Exercices

Exercice 1   Trouver le rayon de convergence de la série entière $\sum a_n z^n$ dans les cas suivants.

$$\forall n\in \mathbb{N} ,\; a_n=n \quad\;\quad \forall n\in \mat... ...,,\; a_n=\frac{1}{n} \quad;\quad \forall n\in \mathbb{N}^* ,\; a_n=\ln(n) \;;$$

$$\forall n\in \mathbb{N} ,\; a_n=\mathrm{e}^{n^{\frac{1}{3}}} \qu... ...uad \forall n\in \mathbb{N} ,\; a_n=n^{\frac{1}{n}}-(n+1)^{\frac{1}{n+1}} \;.$$

Exercice 2   Soit $k$ un entier strictement positif. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on pose $${a_n = \binom{nk}{n}}$$.

1. Calculer la limite de $${\frac{a_{n+1}}{a_n}}$$. En déduire le rayon de convergence de la série entière $\sum a_n z^n$.
2. En admettant la formule de Stirling :
   $$n! \;\mathop{\sim}_\infty \left(\frac{n}{\mathrm{e}}\right)^n \sqrt{2\pi n}\;,$$
   calculer la limite de $\sqrt[n]{a_n}$ et retrouver le résultat de la question précédente.

Exercice 3   Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum a_n z^n$ dans les cas suivants.

$$a_n = \left\{\begin{array}{ll} n&\mbox{si $n$ est pair}\\ 0&\mbo... ...2^n&\mbox{si $\sqrt{n}\in\mathbb{N}$}\\ 0&\mbox{sinon} \end{array}\right. \;;$$

$$a_n = \left\{\begin{array}{ll} n!&\mbox{si $\sqrt{n}\in\mathbb{N}... ... $\exists k\in\mathbb{N} ,\; n=2^k$}\\ 0&\mbox{sinon} \end{array}\right. \;;$$

$$a_n = \left\{\begin{array}{ll} n!&\mbox{si $\exists k\in\mathbb{N... ... $\exists k\in\mathbb{N} ,\; n=k^3$}\\ 0&\mbox{sinon} \end{array}\right. \;.$$

Exercice 4    

1. Montrer que les séries entières $\sum n z^n$, $\sum n(n-1) z^n$ et $\sum n^2 z^n$ ont pour rayon de convergence $1$.
2. Pour tout $x\in ]-1,1[$, calculer la somme des séries
   $$\sum_{n=0}^{+\infty} n x^n \quad;\quad \sum_{n=0}^{+\infty} n(n-1) x^n \quad;\quad \sum_{n=0}^{+\infty} n^2 x^n \;.$$

Exercice 5    

1. Montrer que la série entière $${\sum \frac{1}{n} z^n}$$ a pour rayon de convergence $1$.
2. Calculer $${\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n} z^n}$$.
3. Calculer le rayon de convergence et la somme des séries entières
   $$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n+2} \quad;\quad \sum_{n=0}^{+\i... ... \frac{x^n}{2n+1} \quad;\quad \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2n+3}{2n+1} x^n\;.$$

4. Montrer que la série $${\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^2}{n} \mathrm{e}^{-nx}}$$ converge pour tout $x\in \mathbb{R}^+$ et calculer sa somme.
5. Déterminer l'ensemble des complexes $z\in\mathbb{C}$ tels que la série $${\sum \frac{z^2}{n} \mathrm{e}^{-nz}}$$ converge.

Exercice 6   Soient $\sum a_n z^n$ et $\sum b_n z^n$ deux séries entières de rayon de convergence respectifs $R_a$ et $R_b$. Soit $R$ le rayon de convergence de la série somme $\sum (a_n +b_n) z^n$.

1. Démontrer que $R\geqslant \min\{R_a,R_b\}$.
2. On suppose $R_a\neq R_b$. Démontrer que $R\geqslant \min\{R_a,R_b\}$.
3. Déterminer $R_a$, $R_b$ et $R$ dans les cas suivants.
   $$\forall n\in\mathbb{N} ,\; a_n=1 ,\; b_n = \frac{1}{2^n}-1 \qu... ...n\mathbb{N} ,\; a_n=\frac{1}{2^n} ,\; b_n = \frac{1}{2^n}-\frac{1}{3^n} \;;$$
   $$\forall n\in\mathbb{N} ,\; a_n=n! ,\; b_n = n!-1 \quad;\quad \forall n\in\mathbb{N} ,\; a_n=n! ,\; b_n = (n-1)! \;.$$

Exercice 7    

1. Démontrer que, pour tout $x\in]1,1[$ et pour tout $k\in\mathbb{N}$,
   $$\left(\frac{1}{1-x}\right)^k = \sum_{k=0}^{+\infty} \binom{n+k}{k-1} x^n\;.$$
   Pour établir une formule de récurrence, on pourra soit dériver les deux membres, soit effectuer le produit par ${\displaystyle \frac{1}{1-x}}$.
2. Calculer les sommes des séries suivantes.
   $$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n}{2^n} \quad;\quad \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n^2}{2^n} \quad;\quad \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n^2-3n+2}{2^n} \;.$$

Exercice 8   Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(0)=0$ et pour tout $x\neq 0$, $g(x)=\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^2}}$.

1. Démontrer par récurrence que pour tout $x\neq 0$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$, la dérivée $n$-ième de $g$ en $x$ peut s'écrire
   $$g^{(n)}(x) = \frac{P_n(x)}{x^{3n}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{x^2}}\;,$$
   où $P_n$ est un polynôme en $x$.
2. Démontrer que pour tout $n$ la dérivée $n$-ième de $g$ en 0 est nulle.
3. Déduire de ce qui précède que $g$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$.
4. La fonction $g$ est-elle développable en série entière au voisinage de 0 ?
5. Soit $f$ une fonction développable en série entière au voisinage de 0. Montrer que les fonctions $x\mapsto f(x)+g(x)$ $x\mapsto f(x)+xg(x)$, $x\mapsto f(x)+g'(x)$ ne sont pas développables en série entière au voisinage de 0.

Exercice 9   Soit $\alpha \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}$ un réel non entier.

1. Montrer que pour tout $x\in ]-1,1[$ :
   $$(1+x)^\alpha = 1+\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!} x^n\;.$$

2. En déduire que
   $$\frac{1}{\sqrt{1+x}} = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2} x^n\;.$$

3. En déduire que
   $$\arcsin(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\;.$$
   et
   $$\arccos(x) =\frac{\pi}{2}- \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\;.$$

Exercice 10   Retrouver les développements en série entière suivants

$$\displaystyle{ \frac{z^2}{z-4}} = \displaystyle{ -\frac{z^2}{4}-\frac{z^3}{16}-\cdots-\frac{z^n}{4^{n-1}}-\cdots }$$

$$\displaystyle{ \frac{z^2}{z^2-4}} = \displaystyle{ -\frac{z^2}{4}-\frac{z^4}{16}-\cdots-\frac{z^{2n}}{4^{n}}-\cdots }$$

$$\displaystyle{ \frac{z^2}{z^2+4}} = \displaystyle{ \frac{z^2}{4}-\frac{z^4}{16}+\cdots+\frac{(-1)^{n+1}z^{2n}}{4^{n}}+\cdots }$$

$$\displaystyle{ \frac{z}{2z^2-3z+1}} = \displaystyle{ z+3 z^2+\cdots+(-1+2^n) z^n+\cdots }$$

$$\displaystyle{ \frac{z^3+1}{z^2+z-2}} = \displaystyle{ -\frac{1}{2}-\frac{z}{4}-\frac{3z^2}{8}+\cdots+ \left(-\frac{2}{3}-\frac{7}{3}(-2)^{-n-1}\right) z^n+\cdots }$$

Exercice 11   Calculer les développements en série entière des fonctions qui à $z$ asssocient $\cos^2(z)$, $\sin^2(z)$, $\sin(z)\cos(z)$, $\cosh^2(z)$, $\sinh^2(z)$, $\sinh(z)\cosh(z)$, et vérifier à partir de ces développements en série les formules trigonométriques suivantes.

$$\begin{array}{ll} \cos^2(z)+\sin^2(z)=1& \cosh^2(z)-\sinh^2(... ...2z)=2\sin(z)\cos(z)& \sinh(2z)=2\sinh(z)\cosh(z)\\ \end{array}$$

Exercice 12   Utiliser les séries entières pour résoudre les équations de récurrence suivantes.

$$\left\{ \begin{array}{l} a_{n+1} = a_n+1\\ a_0=0 \end{array}\right. \quad\mbox{ solution : } a_n=n$$

$$\left\{ \begin{array}{l} a_{n+1} = 2a_n\\ a_0=1 \end{array}\right. \quad\mbox{ solution : } a_n=2^n$$

$$\left\{ \begin{array}{l} a_{n+1} = 2a_n+3\\ a_0=2 \end{array}\right. \quad\mbox{ solution : } a_n= -3+5 2^n$$

Exercice 13   Trouver une fonction $f$ développable en série entière en 0 sur $]-1,1[$, solution de l'équation différentielle

$$x^2 y''+4x y' +2y = \ln(1+x)\;.$$

Solution : $f(0)=0$ et pour tout $x$ tel que $\vert x\vert\in]0,1[$ :

$$f(x) = \frac{(x+1)^2}{2x^2}\ln(1+x)-\frac{1}{2x}-\frac{3}{4}\;.$$

Exercice 14   Soit $\alpha$ un réel et $f$ l'application définie sur $]-1,1[$ par :

$$f(t)=\cos(\alpha \arcsin(t))\;.$$

1. Calculer $f'$ et $f''$. En déduire une équation différentielle linéaire du second ordre vérifiée par $f$.
2. Chercher l'ensemble des solutions $y$ développables en série entière sur $]1,1[$, solution de l'équation de la question précédente.
3. En déduire que $f$ est développable en série entière sur $]-1,1[$ et donner son développement.

Exercice 15    

1. Pour tout entier $n$, démontrer le résultat suivant (intégrale de Wallis) :
   $$I_{2n} = \int_0^{\pi} \sin^{2n}(x) \mathrm{d}x = \frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2} \frac{\pi}{2}\;.$$
   En utilisant la relation $\sin^{2n}(x)=\sin^{2n-2}(x)(1-\cos^2(x))$ puis une intégration par parties, on pourra établir la relation de récurrence $nW_{2n}=(n-1)W_{2n-2}$.
2. Justifier que pour tout $u\in]-1,1[$,
   $$\frac{1}{\sqrt{1-u}} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{4^{n}}\binom{2n}{n} u^n\;.$$

3. Pour tout $x\in ]-1,1[$, on pose
   $$f(x) = \int_0^\pi \frac{1}{\sqrt{1-x^2\sin^2(t)}} \mathrm{d}t\;.$$
   Montrer que $f$ est développable en série entière sur $]-1,1[$ et donner son développement.

Exercice 16   Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on pose

$$a_n = \binom{2n}{n}\;.$$

1. Montrer que le rayon de convergence de la série $\sum a_n z^n$ est $${\frac{1}{4}}$$.
2. Pour tout $f\in ]-\frac{1}{4},\frac{1}{4}[$, on pose
   $$f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n\;.$$
   Montrer que $f$ est solution de l'équation différentielle
   $$x(4-x) f'(x)-(x+2)f(x)=-2\;.$$