QCM

Donnez-vous une heure pour répondre à ce questionnaire. Les 10 questions sont indépendantes. Pour chaque question 5 affirmations sont proposées, parmi lesquelles 2 sont vraies et 3 sont fausses. Pour chaque question, cochez les 2 affirmations que vous pensez vraies. Chaque question pour laquelle les 2 affirmations vraies sont cochées rapporte 2 points.

Question 1   Soit $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de complexes. Soit $r$ un réel strictement positif.

Si $\sum a_n r^n$ converge, alors $\sum a_nz^n$ converge, pour tout $z$ tel que $\vert z\vert=r$.

Si $\sum a_n r^n$ converge, alors $\sum a_nz^n$ converge, pour tout $z$ tel que $\vert z\vert<r$.

Si $(a_n r^n)$ est bornée, alors $\sum a_nz^n$ diverge, pour tout $z$ tel que $\vert z\vert\geqslant r$.

Si $\sum a_n r^n$ converge absolument, alors $\sum a_nz^n$ converge, pour tout $z$ tel que $\vert z\vert\leqslant r$.

Si $(\vert a_n\vert r^n)$ est bornée, alors $\sum a_nz^n$ converge, pour tout $z$ tel que $\vert z\vert<r$.

Question 2   Soit $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de complexes. On note $R$ le rayon de convergence de la série $\sum a_nz^n$. Soit $z$ un complexe.

Si $\sum a_nz^n$ converge, alors $R\geqslant \vert z\vert$.

Si $R>\vert z\vert$ alors $\sum a_nz^n$ converge absolument.

Si $\sum a_nz^n$ converge et $\sum \vert a_n z^n\vert$ diverge, alors $R<\vert z\vert$.

Si $\sum \vert a_n z^n\vert$ converge, alors $R>\vert z\vert$.

Si $\vert z\vert=R$ alors $(\vert a_n z^n\vert)$ est bornée.

Question 3   Soit $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de complexes. On note $R$ le rayon de convergence de la série $\sum a_nz^n$.

Le rayon de convergence de la série $\sum n^2 a_n z^n$ est $R/2$.

Le rayon de convergence de la série $\sum 2^n a_n z^n$ est $R/2$.

Le rayon de convergence de la série $\sum a^2_n z^n$ est $R/2$.

Le rayon de convergence de la série $\sum a_n z^{2n}$ est $\sqrt{R}$.

Le rayon de convergence de la série $\sum n^2 a^2_n z^{2n}$ est $R^2$.

Question 4   Soient $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ deux suites de complexes. On note $R_a$ et $R_b$ leurs rayons de convergence respectifs.

Le rayon de convergence de $\sum (a_n+b_n) z^n$ est $R_a+R_b$

Le rayon de convergence de $\sum (a_n+b_n) z^n$ est au moins égal à $\min\{R_a,R_b\}$.

Le rayon de convergence de $\sum (a_nb_n) z^n$ est au plus égal à $\min\{R_a,R_b\}$.

Le rayon de convergence de $\sum (a_nb_n) z^n$ est au moins égal à $\max\{R_a,R_b\}$.

Le rayon de convergence de $\sum (a_nb_n) z^n$ est au moins égal à $R_aR_b$.

Question 5    

Le rayon de convergence de la série $\sum \frac{2n}{3^n} z^n$ est $\frac{3}{2}$.

Le rayon de convergence de la série $\sum \frac{2^n}{3n} z^n$ est $\frac{1}{2}$.

Le rayon de convergence de la série $\sum (2^{-n}-3^n)z^n$ est $2$.

Le rayon de convergence de la série $\sum (2^n)(3^{-n}) z^n$ est $\frac{3}{2}$.

Le rayon de convergence de la série $\sum (2n+3^n) z^n$ est $1$.

Question 6  

Le rayon de convergence de la série $\sum (2n)^n z^n$ est $\frac{1}{2}$.

Le rayon de convergence de la série $\sum \frac{n!}{(2n)!} z^n$ est $2$.

Le rayon de convergence de la série $\sum \frac{(n!)^2}{(2n)!} z^n$ est $4$.

Le rayon de convergence de la série $\sum \frac{(2n)^2}{n!} z^n$ est $\frac{1}{4}$.

Le rayon de convergence de la série $\sum \frac{2^n}{(2n)!} z^n$ est infini.

Question 7   Soit $f$ une application.

Si $f$ est développable en série entière sur $]\!-\!R,R [$, alors $z\mapsto f(3z)$ est développable en série entière sur $]\!-\!R,R [$.

Si $f$ est développable en série entière sur $]\!-\!R,R [$, alors $z\mapsto f(z-1)$ est développable en série entière sur $]\!-\!R-1,R-1 [$.

Si $f$ est indéfiniment dérivable au voisinage de 0 alors il existe $R$ tel que $f$ est développable en série entière sur $]\!-\!R,R [$.

Si $f$ est développable en série entière sur $]\!-\!R,R [$, alors $f$ est indéfiniment dérivable sur $]\!-\!R,R [$.

Si $f$ est développable en série entière sur $]\!-\!R,R [$, alors $f^2$ est développable en série entière sur $]\!-\!R,R [$.

Question 8    

$${\forall z\in ]-1,2[\;,\quad \frac{1}{z+1}+\frac{1}{z-2} = \sum_{n=0}^{+\infty} ((-1)^n +2^{n+1}) z^n}$$

$${\forall z\in ]-2,2[\;,\quad \frac{1}{z-2} = \sum_{n=0}^{+\infty} (\frac{1}{2^{n}} z^n}$$

$${\forall z\in ]-2,2[\;,\quad \frac{1}{z+2} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(-2)^{n+1}} z^n}$$

$${\forall z\in ]-\frac{1}{2},\frac{1}{2}[\;,\quad \frac{1}{2z-1} = \sum_{n=0}^{+\infty} -2^{n+1} z^n}$$

$${\forall z\in ]-\frac{1}{2},\frac{1}{2}[\;,\quad \frac{1}{2z+1} = \sum_{n=0}^{+\infty} -(-2)^{n+1} z^n}$$

Question 9    

$${\forall z\in \mathbb{R}\;,\quad \sinh(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}}$$

$${\forall z\in \mathbb{R}\;,\quad \ln(z-1) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{z^{n}}{n}}$$

$${\forall z\in ]-1,1[\;,\quad \arctan(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^nz^{2n+1}}{2n+1}}$$

$${\forall z\in \mathbb{R}\;,\quad \cos(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^{2n}}{(2n)!}}$$

$${\forall z\in \mathbb{R}\;,\quad \tanh(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^{2n+1}}{2n+1}}$$

Question 10    

$${ \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{n-1}{n!} z^n = z\mathrm{e}^z }$$

$${ \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{(n-1)!} z^n = \mathrm{e}^z-z }$$

$${ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n-2}{n!} z^n = z\mathrm{e}^z+z }$$

$${ \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{(n-1)!} z^n = z\mathrm{e}^z-z }$$

$${ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n+1}{n!} z^n = (z+1)\mathrm{e}^z }$$