QCM

Donnez-vous une heure pour répondre à ce questionnaire. Les 10 questions sont indépendantes. Pour chaque question 5 affirmations sont proposées, parmi lesquelles 2 sont vraies et 3 sont fausses. Pour chaque question, cochez les 2 affirmations que vous pensez vraies. Chaque question pour laquelle les 2 affirmations vraies sont cochées rapporte 2 points.

Question 1   Soit $ A$ une matrice $ 2\times 2$, à coefficients réels.
\framebox{A}
Si $ A$ admet une valeur propre complexe, alors $ A$ est diagonalisable dans $ \mathbb{C}$.
\framebox{B}
Si $ A$ admet une valeur propre réelle, alors $ A$ est diagonalisable dans $ \mathbb{R}$.
\framebox{C}
Si $ A$ admet une seule valeur propre, alors $ A$ est la matrice d'une homothétie.
\framebox{D}
Si $ A$ n'est pas diagonalisable dans $ \mathbb{R}$, alors $ A$ admet une seule valeur propre.
\framebox{E}
Si $ A$ admet au moins deux vecteurs propres distincts, alors $ A$ est diagonalisable.

Question 2   Soit $ A$ une matrice $ 3\times 3$, à coefficients réels.
\framebox{A}
Si $ A$ est diagonalisable dans $ \mathbb{R}$, alors toutes ses valeurs propres sont distinctes.
\framebox{B}
Si $ A$ est triangulaire, alors toutes ses valeurs propres sont réelles.
\framebox{C}
Si $ A$ admet deux valeurs propres complexes, alors $ A$ est diagonalisable dans $ \mathbb{C}$.
\framebox{D}
Si $ A$ admet au moins deux valeurs propres réelles distinctes, alors $ A$ est diagonalisable dans $ \mathbb{R}$.
\framebox{E}
Si $ A$ est symétrique, alors toutes ses valeurs propres sont distinctes.

Question 3   Soit $ A$ une matrice de taille $ n\times n$ ( $ n\geqslant 2$), $ \lambda$ une valeur propre de $ A$ et $ m$ sa multiplicité dans le polynôme caractéristique.
\framebox{A}
Si $ m=1$, alors le sous-espace propre associé à $ \lambda$ est une droite vectorielle.
\framebox{B}
La dimension du sous-espace propre associé à $ \lambda$ est toujours égale à $ m$.
\framebox{C}
La matrice $ A-\lambda I$ est de rang $ n-m$.
\framebox{D}
Si le sous-espace propre associé à $ \lambda$ est une droite vectorielle, alors $ m=1$.
\framebox{E}
Le sous-espace propre de $ A$ associé à $ \lambda$ est inclus dans le sous-espace propre de $ A^2$ associé à $ \lambda^2$.

Question 4   Soit $ A$ une matrice de taille $ n\times n$ ( $ n\geqslant 2$).
\framebox{A}
La somme des valeurs propres de $ A$ est nulle si et seulement si son déterminant est nul.
\framebox{B}
Le produit des valeurs propres de $ A$ est égal à son déterminant.
\framebox{C}
Les valeurs propres de $ A$ et celles de sa transposée sont les mêmes.
\framebox{D}
Les sous-espaces propres de $ A$ et ceux de sa transposée sont les mêmes.
\framebox{E}
Les sous-espaces propres de $ A$ et ceux de $ A^2$ sont les mêmes.

Question 5   Soit $ f$ un endomorphisme de $ \mathbb{R}^n$ ( $ n\geqslant 2$), $ P_f$ son polynôme caractéristique et $ \pi_f$ son polynôme minimal.
\framebox{A}
Si $ f$ est diagonalisable, alors toutes les racines de $ P_f$ sont simples.
\framebox{B}
Si toutes les racines de $ \pi_f$ sont simples, alors $ f$ est diagonalisable.
\framebox{C}
Si $ P_f=(-1)^n\pi_f$, alors $ f$ n'est pas diagonalisable.
\framebox{D}
Le degré de $ \pi_f$ est toujours strictement inférieur au degré de $ f$.
\framebox{E}
Si $ P_f$ a $ n$ racines distinctes, alors $ P_f=(-1)^n\pi_f$.

Question 6   Soit $ f$ un endomorphisme de $ \mathbb{R}^n$ ( $ n\geqslant 2$), $ P_f$ son polynôme caractéristique et $ \pi_f$ son polynôme minimal.
\framebox{A}
Si $ \pi_f(X)=X^2-X$ alors $ f$ est nilpotent.
\framebox{B}
Si $ \pi_f(X)=X^2-1$ alors $ f$ est une symétrie.
\framebox{C}
Si $ f$ est une projection alors $ \pi_f(X)=X^2$.
\framebox{D}
Si $ \pi_f(X)=X^2$ alors $ f$ n'est pas diagonalisable.
\framebox{E}
Si $ \pi_f(X)=X^2-X$ alors $ f$ n'est pas diagonalisable.

Question 7   On considère la matrice $ A=\left(\begin{array}{ccc}
1&0&0\\
0&0&1\\
0&0&0
\end{array}\right)
$.
\framebox{A}
La matrice $ A$ est diagonalisable.
\framebox{B}
La matrice $ A$ a deux valeurs propres distinctes.
\framebox{C}
La polynôme minimal de $ A$ est $ X^3-X^2$.
\framebox{D}
Le sous espace propre associé à la valeur propre 0 est de dimension $ 2$.
\framebox{E}
Il existe une matrice symétrique semblable à la matrice $ A$.

Question 8   On considère la matrice $ A=\left(\begin{array}{ccc}
1&-1\\
1&1
\end{array}\right)
$.
\framebox{A}
La matrice $ A$ est diagonalisable dans $ \mathbb{R}$
\framebox{B}
La matrice $ A$ admet un vecteur propre à coordonnées réelles.
\framebox{C}
La somme des valeurs propres de $ A$ est égale à leur produit.
\framebox{D}
Si $ \lambda$ est valeur propre de $ A$, la première colonne de $ A-\lambda I$ est vecteur propre de $ A$ associé à $ \lambda$.
\framebox{E}
Si $ v$ est vecteur propre de $ A$ associé à $ \lambda$, alors $ \overline{v}$ est vecteur propre de $ A$ associé à $ \overline{\lambda}$.

Question 9   On considère la matrice \begin{displaymath}
A = \left(
\begin{array}{rrr}
\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\frac...
...frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\
0&0&1
\end{array}\right)
\end{displaymath}.
\framebox{A}
La matrice $ A$ a trois valeurs propres distinctes.
\framebox{B}
Le sous-espace propre associé à la valeur propre $ 1$ est de dimension $ 2$.
\framebox{C}
La matrice $ A$ est semblable à la matrice \begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{rrr}
0&0&0\\
0&1&1\\
0&0&1
\end{array}\right)
\end{displaymath}.
\framebox{D}
La matrice $ A$ est semblable à la matrice \begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{rrr}
1&0&0\\
0&0&0\\
0&0&1
\end{array}\right)
\end{displaymath}.
\framebox{E}
Le polynôme minimal de $ A$ est de degré $ 3$.

Question 10   On considère la matrice \begin{displaymath}
A = \left(
\begin{array}{rrr}
\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\frac...
...rac{1}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\
0&0&1
\end{array}\right)
\end{displaymath}.
\framebox{A}
La matrice $ A$ a deux valeurs propres distinctes.
\framebox{B}
Le sous-epace propre associé à la valeur propre $ 1$ est de dimension $ 2$.
\framebox{C}
La matrice $ A$ est semblable à la matrice \begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{rrr}
1&0&0\\
0&0&0\\
0&0&1
\end{array}\right)
\end{displaymath}.
\framebox{D}
Le polynôme minimal de $ A$ est de degré $ 2$.
\framebox{E}
La matrice $ A$ est semblable à la matrice \begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{rrr}
0&0&0\\
0&1&1\\
0&0&1
\end{array}\right)
\end{displaymath}.

\framebox{\rotatebox{180}{Réponses : 1-AD 2-BC 3-AE 4-BC 5-BE 6-BD 7-BC 8-CE 9-BD 10-AE}}


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