Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.

Questions de cours : Soit $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels ou de complexes.

1. Soit $r$ un réel strictement positif. Démontrer que si la suite $(\vert a_n\vert r^n)_{n\in\mathbb{N}}$ est bornée, alors pour tout $z$ tel que $\vert z\vert<r$, la série entière $\sum a_n z^n$ est absolument convergente.
2. Définir le rayon de convergence de la série entière $\sum a_n z^n$.
3. On suppose que la suite de terme général $${\left\vert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\vert}$$ converge vers une limite finie non nulle, notée $l$. Montrer que $${R=\frac{1}{l}}$$.
4. On suppose que la suite de terme général $${\left\vert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\vert}$$ tend vers 0. Montrer que pour tout $z\in\mathbb{C}$, la série entière $\sum a_n z^n$ est absolument convergente.
5. On suppose que la suite de terme général $${\sqrt[n]{\vert a_n\vert}}$$ converge vers une limite finie non nulle, notée $l$. Montrer que $${R=\frac{1}{l}}$$.

Exercice 1 :  

1. Montrer que les séries entières $${\sum z^n}$$ et $${\sum \frac{1}{n}z^n}$$ ont pour rayon de convergence $1$. Pour tout $x\in ]-1,1[$, donner la valeur de
   $$S_1(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} x^n$$   et$$\quad S_2(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n}\;.$$

2. Démontrer que la série produit $${\left(\sum z^n\right)\left(\sum \frac{1}{n}z^n\right)}$$ a pour rayon de convergence $1$ et que pour tout $x\in ]-1,1[$,
   $$S_1(x)S_2(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right) x^n\;.$$

3. Pour tout $n\geqslant 1$, on pose
   $$c_n = 1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\;.$$
   Montrer que
   $$\lim_{n\to+\infty}\frac{h_{n+1}}{c_n} = 1\;.$$
   En déduire que la série de terme général $c_n$ a pour rayon de convergence $1$.
4. Pour tout $x\in ]-1,1[$, on note
   $$f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} c_n x^n\;.$$
   Quel est le développement en série de $xf(x)$ ? En déduire que $f(x)-xf(x)=S_2(x)$ et retrouver le résultat de la question 2.
5. Soit $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite (quelconque) de réels strictement positifs. Pour tout $n\in\mathbb{N}$. On pose
   $$b_n=a_0+\cdots+a_n\;.$$
   On note $R_a$ et $R_b$ les rayons de convergence respectifs des séries entières $\sum a_n z^n$ et $\sum b_n z^n$. Montrer que $R_b\geqslant \min\{R_a,1\}$.
6. On suppose désormais que la suite $(a_n)$ tend vers 0 et que la série $\sum a_n$ diverge. Montrer que $R_a=R_b=1$.
7. Pour tout $x\in ]-1,1[$, on pose
   $$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n\;.$$
   Démontrer que pour tout $x\in ]-1,1[$,
   $$\sum_{n=0}^{+\infty} b_n x^n = \frac{f(x)}{1-x}\;.$$

Exercice 2 : Le nombre moyen $a_n$ de comparaisons effectuées par l'algorithme de tri rapide Quicksort, pour une liste de $n$ nombres ordonnés au hasard vérifie $a_1=0$ et pour tout $n\geq 2$ :

$$na_n = n(n-1) +2\sum_{k=1}^{n-1} a_k\;.$$

1. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$
   $$n-1\leqslant a_n\leqslant \frac{n(n-1)}{2}\;.$$
   En déduire que la série entière $\sum a_n z^n$ a pour rayon de convergence $1$.
2. Pour tout $x\in ]-1,1[$, calculer la somme de la série $${\sum_{n=1}^{+\infty} n(n-1) x^n}$$.
3. Pour tout $x\in ]-1,1[$, on note $f$ la somme de la série $${\sum_{n=1}^{+\infty} a_n x^n}$$. Montrer que
   $$\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\sum_{k=1}^{n-1} a_k\right) x^n = \frac{xf(x)}{1-x}\;.$$
   (On pourra utiliser l'exercice précédent).
4. Montrer que $f$ est solution de l'équation différentielle

   $$f'(x) = \frac{2f(x)}{1-x}+\frac{2x}{(1-x)^3}\;.$$ (E)

   
   

5. On considère l'équation différentielle

   $$y'(x) = \frac{2y(x)}{1-x}\;.$$ (H)

   
   
   Soit $y$ une solution de (H) développable en série entière en 0 :
   $$y(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} b_n x^n\;.$$
   Montrer que les $b_n$ vérifient l'équation de récurrence $(n+1)b_{n+1}-(n+2)b_n=0$.
6. En déduire que pour tout $K\in\mathbb{R}$, la fonction $y$ définie par
   $$y(x) = \frac{K}{(1-x)^2}\;,$$
   est solution de (H) sur $]-1,1[$.
7. Vérifier que l'unique solution de l'équation différentielle (E), vérifiant $f(0)=0$ est :
   $$f(x) = \frac{2}{(1-x)^2}\Big(-\ln(1-x)-x\Big)\;.$$

8. En déduire que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ :
   $$a_n=2(n+1)\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)-4n\;.$$