Groupes

Définition 13   Soit $G$ un ensemble muni d'une loi de composition $\ast$. On dit que $G$ est un groupe lorsque les trois conditions suivantes sont réalisées :

(i) La loi de composition $\ast$ est associative.

(ii) La loi de composition $\ast$ possède un élément neutre.

(iii) Tout élément de $G$ possède un symétrique pour $\ast$.

Définition 14   Un groupe $G$ est dit abélien (ou commutatif) lorsque sa loi de composition est commutative.

Avant de donner des exemples, quelques remarques d'ordre purement calculatoire sur les groupes. Comme promis plus haut, on utilise désormais la notation multiplicative, donc $ab$ désigne le composé des éléments $a$ et $b$ d'un groupe $G$.

Proposition 4   Soit $G$ un groupe. Alors pour tous éléments $a$, $b$ et $x$ de $G$ :

1) Si $ax=bx$, alors $a=b$.

2) Si $xa=xb$, alors $a=b$.

3) Le symétrique de $ab$ est $b^{-1} a^{-1}$.

Démonstration : Il n'y a que des vérifications simples et basées sur l'associativité ; pour (1), si on suppose $ax=bx$, en multipliant à droite par $x^{-1}$ on obtient $(ax)x^{-1}=(bx)x^{-1}$ et donc $a(xx^{-1})=b(xx^{-1})$, c'est-à-dire $a=b$. On prouve (2) de la même façon en multipliant à gauche par $x^{-1}$. La preuve du (3) se réduit à deux calculs élémentaires :

$$(ab)(b^{-1} a^{-1})=a(bb^{-1}) a^{-1}=a a^{-1}=e,$$

et

$$(b^{-1} a^{-1})(ab)=b^{-1} (a^{-1} a)b=b^{-1} b=e,$$

ce qui conclut la démonstration.$\square$

Remarque Au fait, pourquoi faut-il effectuer les deux calculs élémentaires ci-dessus ? Un seul ne suffirait-il pas ? La réponse est non ; on rappelle que $y$ est le symétrique de $x$ si $xy$ et aussi $yx$ valent $e$.

Maintenant que l'on sait calculer dans les groupes, il est temps de donner les exemples les plus élémentaires : regardons les lois de composition que nous connaissons le mieux, elles concernent les ensembles de nombres usuels.

Additions : elles sont associatives, ont un élément neutre noté 0. Dans $\mathbb{N}$, le symétrique peut faire défaut ; ainsi $2$ n'a pas d'opposé. Dans $\mathbb{Z}$ (puis dans les ensembles usuels bien connus), l'opposé existe. Ainsi $\mathbb{Z}$ est un groupe pour l'addition.

Multiplication : 0 n'a jamais d'inverse, donc les ensembles de nombres bien connus ne sont jamais des groupes pour la multiplication. En revanche, si on considère le sous-ensemble formé des éléments non nuls, la multiplication y est bien définie, elle est associative et elle possède un élément neutre noté $1$. Le point à problème est l'existence du symétrique (de l'inverse en notation multiplicative). Dans $\mathbb{Z}^*$, il fait défaut à la plupart des éléments, ainsi $2$ n'a pas d'inverse ; $\mathbb{Z}^*$ n'est donc pas un groupe. En revanche, dans $\mathbb{Q}^*$ (l'ensemble des fractions non nulles) ou $\mathbb{R}^*$ ou $\mathbb{C}^*$, l'existence de l'inverse ne pose pas de problème. Tous ces ensembles sont donc des groupes multiplicatifs.

Encore quelques propriétés de bon sens, mais qu'il ne coûte rien d'énoncer. Elles paraissent évidentes si on comprend qu'un morphisme est moralement une application qui transporte la structure ; si elle transporte la loi de composition, elle doit aussi transporter ses caractéristiques, telles que l'élément neutre et le symétrique.

Proposition 5   Soit $f$ un morphisme d'un groupe $G$, d'élément neutre $e$, vers un groupe $G'$, d'élément neutre $e'$.

Alors $f(e)=e'$ et, pour tout élément $a$ de $G$, $[f(a)]^{-1}=f(a^{-1})$.

Démonstration : Essentiellement de la simple vérification ; pour le neutre, il s'agit d'une (petite) astuce : on calcule $f(e)f(e)=f(ee)=f(e)=f(e)e'$ puis on simplifie par $f(e)$. Pour l'inverse, on fait un calcul très simple : $f(a^{-1})f(a)=f(a^{-1} a)=f(e)=e'$ et simultanément, $f(a)f(a^{-1})=f(a a^{-1})=f(e)=e'$. Ceci montre bien que $f(a^{-1})$ est l'inverse de $f(a)$.$\square$