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Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.


Questions de cours : Soit $ (a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels ou de complexes.

  1. Soit $ r$ un réel strictement positif. Démontrer que si la suite $ (\vert a_n\vert r^n)_{n\in\mathbb{N}}$ est bornée, alors pour tout $ z$ tel que $ \vert z\vert<r$, la série entière $ \sum a_n  z^n$ est absolument convergente.
  2. Définir le rayon de convergence de la série entière $ \sum a_n  z^n$.
  3. On suppose que la suite de terme général $ \displaystyle{\left\vert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\vert}$ converge vers une limite finie non nulle, notée $ l$. Montrer que $ \displaystyle{R=\frac{1}{l}}$.
  4. On suppose que la suite de terme général $ \displaystyle{\left\vert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\vert}$ tend vers 0. Montrer que pour tout $ z\in\mathbb{C}$, la série entière $ \sum a_n  z^n$ est absolument convergente.
  5. On suppose que la suite de terme général $ \displaystyle{\sqrt[n]{\vert a_n\vert}}$ converge vers une limite finie non nulle, notée $ l$. Montrer que $ \displaystyle{R=\frac{1}{l}}$.

Exercice 1 :  
  1. Montrer que les séries entières $ \displaystyle{\sum z^n}$ et $ \displaystyle{\sum \frac{1}{n}z^n}$ ont pour rayon de convergence $ 1$. Pour tout $ x\in ]-1,1[$, donner la valeur de

    $\displaystyle S_1(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} x^n$   et$\displaystyle \quad
S_2(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n}\;.
$

  2. Démontrer que la série produit $ \displaystyle{\left(\sum z^n\right)\left(\sum
\frac{1}{n}z^n\right)}$ a pour rayon de convergence $ 1$ et que pour tout $ x\in ]-1,1[$,

    $\displaystyle S_1(x)S_2(x) = \sum_{n=1}^{+\infty}
\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right) x^n\;.
$

  3. Pour tout $ n\geqslant 1$, on pose

    $\displaystyle c_n = 1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\;.
$

    Montrer que

    $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\frac{h_{n+1}}{c_n} = 1\;.
$

    En déduire que la série de terme général $ c_n$ a pour rayon de convergence $ 1$.
  4. Pour tout $ x\in ]-1,1[$, on note

    $\displaystyle f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} c_n x^n\;.
$

    Quel est le développement en série de $ xf(x)$ ? En déduire que $ f(x)-xf(x)=S_2(x)$ et retrouver le résultat de la question 2.
  5. Soit $ (a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite (quelconque) de réels strictement positifs. Pour tout $ n\in\mathbb{N}$. On pose

    $\displaystyle b_n=a_0+\cdots+a_n\;.
$

    On note $ R_a$ et $ R_b$ les rayons de convergence respectifs des séries entières $ \sum a_n  z^n$ et $ \sum b_n z^n$. Montrer que $ R_b\geqslant \min\{R_a,1\}$.
  6. On suppose désormais que la suite $ (a_n)$ tend vers 0 et que la série $ \sum a_n$ diverge. Montrer que $ R_a=R_b=1$.
  7. Pour tout $ x\in ]-1,1[$, on pose

    $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n\;.
$

    Démontrer que pour tout $ x\in ]-1,1[$,

    $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} b_n x^n = \frac{f(x)}{1-x}\;.
$


Exercice 2 : Le nombre moyen $ a_n$ de comparaisons effectuées par l'algorithme de tri rapide Quicksort, pour une liste de $ n$ nombres ordonnés au hasard vérifie $ a_1=0$ et pour tout $ n\geq 2$ :

$\displaystyle na_n = n(n-1) +2\sum_{k=1}^{n-1} a_k\;.
$

  1. Montrer que pour tout $ n\in\mathbb{N}^*$

    $\displaystyle n-1\leqslant a_n\leqslant \frac{n(n-1)}{2}\;.
$

    En déduire que la série entière $ \sum a_n  z^n$ a pour rayon de convergence $ 1$.
  2. Pour tout $ x\in ]-1,1[$, calculer la somme de la série $ \displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty} n(n-1) x^n}$.
  3. Pour tout $ x\in ]-1,1[$, on note $ f$ la somme de la série $ \displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty} a_n x^n}$. Montrer que

    $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\sum_{k=1}^{n-1} a_k\right) x^n = \frac{xf(x)}{1-x}\;.
$

    (On pourra utiliser l'exercice précédent).
  4. Montrer que $ f$ est solution de l'équation différentielle

    $\displaystyle f'(x) = \frac{2f(x)}{1-x}+\frac{2x}{(1-x)^3}\;.$ (E)

  5. On considère l'équation différentielle

    $\displaystyle y'(x) = \frac{2y(x)}{1-x}\;.$ (H)

    Soit $ y$ une solution de (H) développable en série entière en 0 :

    $\displaystyle y(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} b_n x^n\;.
$

    Montrer que les $ b_n$ vérifient l'équation de récurrence $ (n+1)b_{n+1}-(n+2)b_n=0$.
  6. En déduire que pour tout $ K\in\mathbb{R}$, la fonction $ y$ définie par

    $\displaystyle y(x) = \frac{K}{(1-x)^2}\;,
$

    est solution de (H) sur $ ]-1,1[$.
  7. Vérifier que l'unique solution de l'équation différentielle (E), vérifiant $ f(0)=0$ est :

    $\displaystyle f(x) = \frac{2}{(1-x)^2}\Big(-\ln(1-x)-x\Big)\;.
$

  8. En déduire que pour tout $ n\in\mathbb{N}^*$ :

    $\displaystyle a_n=2(n+1)\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)-4n\;.
$


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