Corrigé du devoir

Questions de cours :  

1. Soit $M$ tel que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $\vert a_n\vert r^n\leqslant M$. Écrivons :
   $$\vert a_n z^n\vert = \vert a_n\vert r^n \left\vert\frac{z^n}{r^n}\right\vert \leqslant M\left\vert\frac{z^n}{r^n}\right\vert\;.$$
   Si $\vert z\vert<r$, $\left\vert\frac{z}{r}\right\vert<1$ et la série $\sum M\left\vert\frac{z^n}{r^n}\right\vert$ converge. Dons la série $\sum \vert a_n\vert z^n$ converge, par le théorème de comparaison des séries.
2. L'ensemble des réels positifs ou nul tels que la suite $(\vert a_n\vert r^n)$ est bornée est non vide, car il contient 0. S'il est majoré alors le rayon de convergence de la série $\sum a_n z^n$ est sa borne supérieure, sinon le rayon de convergence est infini.
3. Pour tout $\varepsilon >0$, il existe $n_0$ tel que pour tout $n>n_0$,
   $$0<l- \varepsilon <\left\vert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\vert<l+\varepsilon \;.$$
   On en déduit par récurrence que
   $$\Big(\vert a_{n_0}\vert (l-\varepsilon )^{-n_0}\Big) (l-\varepsil... ...rt < \Big(\vert a_{n_0}\vert (l+\varepsilon )^{-n_0}\Big)(l+\varepsilon )^n\;.$$
   Soit $r$ un réel tel que $0\leqslant r<\frac{1}{l+\varepsilon }$. L'inégalité de droite entraîne que $\vert a_n\vert r^n$ est borné. Donc le rayon de convergence $R$ est tel que
   $$R\geqslant \frac{1}{l+\varepsilon }\;.$$
   Si $r$ est tel que $r>\frac{1}{l-\varepsilon }$, L'inégalité de gauche entraîne que $\vert a_n\vert r^n$ tend vers l'infini. Donc
   $$R\leqslant \frac{1}{l-\varepsilon }\;.$$
   Comme ceci est vrai pour tout $\varepsilon >0$, $R= 1/l$.
4. Pour tout $\varepsilon >0$, il existe $n_0$ tel que pour tout $n>n_0$,
   $$\left\vert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\vert<\varepsilon \;.$$
   On en déduit par récurrence que
   $$\vert a_n\vert < \Big(\vert a_{n_0}\vert \varepsilon ^{-n_0}\Big)\varepsilon ^n\;.$$
   Soit $r$ un réel tel que $0\leqslant r<\frac{1}{\varepsilon }$. L'inégalité de droite entraîne que $\vert a_n\vert r^n$ est borné. Comme ceci est vrai pour tout $\varepsilon >0$, $\vert a_n\vert r^n$ est borné pour tout $r>0$. Donc d'après la question 1, $\sum a_nz^n$ est absolument convergente pour tout $z\in\mathbb{C}$ (le rayon de convergence est infini).
5. Pour tout $\varepsilon >0$, il existe $n_0$ tel que pour tout $n>n_0$,
   $$l-\varepsilon <\sqrt[n]{\vert a_n\vert}<l+\varepsilon \;,$$
   donc
   $$(l-\varepsilon )^n<\vert a_n\vert<(l+\varepsilon )^n\;.$$
   Soit $r$ un réel tel que $0\leqslant r<\frac{1}{l+\varepsilon }$. L'inégalité de droite entraîne que $\vert a_n\vert r^n$ est borné. Donc le rayon de convergence $R$ est tel que
   $$R\geqslant \frac{1}{l+\varepsilon }\;.$$
   Si $r$ est tel que $r>\frac{1}{l-\varepsilon }$, L'inégalité de gauche entraîne que $\vert a_n\vert r^n$ tend vers l'infini. Donc
   $$R\leqslant \frac{1}{l-\varepsilon }\;.$$
   Comme ceci est vrai pour tout $\varepsilon >0$, $R= 1/l$.

Exercice 1 :  

1. Il y a plusieurs manières de procéder. La plus simple consiste à écrire la limite du rapport de deux termes successifs.
   $$\lim_{n\to+\infty} \frac{1}{1}= \lim_{n\to+\infty} \frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}=1\;.$$
   Les sommes suivantes sont des résultats du cours.
   $$S_1(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} x^n=\frac{1}{1-x}$$   et$$\quad S_2(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n}=-\ln(1-x)\;.$$

2. D'après le cours, la série produit $(\sum a_n z^n)(\sum b_n z^n)$ a un rayon de convergence au moins égal au plus petit des deux rayons de convergence de $\sum a_n z^n$ et $\sum b_n z^n$, et son coefficient d'ordre $z$ est :
   $$c_n = \sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}$$
   Si on applique le résultat à $a_n=1$ et $b_n=\frac{1}{n}$ pour $n>1$, on obtient
   $$c_n = 1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\;,$$
   et le rayon de convergence de $\sum c_n z^n$, est $\geqslant 1$. Mais comme $c_n\geqslant 1$, il est aussi $\leqslant 1$. Donc il est égal à $1$. Pour tout $x\in ]-1,1[$,
   $$\sum_{n=1}^{+\infty} c_n x^n = S_1(x)S_2(x) = -\frac{\ln(1-x)}{1-x}\;.$$

3. On observe que $c_{n+1}=c_n+\frac{1}{n+1}$. Donc
   $$\frac{c_{n+1}}{c_n}=1+\frac{1}{(n+1)c_n}$$
   Comme $c_n\geqslant 1$, le rapport $\frac{c_{n+1}}{c_n}$ tend vers $1$. Donc le rayon de convergence de $\sum c_n z^n$ est $\frac{1}{1}=1$.
4. Pour tout $x\in ]-1,1[$,
   $$xf(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} c_n x^{n+1} = \sum_{m=2}^{+\infty}c_{m-1} x^m\;.$$
   Donc
   

   $$f(x)-xf(x) = \displaystyle{1+\sum_{n=2}^{+\infty} (c_n-c_{n-1}) x^n}$$

   $$= \displaystyle{ 1+\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n} x^n}$$

   $$= \displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n} x^n}$$

   $$= \displaystyle{ S_2(x)=-\ln(1-x)\;.}$$

   
   L'équation $f(x)-xf(x)=(1-x)f(x)=-\ln(1-x)$, redonne le résultat de la question 2.
5. Par le résultat déjà rappelé, le produit de séries $(\sum a_n z^n)(\sum z^n)$ a un rayon de convergence au moins égal à $\min\{R_a,1\}$, et son terme général est
   $$\sum_{k=0}^n a_k\times 1=a_0+\cdots+a_n=b_n\;.$$

6. Si la suite de termes positifs $(a_n)$ tend vers 0, elle est bornée. Donc par définition du rayon de convergence, $R_a\geqslant 1$. Si $R_a$ était strictement supérieur à $1$, alors la série $\sum a_n z^n$ convergerait pour $z=1$, ce qui n'est pas le cas. Donc $R_a=1$. Calculons $\frac{b_{n+1}}{b_n}$ :
   $$\frac{b_{n+1}}{b_n} = 1+\frac{a_{n+1}}{b_n}\;.$$
   Or $a_{n+1}$ tend vers 0 et $b_n\geqslant a_0$, donc $\frac{b_{n+1}}{b_n}$ tend vers $1$. Donc $R_b=1$.
7. Pour tout $x\in ]-1,1[$, posons
   $$g(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} b_n x^n\;,$$
   donc
   $$xg(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} b_n x^{n+1} = \sum_{m=1}^{+\infty}b_{m-1} x^m\;.$$
   Donc
   

   $$g(x)-xg(x) = \displaystyle{a_0+\sum_{n=1}^{+\infty} (b_n-b_{n-1}) x^n}$$

   $$= \displaystyle{ a_0+\sum_{n=1}^{+\infty} a_n x^n}$$

   $$= \displaystyle{ \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n}$$

   $$= f(x)\;.$$

   
   L'équation $g(x)-xg(x)=f(x)$ entraîne
   $$\sum_{n=0}^{+\infty} b_n x^n = g(x) = \frac{f(x)}{1-x}\;.$$

Exercice 2 :  

1. Comme pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $a_n\geqslant 0$, l'équation de récurrence donne $na_n \geqslant n(n-1)$, d'où $a_n\geqslant n-1$. Nous montrons la majoration par récurrence. Supposons qu'elle soit vraie pour $k\leqslant n-1$.
   

   $$a_n \leqslant \displaystyle{ (n-1) +\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1} k^2-k}$$

   $$= \displaystyle{ (n-1)+\frac{1}{n}\left(\frac{n(n-1)(2n-1)}{6}-\frac{n(n-1)}{2}\right)}$$

   $$= \displaystyle{ \frac{n-1}{2}\left(1+\frac{2n-1}{3}\right)}$$

   $$\leqslant \displaystyle{ \frac{n(n-1)}{2}\;.}$$

   
   (Pour un algorithme de tri, la majoration correspond cas le pire, celui où toutes les comparaisons possibles sont effectuées).

   En prenant la limite du rapport de deux termes successifs, on vérifie que les deux séries $\sum (n-1) z^n$ et $\sum \frac{n(n-1)}{2} z^n$ ont pour rayon de convergence $1$. Par le théorème de comparaison des séries, la série $\sum a_n z^n$ a aussi pour rayon de convergence $1$.

2. La série $\sum n(n-1) x^{n-2}$ est la dérivée seconde de la série géométrique. Pour tout $x\in ]-1,1[$,
   $$\sum_{n=2}^{+\infty} n(n-1) x^{n-2} = \left(\frac{1}{1-x}\right)'' = \frac{2}{(1-x)^3}\;.$$
   Par conséquent :
   $$\sum_{n=1}^{+\infty} n(n-1) x^{n} = x^2\sum_{n=1}^{+\infty} n(n-1) x^{n} = \frac{2x^2}{(1-x)^3}\;.$$

3. Le raisonnement a déjà été effectué dans l'exercice précédent. Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, posons
   $$b_n=a_1+\cdots+a_n=\sum_{k=1}^{n-1} a_k\;.$$
   Comme $b_n\geqslant a_n$, le rayon de convergence de $\sum b_n z^n$ est inférieur ou égal à $1$. La majoration de la question $1$ montre que $b_n< \frac{n^2(n-1)}{2}$, ce qui entraîne que le rayon de convergence de $\sum b_n z^n$ est égal à $1$.

   Pour tout $x\in ]-1,1[$, posons

   $$g(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} b_n x^n\;,$$
   donc
   $$xg(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} b_n x^{n+1} = \sum_{m=2}^{+\infty}b_{m-1} x^m\;.$$
   Donc
   

   $$g(x)-xg(x) = \displaystyle{a_0+\sum_{n=2}^{+\infty} (b_n-b_{n-1}) x^n}$$

   $$= \displaystyle{ a_0+\sum_{n=2}^{+\infty} a_n x^n}$$

   $$= \displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty} a_n x^n}$$

   $$= f(x)\;.$$

   
   L'équation $g(x)-xg(x)=f(x)$ entraîne
   $$\sum_{n=1}^{+\infty} b_n x^n = g(x) = \frac{f(x)}{1-x}\;,$$
   donc
   $$\sum_{n=1}^{+\infty} b_n x^{n+1} = g(x) = \frac{xf(x)}{1-x}\;,$$

4. La série $\sum na_n z^{n-1}$ est la dérivée de la série $\sum a_n z^n$. Donc pour tout $x\in ]-1,1[$ :
   $$\sum_{n=1}^{+\infty} na_n x^n =x\sum_{n=1}^{+\infty} na_n x^{n-1}=xf'(x)\;.$$
   En multipliant l'équation de récurrence par $z^n$ et en sommant, on obtient :
   $$\sum_{n=1}^{+\infty} na_n x^n = \sum_{n=1}^{+\infty} n(n-1) x^{n} + \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\sum_{k=1}^{n-1} a_k\right) x^n\;.$$
   D'après ce qui précède, ceci entraîne pour tout $x\in ]-1,1[$ :
   $$xf'(x) = \frac{2x^2}{(1-x)^3} +\frac{2xf(x)}{1-x}\;.$$
   D'où l'équation différentielle cherchée.
5. Si
   $$y(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} b_n x^n\;,$$
   alors,
   $$y'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} nb_n x^{n-1}=\sum_{n=0}^{+\infty} (n+1)b_{n+1} x^n\;,$$
   et
   $$(1-x)y'(x)= \left(\sum_{n=0}^{+\infty} (n+1)b_{n+1} x^n\right)- ... ...\infty} nb_{n} x^{n}\right) =\sum_{n=0}^{+\infty} ((n+1)b_{n+1}-nb_n) x^n\;.$$
   L'égalité des développements en série de $(1-x)y'(x)$ et de $2y(x)$ entraîne que, pour tout $n\in\mathbb{N}$,
   $$(n+1)b_{n+1}-nb_n = 2b_n\;\Longleftrightarrow (n+1)b_{n+1}-(n+2)b_n = 0\;.$$

6. De l'équation précédente, on déduit par récurrence que pour tout $n\geqslant 1$, $b_n=(n+1)b_0$. La série $\sum (n+1) z^n$ est dérivée de la série géométrique et a pour rayon de convergence $1$. On en déduit que pour tout $x\in ]-1,1[$,
   $$y(x) = b_0 \sum_{n=0}^{+\infty} (n+1) x^n = \frac{b_0}{(1-x)^2}\;.$$

7. On pourrait effectuer une vérification à la main, mais ayant la solution de l'équation homogène (H), il est aussi simple d'utiliser la méthode de variation de la constante :
   $$y(x) = \frac{K(x)}{(1-x)^2}$$   et$$\quad y'(x) = \frac{K'(x)}{(1-x)^2}+\frac{2K(x)}{(1-x)^3}\;.$$
   En identifiant les deux membres de l'équation :
   $$K'(x) = \frac{2x}{1-x} = 2\left(-1+\frac{1}{1-x}\right)\;.$$
   Donc :
   $$K(x) = 2(-x+\ln(1-x)+k)$$   et$$\quad y(x) = \frac{2}{(1-x)^2}\Big(-x-\ln(1-x)+k\Big)\;.$$
   La condition $y(0)=0$ conduit bien à la solution annoncée.
8. Il ne reste plus qu'à développer en série entière la fonction de la question précédente. On effectue pour cela le produit des deux séries :
   $$\frac{2}{(1-x)^2} = \sum_{n=0}^{+\infty} 2(n+1) x^n$$   et$$\quad -x-\ln(1-x)=\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n} x^n\;.$$
   Le terme en $x^n$ du produit est nul pour $n=0$ et $n=1$, et pour $n\geqslant 2$,
   

   $$a_n = \displaystyle{\sum_{k=2}^{n} \frac{2(n-k+1)}{k}}$$

   $$= \displaystyle{ 2(n+1)\left(\frac{1}{2}+ \cdots+\frac{1}{n}\right)-2(n-1)}$$

   $$= \displaystyle{ 2(n+1)\left(1+\frac{1}{2}+ \cdots+\frac{1}{n}\right)-4n\;.}$$