Noyaux

Une petite définition, à l'usage pratique pour prouver des injectivités. Pour le reste, une section courte sans guère de commentaires.

Définition 20   Soit $f$ un morphisme de groupes, allant d'un groupe $G$ vers un groupe $G'$, dont l'élément neutre est noté $e'$. Le noyau de $f$ est par définition l'ensemble des éléments $x$ de $G$ tels que $f(x)=e'$.

Notation 9   Le noyau de $f$ est noté $\mathrm{Ker}(f)$ (parce que $\mathrm{Ker}$ est l'abréviation de l'allemand «Kern»).

Le fait suivant est presque évident, mais on ne peut s'interdire de le souligner.

Proposition 10   Le noyau d'un morphisme est un sous-groupe du groupe de départ.

Démonstration : Soit $f$ un morphisme d'un groupe noté $G$ de neutre noté $e$ vers un groupe noté $G'$ de neutre noté $e'$.

On sait que $f(e)=e'$ donc $e\in\mathrm{Ker}(f)$, qui n'est donc pas vide.

Soit $a$ et $b$ deux éléments de $\mathrm{Ker}(f)$. On a alors $f(ab^{-1})=f(a)[f(b)]^{-1}=e'e'=e'$, donc $ab^{-1}$ appartient à $\mathrm{Ker}(f)$.$\square$

Proposition 11   Soit $f$ un morphisme de groupes, le neutre du groupe de départ étant noté $e$. L'application $f$ est injective si et seulement si $\mathrm{Ker}(f)=\{ e\}$.

Démonstration : Sans surprise, vérifions successivement les deux implications. On notera $e'$ le neutre du groupe d'arrivée.

Preuve de l'implication directe.

Supposons $f$ injective. On sait déjà que $f(e)=e'$, et donc que $\{ e \}\subset\mathrm{Ker}(f)$. Réciproquement, si $a\in\mathrm{Ker}(f)$, $f(a)=f(e)=e'$, et comme $f$ est injective, $a=e$. D'où l'égalité $\{ e \}=\mathrm{Ker}(f)$.

Preuve de l'implication réciproque.

Supposons que $\mathrm{Ker}(f)=\{ e\}$. Soit $a$ et $b$ deux éléments du groupe de départ vérifiant $f(a)=f(b)$. Alors $f(ab^{-1})=f(a)[f(b)]^{-1}=e'$, donc $ab^{-1}\in\mathrm{Ker}(f)$, donc $ab^{-1}=e$, donc $a=b$. Donc $f$ est injective.$\square$