Sous-groupes

Maintenant que nous connaissons ce que nous avons pompeusement appelé les exemples fondamentaux, il reste à apprendre à tirer de ces exemples trop fondamentaux pour être vraiment utiles des exemples plus concrets.

Définition 19 Soit un groupe. On dit qu'un sous-ensemble de est un sous-groupe de lorsque les trois conditions suivantes sont vérifiées :

(i) L'ensemble n'est pas vide.

(ii) Pour tous et de , le produit est aussi dans .

(iii) Pour tout de , l'inverse $a^{-1}$ de est aussi dans .

Avant de commenter ce que ça veut dire, donnons tout de suite une proposition très simple, et utile en pratique pour vérifier qu'un sous-ensemble d'un groupe est un sous-groupe.

Proposition 9 Soit un groupe. Un sous-ensemble de est un sous-groupe de si et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées :

(i) L'ensemble n'est pas vide.

(iv) Pour tous et de , le produit $ab^{-1}$ est aussi dans .

Démonstration : Supposons que

est un sous-groupe de

, c'est-à-dire qu'il vérifie (i), (ii) et (iii). Il est alors clair que (i) est vérifiée.

Montrons que

vérifie (iv). Soit

deux éléments de

. En appliquant (iii) à

, on constate que $b^{-1}$ est aussi dans

, puis en appliquant (ii) à

et $b^{-1}$ que le produit $ab^{-1}$ aussi. Cette partie de la preuve est déjà finie !

Supposons maintenant que

vérifie (i) et (iv). Vérifier (i) est bien sûr sans problème. Avant de montrer que

vérifie (ii) et (iii), montrons préalablement que

appartient à

, où

désigne l'élément neutre de

. En effet

n'étant pas vide, on peut prendre un élément

dans

, puis appliquer l'hypothèse (iv) à

pour conclure que $cc^{-1}=e$ appartient à

Montrons maintenant que

vérifie (iii). Soit

un élément de

. Puisqu'on sait maintenant que

aussi est dans

, on peut appliquer (iv) à

pour obtenir $ea^{-1}\in H$ , c'est-à-dire $a^{-1}\in H$ .

Montrons enfin que

vérifie (ii). Soit

deux éléments de

. Par la propriété (iii) appliquée à

, $b^{-1}\in H$ , puis par la propriété (iv) appliquée à

et $b^{-1}$ , $a(b^{-1})^{-1}\in H$ , c'est-à-dire $ab\in H$ . $\square$

Bien que le résultat qui suive soit très simple à démontrer, son importance lui fait mériter l'appellation de :

Démonstration : Il ne faut pas manquer de vérifier la possibilité de restreindre la loi de composition initiale, application de $G\times G$ vers

à une loi de composition sur

, c'est-à-dire une application de $H\times H$ vers

. Comme on veut restreindre non seulement l'ensemble de départ mais aussi l'ensemble d'arrivée, on est dans la situation où il faut spécialement prendre garde. Mais la propriété (ii) de la définition des «sous-groupes» assure précisément que la loi de composition de

envoie l'ensemble $H\times H$ dans

et que la restriction a donc bien un sens.

L'associativité de cette restriction est alors évidente. Dans la preuve de la proposition précédente, on a montré au passage que le neutre de

était élément de

. Il est alors évidemment neutre pour la loi de composition restreinte à

. Enfin la propriété (iii) garantit l'existence d'un symétrique pour chaque élément de

. $\square$

Voyons maintenant comment ce théorème permet de fabriquer plein de groupes nouveaux et intéressants.

Exemple 8 Soit le groupe des bijections strictement croissantes de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ , muni de la composition. Montrer que est un groupe.

(On rappellera, au cas où ce serait nécessaire, qu'une application est dite strictement croissante lorsque pour tous et , entraîne ).

La bonne idée est de montrer que est un sous-groupe du groupe ${\cal S}(\mathbb{R})$ . Lançons-nous.

La vérification de (i) est évidente : il est clair que l'application identique est une bijection strictement croissante de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$ .

Passons à (ii). Soit et deux bijections strictement croissantes de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$ . On sait déjà que $g\circ f$ est une bijection ; montrons qu'elle est strictement croissante. Soit et deux réels avec ; alors (croissance de ) puis (croissance de ). Ceci montre bien que $g\circ f$ est strictement croissante.

Vérifions enfin (iii). Soit une bijection strictement croissante de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ . Il est bien clair que $f^{-1}$ est bijective ; vérifions qu'elle est strictement croissante. Soit et deux réels avec . On ne peut avoir $f^{-1}(x)=f^{-1}(y)$ , car $f^{-1}$ est injective ; on ne peut avoir $f^{-1}(y)<f^{-1}(x)$ , car étant strictement croissante on en déduirait l'inégalité $f(f^{-1}(y))<f(f^{-1}(x))$ , qui est fausse. Par élimination on a donc bien $f^{{-1}}(x)<f^{{-1}}(y)$ .

Exemple 9 Soit un sous-ensemble de $\mathbb{R}^2$ et l'ensemble des isométries de $\mathbb{R}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ telles que . On montrerait par le même genre de méthode que est un groupe parce que c'est un sous-groupe de ${\cal S}(\mathbb{R}^2)$ . Dès que sera un peu trop patatoïdal, se réduira à $\{\mathrm{Id}_{\mathbb{R}^2}\}$ et sera donc peu intéressant, mais si possède des symétries raisonnables, par exemple si est un pentagone régulier, le groupe méritera notre attention.

Le théorème de Lagrange est un résultat simple et élégant, proposé ici surtout pour le plaisir de faire une démonstration agréable.

Démonstration : Elle repose sur l'introduction de la relation $\sim$ définie pour tous éléments

par :

Étape 1. Vérifions successivement les trois propriétés requises des relations d'équivalence.

Soit

un élément de

. Comme $aa^{-1}=e\in H$ , $a\sim a$ . La relation $\sim$ est donc réflexive.

Soit

deux éléments de

, avec $a\sim b$ , donc $ab^{-1}\in H$ . En prenant l'inverse, $\left(ab^{-1}\right)^{-1}\in H$ , c'est-à-dire $ba^{-1}\in H$ , soit $b\sim a$ : la relation $\sim$ est donc symétrique.

Soit

trois éléments de

, avec $a\sim b$ et $b\sim c$ . On a donc $ab^{-1}\in H$ et $bc^{-1}\in H$ . En multipliant entre eux ces deux éléments de

, on obtient que $(ab^{-1})(bc^{-1})$ appartient à

, c'est-à-dire $ac^{-1}\in H$ , soit $a\sim c$ . La relation $\sim$ est donc transitive.

Étape 2. Soit

un élément fixé de

. L'objectif est de montrer que sa classe d'équivalence $\mathfrak{cl}(a)$ possède le même nombre d'éléments que

. Pour ce faire, une bonne idée serait de montrer qu'il existe une bijection entre $\mathfrak{cl}(a)$ et

. Et pour montrer qu'une bijection existe, une bonne idée pourrait être d'en sortir une de sa manche (en mathématiques, on dit «exhiber»), et voir qu'elle convient !

Introduisons donc l'application $f \colon H\to \mathfrak{cl}(a)$ définie par : pour tout

Vérifions que

est une bijection. Soit

un élément de

tel que $b\in \mathfrak{cl}(a)$ . Cherchons les antécédents de

. Un élément

est antécédent de

par

si et seulement si

, c'est-à-dire si et seulement si $h=ba^{-1}$ . Il y a donc au plus un antécédent, à savoir $ba^{-1}$ , et comme en outre $b\sim a$ , l'élément $ba^{-1}$ est dans

et il y a exactement un antécédent.

Ceci montre que

est une bijection, et $\mathfrak{cl}(a)$ compte donc exactement autant d'éléments que

Étape 3. Il ne reste plus qu'à conclure. On dispose d'une relation d'équivalence $\sim$ , donc d'un ensemble-quotient $G/\!\sim$ , qui constitue une partition de

. Chacune des parties de

figurant dans cette partition possède exactement $\mathrm{card}(H)$ éléments ; le nombre total d'éléments de

est donc égal au produit de $\mathrm{card}(H)$ par le nombre de parties de

figurant dans la partition $G/\!\sim$ et est en particulier un multiple de $\mathrm{card}(H)$ . $\square$