Noyaux

Une petite définition, à l'usage pratique pour prouver des injectivités. Pour le reste, une section courte sans guère de commentaires.

Définition 20 Soit un morphisme de groupes, allant d'un groupe vers un groupe , dont l'élément neutre est noté . Le noyau de est par définition l'ensemble des éléments de tels que .

Notation 9 Le noyau de est noté $\mathrm{Ker}(f)$ (parce que $\mathrm{Ker}$ est l'abréviation de l'allemand «Kern»).

Le fait suivant est presque évident, mais on ne peut s'interdire de le souligner.

Proposition 10 Le noyau d'un morphisme est un sous-groupe du groupe de départ.

Démonstration : Soit un morphisme d'un groupe noté de neutre noté vers un groupe noté de neutre noté .

On sait que donc $e\in\mathrm{Ker}(f)$ , qui n'est donc pas vide.

Soit et deux éléments de $\mathrm{Ker}(f)$ . On a alors $f(ab^{-1})=f(a)[f(b)]^{-1}=e'e'=e'$ , donc $ab^{-1}$ appartient à $\mathrm{Ker}(f)$ . $\square$

Proposition 11 Soit un morphisme de groupes, le neutre du groupe de départ étant noté . L'application est injective si et seulement si $\mathrm{Ker}(f)=\{ e\}$ .

Démonstration : Sans surprise, vérifions successivement les deux implications. On notera le neutre du groupe d'arrivée.

Preuve de l'implication directe.

Supposons injective. On sait déjà que , et donc que $\{ e \}\subset\mathrm{Ker}(f)$ . Réciproquement, si $a\in\mathrm{Ker}(f)$ , , et comme est injective, . D'où l'égalité $\{ e \}=\mathrm{Ker}(f)$ .

Preuve de l'implication réciproque.

Supposons que $\mathrm{Ker}(f)=\{ e\}$ . Soit et deux éléments du groupe de départ vérifiant . Alors $f(ab^{-1})=f(a)[f(b)]^{-1}=e'$ , donc $ab^{-1}\in\mathrm{Ker}(f)$ , donc $ab^{-1}=e$ , donc . Donc est injective. $\square$