Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.

Questions de cours : Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $1$, $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et $f$ un endomorphisme de $E$.

1. Donner la définition du polynôme caractéristique de $f$ et énoncer le théorème de Cayley-Hamilton.
2. Donner la définition du polynôme minimal de $f$.
3. On suppose que le polynôme caractéristique est scindé. On note $\lambda_1, \ldots,\lambda_k$ ses racines et $m_1,\ldots, m_k$ leurs multiplicités respectives. Montrer que le polynôme minimal de $f$ s'écrit
   $$\pi_f = \prod_{i=1}^k(X-\lambda_i)^{l_i}\;,$$
   où pour tout $i=1,\ldots,k$, $1\leqslant l_i\leqslant m_i$.
4. Montrer que si $f$ est diagonalisable, alors $${ \pi_f = \prod_{i=1}^k(X-\lambda_i) }$$.
5. Montrer que si $${ \pi_f = \prod_{i=1}^k(X-\lambda_i) }$$ alors $f$ est diagonalisable.

Exercice 1 : Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $1$. On note $S$ la matrice de taille $2n\times 2n$ dont le coefficient d'ordre $(i,j)$ vaut $1$ si $i+j=2n+1$ et 0 sinon.

1. Vérifier que $S$ est symétrique, en déduire qu'elle est diagonalisable.
2. Montrer que $S$ est son propre inverse.
3. En déduire le polynôme minimal de $S$.
4. Pour tout $i\in\{1,\ldots,n\}$, on note $v_i$ et $w_i$ les vecteurs de $\mathbb{R}^{2n}$ définis par :
   $$v_i(k) = \left\{\begin{array}{rl} 1&\mbox{si } k=i\\ 1&\mbox{si } k=2n+1-i\\ 0&\mbox{sinon} \end{array}\right.$$   et$$\quad w_i(k) = \left\{\begin{array}{rl} 1&\mbox{si } k=i\\ -1&\mbox{si } k=2n+1-i\\ 0&\mbox{sinon} \end{array}\right.$$
   Montrer que $v_i$ et $w_i$ sont vecteurs propres de $A$, associés respectivement aux valeurs propres $1$ et $-1$.
5. Soit $P$ la matrice dont les vecteurs colonnes sont $(v_1,\ldots,v_n,w_1,\ldots,w_n)$. Montrer que $P {^t\!P}=2I$.
6. En déduire une diagonalisation de $S$ dans une base orthonormée.
7. Soient $a$ et $b$ deux réels. On pose $A=aI+bS$, où $I$ désigne la matrice identité de taille $2n\times 2n$. Diagonaliser $A$ dans une base orthonormée. Quel est le polynôme caractéristique de $A$ ? Quel est son polynôme minimal ?

Exercice 2 : Soient $a$, $b$, $c$, $d$ quatre réels tels que $bcd\neq 0$. On définit la matrice $A$ par :

$$A=\left(\begin{array}{rrrr} a&-b&-c&-d\\ b&a&d&-c \\ c&-d&a&b\\ d&c&-b&a \end{array}\right) \;.$$

1. Calculer $A+{^t\!A}$, $A {^t\!A}$, puis $(A-XI)({^t\!A}-XI)$.
2. En déduire le polynôme caractéristique de $A$.
3. Montrer que $A$ n'est pas diagonalisable sur $\mathbb{R}$.
4. Calculer $A^2-(2a)A+(a^2+b^2+c^2)$. En déduire le polynôme minimal de $A$. Montrer que $A$ est diagonalisable sur $\mathbb{C}$.
5. On se place désormais dans le cas où $a=1$, $b=c=d=-1$. Vérifier que ${^t\!(\mathrm{i}\sqrt{3}, 1,1,1)}$ et ${^t\!(-1,\mathrm{i}\sqrt{3},-1,1)}$ sont des vecteurs propres de $A$.
6. En déduire une matrice de passage $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $D=P^{-1}AP$.
7. Montrer que $A^3=-8I$. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, donner l'expression de $A^n$ en fonction de $A$ et $I$.
8. Soit $(U_n)$ la suite définie par $U_0={^t\!(1,1,1,1)}$, et pour tout $n\in\mathbb{N}$, $U_{n+1}=AU_n$. Donner l'expression de $U_n$ en fonction de $n$.