Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.

Questions de cours : Soit $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels ou de complexes.

Soit un réel strictement positif. Démontrer que si la suite $(\vert a_n\vert r^n)_{n\in\mathbb{N}}$ est bornée, alors pour tout tel que $\vert z\vert<r$ , la série entière $\sum a_n z^n$ est absolument convergente.
Définir le rayon de convergence de la série entière $\sum a_n z^n$ .
On suppose que la suite de terme général $\displaystyle{\left\vert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\vert}$ converge vers une limite finie non nulle, notée . Montrer que $\displaystyle{R=\frac{1}{l}}$ .
On suppose que la suite de terme général $\displaystyle{\left\vert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\vert}$ tend vers 0. Montrer que pour tout $z\in\mathbb{C}$ , la série entière $\sum a_n z^n$ est absolument convergente.
On suppose que la suite de terme général $\displaystyle{\sqrt[n]{\vert a_n\vert}}$ converge vers une limite finie non nulle, notée . Montrer que $\displaystyle{R=\frac{1}{l}}$ .

Exercice 1 :

Montrer que les séries entières $\displaystyle{\sum z^n}$ et $\displaystyle{\sum \frac{1}{n}z^n}$ ont pour rayon de convergence . Pour tout $x\in ]-1,1[$ , donner la valeur de

$\displaystyle S_1(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} x^n$ et $\displaystyle \quad S_2(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n}\;.$
Démontrer que la série produit $\displaystyle{\left(\sum z^n\right)\left(\sum \frac{1}{n}z^n\right)}$ a pour rayon de convergence et que pour tout $x\in ]-1,1[$ ,

$\displaystyle S_1(x)S_2(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right) x^n\;.$
Pour tout $n\geqslant 1$ , on pose

$\displaystyle c_n = 1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\;.$
Montrer que

$\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\frac{h_{n+1}}{c_n} = 1\;.$
En déduire que la série de terme général a pour rayon de convergence .
Pour tout $x\in ]-1,1[$ , on note

$\displaystyle f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} c_n x^n\;.$
Quel est le développement en série de ? En déduire que et retrouver le résultat de la question 2.
Soit $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite (quelconque) de réels strictement positifs. Pour tout $n\in\mathbb{N}$ . On pose

$\displaystyle b_n=a_0+\cdots+a_n\;.$
On note et les rayons de convergence respectifs des séries entières $\sum a_n z^n$ et $\sum b_n z^n$ . Montrer que $R_b\geqslant \min\{R_a,1\}$ .
On suppose désormais que la suite tend vers 0 et que la série $\sum a_n$ diverge. Montrer que .
Pour tout $x\in ]-1,1[$ , on pose

$\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n\;.$
Démontrer que pour tout $x\in ]-1,1[$ ,

$\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} b_n x^n = \frac{f(x)}{1-x}\;.$

Exercice 2 : Le nombre moyen

de comparaisons effectuées par l'algorithme de tri rapide Quicksort, pour une liste de

nombres ordonnés au hasard vérifie

et pour tout $n\geq 2$ :

$\displaystyle na_n = n(n-1) +2\sum_{k=1}^{n-1} a_k\;.$

Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$

$\displaystyle n-1\leqslant a_n\leqslant \frac{n(n-1)}{2}\;.$
En déduire que la série entière $\sum a_n z^n$ a pour rayon de convergence .
Pour tout $x\in ]-1,1[$ , calculer la somme de la série $\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty} n(n-1) x^n}$ .
Pour tout $x\in ]-1,1[$ , on note la somme de la série $\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty} a_n x^n}$ . Montrer que

$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\sum_{k=1}^{n-1} a_k\right) x^n = \frac{xf(x)}{1-x}\;.$
(On pourra utiliser l'exercice précédent).
Montrer que est solution de l'équation différentielle

$\displaystyle f'(x) = \frac{2f(x)}{1-x}+\frac{2x}{(1-x)^3}\;.$ (E)
On considère l'équation différentielle

$\displaystyle y'(x) = \frac{2y(x)}{1-x}\;.$ (H)

Soit une solution de (H) développable en série entière en 0 :

$\displaystyle y(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} b_n x^n\;.$
Montrer que les vérifient l'équation de récurrence $(n+1)b_{n+1}-(n+2)b_n=0$ .
En déduire que pour tout $K\in\mathbb{R}$ , la fonction définie par

$\displaystyle y(x) = \frac{K}{(1-x)^2}\;,$
est solution de (H) sur .
Vérifier que l'unique solution de l'équation différentielle (E), vérifiant est :

$\displaystyle f(x) = \frac{2}{(1-x)^2}\Big(-\ln(1-x)-x\Big)\;.$
En déduire que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ :

$\displaystyle a_n=2(n+1)\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)-4n\;.$