Résolution d'équations

Pour terminer, nous allons donner un petit aperçu de l'intérêt des séries entières comme technique de résolution d'équations récurrentes ou différentielles. L'équation suivante se rencontre dans l'analyse de certains algorithmes de tri.

$$\forall n\geqslant 0\;,\quad a_{n+1}=2a_n+2^n\;,$$

avec $a_0=1$. Comment obtenir une expression explicite de $a_n$ ? Introduisons la série entière $\sum a_n z^n$ et notons $f(z)$ sa somme.

$$f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n\;.$$

Pour obtenir une équation en $f$, on multiplie l'équation de récurrence par $z^n$ et on somme sur $n$.

$$\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n+1} z^n =2\sum_{n=0}^{+\infty}a_n z^n+ \sum_{n=0}^{+\infty}2^n z^n\;.$$

Il s'agit maintenant d'en déduire une équation en $f$. Pour cela observons que le premier terme de la série est $f(0)=a_0=1$. On a donc :

$$\frac{f(z)-1}{z} = \sum_{m=1}^{+\infty} a_m z^{m-1} =\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n+1}z^n\;.$$

On en déduit l'équation suivante.

$$\frac{f(z)-1}{z} = 2f(z)+\frac{1}{1-2z}\;,$$

dont la solution est :

$$f(z) = \frac{1}{1-2z}+\frac{z}{(1-2z)^2}\;.$$

Il suffit alors de développer $f$ en série entière pour retrouver les $a_n$.

$$f(z) = 1+3 z+8 z^2+\cdots+(n+2)2^{n-1} z^n+\cdots$$

On obtient donc $a_n=(n+2)2^{n-1}$.

Voici un exemple plus compliqué. Le nombre $a_n$ d'arbres binaires enracinés à $n$ sommets vérifie :

$$a_n = \sum_{k=0}^{n-1} a_k a_{n-1-k}\;,$$

avec $a_0=1$. Notons $f(z)$ la somme de la série $\sum a_n z^n$. On multiplie l'équation de récurrence par $z^n$ et on somme pour obtenir :

$$\sum_{n=1}^{+\infty} a_n z^n = \sum_{n=1}^{+\infty} z^n \sum_{k=0}^{n-1} a_k a_{n-k-1}$$

$$= z \sum_{n=1}^{+\infty} \sum_{k=0}^{n-1} a_k z^k\; a_{n-k-1} z^{n-k-1}$$

$$= z\sum_{k=0}^{+\infty} a_k z^k \sum_{n=k+1}^{+\infty} a_{n-k-1} z^{n-k-1}$$

$$= z \Big(\sum_{k=0}^{+\infty} a_k z^k\Big) \Big(\sum_{m=0}^{+\infty} a_m z^m\Big)\;,$$

soit :

$$f(z)-1 = z(f(z))^2\;.$$

Des deux solutions de cette équation, seule celle qui vaut $1$ en 0 nous intéresse :

$$f(z) = \frac{1-\sqrt{1-4z}}{2z}\;.$$

Il reste à développer $f(z)$ en série entière, en utilisant le développement de $(1+z)^\alpha$. On obtient :

$$a_n = \frac{(2n)! }{(n+1)! n!} = \frac{1}{(n+1)}\binom{2n}{n}\;.$$

Considérons maintenant l'équation différentielle suivante.

$$x^2 y'' -6xy'+(12+x^2)y = 0$$ (E)

Cherchons des solutions de (E) développables en série entière :

$$y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \;,\quad y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} na_n x^{n-1} \;,\quad y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} a_n x^{n-2}\;.$$

En reportant ces séries dans l'équation (E), on obtient :

$$\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n x^{n}-6\sum_{n=1}^{\infty} na_n x^{n} +12\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n+\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+2} =0$$

On commence par effectuer les changements d'indices nécessaires pour ramener tous les termes à $x^n$.

$$\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n x^{n}-6\sum_{n=1}^{\infty} na_n x^{n} +12\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n+\sum_{n=2}^{\infty} a_{n-2} x^{n} =0$$

Si une fonction développable en série entière est nulle, ses coefficients doivent être nuls : on en déduit des équations particulières pour les premiers termes, et une équation de récurrence générale pour les termes suivants.

$$12a_0 =$$ 0

$$-6a_1+12a_1 =$$ 0

$$2a_2-12a_2+12a_2+a_0 =$$ 0

$$n(n-1)a_n-6a_n+12a_n+a_{n-2} = n\geqslant 3\;.$$

Les trois premières équations donnent $a_0=a_1=a_2=0$. La quatrième s'écrit :

$$a_n(n-3)(n-4)+a_{n-2} = 0\;.$$

Pour $n=3$ et $n=4$, elle n'apporte aucune information. Mais pour $n\geqslant 5$, elle permet d'exprimer tous les coefficients de la série en fonction de $a_3$ et $a_4$. Calculons d'abord les termes impairs :

$$\forall k\in \mathbb{N}^*\;,\quad a_{2k+3} = -\frac{a_{2k+1}}{(2k-1)(2k)}\;.$$

Par récurrence, on en déduit :

$$\forall k\in \mathbb{N}^*\;,\quad a_{2k+3} = \frac{(-1)^{k}}{(2k)!} a_3\;.$$

On calcule de la même façon les termes pairs :

$$\forall k\in \mathbb{N}^*\;,\quad a_{2k+4} = -\frac{a_{2k+2}}{(2k)(2k+1)}\;.$$

Soit par récurrence :

$$\forall k\in \mathbb{N}^*\;,\quad a_{2k+4} = \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} a_4\;.$$

La série $\sum a_nx^n$ a un rayon de convergence infini (application du corollaire 1). En sommant, on obtient :

$$y(x) = \displaystyle{ a_3\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k}}{(2k)!}x^{2k+3} +a_4\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}x^{2k+4}}$$

$$= \displaystyle{x^3\left(a_3 \frac{(-1)^{k}}{(2k)!}x^{2k} +a_4\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}x^{2k+1}\right)}$$

$$= x^3(a_3\cos(x)+a_4\sin(x))\;.$$

Les deux fonctions $x\mapsto x^3\cos(x)$ et $x\mapsto x^3\sin(x)$ constituent une famille libre daans l'espace vectoriel des fonctions, donc leurs combinaisons linéaires constituent un espace vectoriel de dimension 2. Comme l'équation (E) est linéaire et du second ordre, nous avons trouvé toutes ses solutions sous forme de séries entières (ce n'est pas toujours le cas).