Noyaux

Une petite définition, à l'usage pratique pour prouver des injectivités. Pour le reste, une section courte sans guère de commentaires.

Définition 20   Soit $ f$ un morphisme de groupes, allant d'un groupe $ G$ vers un groupe $ G'$, dont l'élément neutre est noté $ e'$. Le noyau de $ f$ est par définition l'ensemble des éléments $ x$ de $ G$ tels que $ f(x)=e'$.

Notation 9   Le noyau de $ f$ est noté $ \mathrm{Ker}(f)$ (parce que $ \mathrm{Ker}$ est l'abréviation de l'allemand «Kern»).

Le fait suivant est presque évident, mais on ne peut s'interdire de le souligner.

Proposition 10   Le noyau d'un morphisme est un sous-groupe du groupe de départ.

Démonstration : Soit $ f$ un morphisme d'un groupe noté $ G$ de neutre noté $ e$ vers un groupe noté $ G'$ de neutre noté $ e'$.

On sait que $ f(e)=e'$ donc $ e\in\mathrm{Ker}(f)$, qui n'est donc pas vide.

Soit $ a$ et $ b$ deux éléments de $ \mathrm{Ker}(f)$. On a alors $ f(ab^{-1})=f(a)[f(b)]^{-1}=e'e'=e'$, donc $ ab^{-1}$ appartient à $ \mathrm{Ker}(f)$.$ \square$

Proposition 11   Soit $ f$ un morphisme de groupes, le neutre du groupe de départ étant noté $ e$. L'application $ f$ est injective si et seulement si $ \mathrm{Ker}(f)=\{ e\}$.

Démonstration : Sans surprise, vérifions successivement les deux implications. On notera $ e'$ le neutre du groupe d'arrivée.


Preuve de l'implication directe.

Supposons $ f$ injective. On sait déjà que $ f(e)=e'$, et donc que $ \{ e \}\subset\mathrm{Ker}(f)$. Réciproquement, si $ a\in\mathrm{Ker}(f)$, $ f(a)=f(e)=e'$, et comme $ f$ est injective, $ a=e$. D'où l'égalité $ \{ e \}=\mathrm{Ker}(f)$.


Preuve de l'implication réciproque.

Supposons que $ \mathrm{Ker}(f)=\{ e\}$. Soit $ a$ et $ b$ deux éléments du groupe de départ vérifiant $ f(a)=f(b)$. Alors $ f(ab^{-1})=f(a)[f(b)]^{-1}=e'$, donc $ ab^{-1}\in\mathrm{Ker}(f)$, donc $ ab^{-1}=e$, donc $ a=b$. Donc $ f$ est injective.$ \square$


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