Vrai ou faux

Vrai-Faux 1 Soit $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de complexes. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

$\boxtimes\;$ Si est le rayon de convergence de la série $\sum a_n z^n$ , alors la suite $(\vert a_n\vert r^n)$ tend vers 0, pour tout .
$\square\;$ Si est le rayon de convergence de la série $\sum a_n z^n$ , alors la suite $(\vert a_n\vert R^n)$ est bornée.
$\square\;$ Si $\sum a_n z^n$ converge, alors son rayon de convergence est le module de .
$\boxtimes\;$ Si $\sum a_n z^n$ converge mais n'est pas absolument convergente, alors son rayon de convergence est le module de .
$\boxtimes\;$ Si $\sum a_n z^n$ converge alors son rayon de convergence est supérieur ou égal au module de .
$\square\;$ Si $\sum a_n z^n$ diverge alors son rayon de convergence est strictement inférieur au module de .
$\square\;$ Si le rayon de convergence de $\sum a_n z^n$ est et si $\vert z\vert>R$ , alors la suite $(\vert a_n z^n\vert)$ tend vers $+\infty$ .
$\boxtimes\;$ Les rayons de convergence de $\sum a_n z^n$ et de $\sum n^{4}a_n z^n$ sont égaux.
$\square\;$ Si le rayon de convergence de $\sum a_n z^n$ est , alors le rayon de convergence de $\sum n^{-4}a_n z^n$ est strictement supérieur à .
$\boxtimes\;$ Si la suite $(\vert a_n\vert)$ ne prend qu'un nombre fini de valeurs non nulles, alors le rayon de convergence de $\sum a_n z^n$ est $+\infty$ .
$\square\;$ Si le rayon de convergence de $\sum a_n z^n$ est , alors le rayon de convergence de $\sum a_n (2z)^n$ est .
$\square\;$ Si le rayon de convergence de $\sum a_n z^n$ est , alors le rayon de convergence de $\sum n a_n (2z)^n$ est strictement inférieur à .
$\boxtimes\;$ Si le rayon de convergence de $\sum a_n z^n$ est , alors le rayon de convergence de $\sum a_n z^{2n}$ est $\sqrt{R}$ .
$\square\;$ Si le rayon de convergence de $\sum a_n z^n$ est , et si $a_n\neq 0$ pour tout , alors le rayon de convergence de $\sum \frac{1}{a_n} z^{n}$ est $\frac{1}{R}$ .
$\boxtimes\;$ Les séries $\sum a_n z^n$ et $\sum (-1)^na_n z^n$ ont le même rayon de convergence.
$\square\;$ Pour tout $z\in\mathbb{C}$ , la série $\sum (-1)^na_n z^n$ converge si et seulement si la série $\sum a_n z^n$ converge.
$\square\;$ Si la série $\sum a_n z^n$ a un rayon de convergence infini, alors elle converge uniformément sur $\mathbb{R}$ .

Vrai-Faux 2 Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

$\boxtimes\;$ Le rayon de convergence de $\sum(2^n+3^n) z^n$ est $\frac{1}{3}$ .
$\square\;$ Le rayon de convergence de $\sum\frac{2^n-3^n}{5^n} z^n$ est $\frac{2}{5}$ .
$\boxtimes\;$ Le rayon de convergence de $\sum\frac{(2n)!}{(n!)^2} z^n$ est $\frac{1}{4}$ .
$\square\;$ Le rayon de convergence de $\sum(n!-n^n) z^n$ est .
$\boxtimes\;$ Le rayon de convergence de $\sum n^n z^n$ est 0.
$\boxtimes\;$ Le rayon de convergence de $\sum \frac{n^n}{n!} z^n$ est $\exp(-1)$ .
$\boxtimes\;$ Le rayon de convergence de $\sum z^{2n}$ est .
$\square\;$ Le rayon de convergence de $\sum z^{2^n}$ est $+\infty$ .

Vrai-Faux 3 Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

$\square\;$ Si est développable en série entière sur $]\!-\!R,R [$ , alors $z\mapsto f(2z)$ est développable en série entière sur $]\!-\!R,R [$ .
$\boxtimes\;$ Si est développable en série entière sur $]\!-\!R,R [$ , alors $z\mapsto f(z^2)$ est développable en série entière sur $]\!-\!\sqrt{R},\sqrt{R} [$ .
$\square\;$ Si est développable en série entière sur $]\!-\!R,R [$ , alors $z\mapsto f(1-z)$ est développable en série entière sur $]\!-\!R,R [$ .
$\square\;$ Si est indéfiniment dérivable au voisinage de 0 alors il existe tel que est développable en série entière sur $]\!-\!R,R [$ .
$\boxtimes\;$ Si est développable en série entière sur $]\!-\!R,R [$ , alors est indéfiniment dérivable sur $]\!-\!R,R [$ .
$\boxtimes\;$ Si est indéfiniment dérivable, de dérivées successives bornées au voisinage de 0 alors il existe tel que est développable en série entière sur $]\!-\!R,R [$ .
$\boxtimes\;$ Si est développable en série entière sur $]\!-\!R,R [$ , et si $f(0)\neq 0$ , alors est développable en série entière sur un intervalle contenant 0.
$\boxtimes\;$ La fonction $\tan$ est développable en série entière sur un intervalle contenant 0.
$\boxtimes\;$ Si est une fonction paire, et si $\sum a_n z^n$ est son développement en série entière, alors pour tout $k\in\mathbb{N}$ $a_{2k+1}=0$ .
$\square\;$ Si est une fonction croissante, et si $\sum a_n z^n$ est son développement en série entière, alors pour tout $n\in\mathbb{N}$ $a_{n}\geq 0$ .
$\boxtimes\;$ La fonction $z\mapsto \frac{1}{2-z}$ est développable en série entière sur $]\!-\!2,2 [$ .
$\square\;$ La fonction $z\mapsto \frac{1}{(2-z)(1-z)}$ est développable en série entière sur $]\!-\!2,2 [$ .
$\square\;$ Il existe tel que la fonction $z\mapsto \frac{1}{z(2-z)}$ est développable en série entière sur $]\!-\!R,R [$ .

Vrai-Faux 4 Parmi les égalités suivantes lesquelles sont correctes, lesquelles ne le sont pas et pourquoi ?

$\boxtimes\;$ $\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{n!} z^n = z\exp(z) }$
$\boxtimes\;$ $\displaystyle{ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n-1}{n!} z^n = (z-1)\exp(z) }$
$\square\;$ $\displaystyle{ \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{n-1}{n!} z^n = (z-1)\exp(z)-1 }$
$\square\;$ $\displaystyle{ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!(n+2)} z^n = (z-1)\exp(z) }$
$\square\;$ $\displaystyle{ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(n-1)(n-2)}{n!} z^n = (z^2-2z+1)\exp(z) }$
$\boxtimes\;$ $\displaystyle{ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n^3-6n^2+8n-1}{n!} z^n = (z-1)^3\exp(z) }$

Vrai-Faux 5 Parmi les égalités suivantes lesquelles sont correctes, lesquelles ne le sont pas et pourquoi ?

$\square\;$ $\displaystyle{ \frac{1}{2}-\frac{1}{4}z+\cdots+ \frac{(-1)^{n}z^{n}}{2^{n+1}}+\cdots = \frac{1}{1-z/2} }$
$\boxtimes\;$ $\displaystyle{ \frac{1}{2}-\frac{1}{4}z^2+\cdots+ \frac{(-1)^{n}z^{2n}}{2^{n+1}}+\cdots = \frac{1}{2+z^2} }$
$\square\;$ $\displaystyle{ z+6 z^2+\cdots+ 2^{n-1}(2^n-1) z^n+\cdots = \frac{2z}{(1-2z)(1-4z)} }$
$\square\;$ $\displaystyle{ 2 z+24 z^2+\cdots+ (2^n-1)(3^n-1) z^n+\cdots = \frac{2z-6z^3}{(1-z)(1-2z)(1-3z)(1-6z)} }$
$\boxtimes\;$ $\displaystyle{ (1+z^3+\cdots+z^{3n}+\cdots)- (z+z^4+\cdots+z^{3n+1}+\cdots) = \frac{1}{1+z+z^2} }$

Vrai-Faux 6 Parmi les égalités suivantes lesquelles sont correctes, lesquelles ne le sont pas et pourquoi ?

$\boxtimes\;$ $\displaystyle{ \frac{1-\cos(z)}{z^2} = \frac{1}{2}-\frac{z^2}{24}+\cdots+ \frac{(-1)^nz^{2n}}{(2(n+1))!}+\cdots }$
$\square\;$ $\displaystyle{ \sin(z)+\sinh(z) = z+\frac{z^5}{5!}+\cdots+ \frac{z^{4n+1}}{(4n+1)!}+\cdots }$
$\boxtimes\;$ $\displaystyle{ \arctan(z)-\frac{1}{z}\ln(1+z^2) = \frac{z^3}{6}+\cdots+ \frac{(-1)^n(n-1)}{n(2n-1)} z^{2n-1}+\cdots }$
$\square\;$ $\displaystyle{ \frac{1}{(\sqrt{1+2z})^3} = 1-3z+15 z^2+\cdots+ \frac{(-1)^n(2n)!}{n!} z^n+\cdots }$
$\boxtimes\;$ $\displaystyle{ \ln(1+z+z^2) = \left(z+\frac{z^2}{2}+\cdots+\frac{z^n}{n}+\cdots\right) -\left(z^3+\frac{z^6}{2}+\cdots+\frac{z^{3n}}{n}+\cdots\right) }$

Vrai-Faux 7 On considère la suite de réels , définie par , et pour tout $n\geq 0$ , $a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=1$ . On note la somme de la série de terme général . Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

$\square\;$
$\boxtimes\;$
$\boxtimes\;$ est une fraction rationnelle en
$\square\;$ La fraction rationnelle a pôles
$\square\;$ est solution de l'équation $\displaystyle{ z^2f(z)-3zf(z)+2f(z)=\frac{1}{1-z} }$
$\square\;$ $\displaystyle{ f(z)=\frac{1}{(1-z)^2(1-2z)} }$
$\boxtimes\;$ $\displaystyle{ f(z)=\frac{1}{1-2z}-\frac{1}{(1-z)^2} }$
$\square\;$ est développable en série entière sur $]\!-\!1,1 [$
$\boxtimes\;$ Le rayon de convergence de la série $\sum a_n z^n$ est $\frac{1}{2}$
$\square\;$ $f(z)=(1+2z+4z^2+\cdots+2^n z^n+\cdots)- (z+2 z^2+\cdots+n z^n+\cdots)$
$\boxtimes\;$ $f(z)=z^2+4 z^3+\cdots+(2^{n-1}-n) z^{n-1}+\cdots$
$\square\;$ Pour tout $n\geq 0$ , $a_n=2^{n-1}-n$
$\boxtimes\;$ Pour tout $n\geq 0$ , $a_n=2^{n}-(n+1)$