu'est ce que le rang du système $(S)$ ? Comment détermine-t-on le rang à partir de la forme échelonnée ?

Exercice 1 : Soient $a$ et $b$ deux paramètres réels. On considère le système :

$$(S)\qquad \left\{ \begin{array}{rrrcl} &ay&+az&=&ab\\ &&bz&=&a\\ x&+y&+z&=&1\;. \end{array}\right.$$

1. Mettre le système $(S)$ sous forme échelonnée, discuter son rang selon les valeurs de $a$ et $b$.
2. Si $a$ et $b$ sont tous les deux non nuls, montrer que le système a une solution unique, et donner l'expression de cette solution en fonction de $a$ et $b$.
3. Pour $a=0$, donner des équations paramétriques de l'ensemble des solutions de $(S)$.

Exercice 2 : On considère un espace affine de dimension 3, muni d'un repère $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$. Soit ${\cal P}$ le plan d'équation implicite $x+y+z=1$. Soient $a$ et $b$ deux paramètres réels. Soit $A$ le point de coordonnées $(1,1,a)$ dans le repère $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$ et $\vec{u}$ le vecteur de coordonnées $(1,0,b)$ dans la base $(\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$. Soit ${\cal D}$ la droite passant par $A$, de vecteur directeur $\vec{u}$. Le but de l'exercice est d'étudier l'intersection du plan ${\cal P}$ et de la droite ${\cal D}$.

1. Vérifier que le vecteur $\vec{u}$ appartient au plan vectoriel associé à ${\cal P}$ si et seulement si $b=-1$.
2. Pour $b\neq -1$ montrer que l'intersection de ${\cal P}$ et ${\cal D}$ est réduite à un point.
3. Pour $b=-1$, montrer que l'intersection de ${\cal P}$ est vide si $a\neq -1$, égale à ${\cal D}$ si $a=-1$.
4. Vérifier que ${\cal D}$ est l'intersection des deux plans d'équations implicites $bx-z=b-a$ et $y=1$. Ecrire le système linéaire caractérisant l'intersection de ${\cal D}$ et ${\cal P}$.
5. Mettre ce système sous forme échelonnée.
6. Discuter le rang du système et la dimension de l'ensemble des solutions selon les valeurs de $a$ et $b$ (retrouver les résultats des questions 1, 2 et 3).
7. Pour $b\neq -1$ donner l'expression de la solution du système en fonction de $a$ et $b$.

Exercice 3 : Soient $a$ et $b$ deux paramètres réels. On considère le système :

$$(S)\qquad \left\{ \begin{array}{rrrrcl} 2x&+y&+z&+t&=&0\\ -... ...1)t&=&1\\ 2x&+3y&+(b+5)z&+(a+2b)t&=&a+1\;. \end{array}\right.$$

1. Mettre le système $(S)$ sous forme échelonnée.
2. Discuter le rang du système selon les valeurs de $a$ et $b$.
3. Pour $b=0$, donner une condition nécessaire et suffisante sur $a$ pour que le système $(S)$ ait des solutions.
4. Pour $(a,b)=(0,1)$, montrer que l'ensemble des solutions est un plan affine dont on donnera des équations paramétriques.
5. Pour $b\neq 0$, montrer que le système a une solution unique, dont on donnera l'expression en fonction de $a$ et $b$.