Corps des fractions rationnelles

Le concept est très simple : les fractions rationnelles sont les expressions de la forme $$\frac{P}{Q}$$ où $P$ et $Q$ sont des polynômes. Une mise en forme totalement rigoureuse demande un effort un peu disproportionné par rapport au caractère intuitif de l'objet à construire.

La première idée qui peut venir à l'esprit est de tenter de modéliser la fraction $$\frac{P}{Q}$$ par le couple $(P,Q)$ qui contient à première vue la même information : ainsi la fraction $$\frac{X}{X+1}$$ correspondra au couple $(X,X+1)$. Une telle idée nous met sur la bonne piste, mais elle se heurte à un problème : le couple $(X^2,X^2+X)$ représentera la fraction $$\frac{X^2}{X^2+X}=\displaystyle\frac{X}{X+1}$$ ; la même fraction correspond donc à plusieurs couples, et l'ensemble de tous les couples $(P,Q)$ est donc trop gros.

On pourrait penser à n'utiliser que des couples $(P,Q)$ avec $P$ et $Q$ premiers entre eux ; c'est vraisemblablement faisable, mais la preuve risque d'être extrêmement lourde, avec des pgcd à simplifier de partout.

Non, décidément, on ne fera rien de simple si on n'a pas compris ce qu'est un ensemble-quotient, alors que si on maîtrise cette notion, la preuve est longue à écrire, mais sans obstacles.

Dans tout le chapitre, $\mathbb{K}$ désigne un corps commutatif. Notons $A=\mathbb{K}[X]$. La construction utilise simplement le fait que $A$ est un anneau intègre, et nullement en réalité que $A$ est l'anneau des polynômes.

Définition 18   Soit $A$ un anneau intègre, 0 son neutre pour l'addition, et $C$ l'ensemble

$$C=A\times (A\setminus\{0\}).$$

Sur $C$ on introduit deux opérations $+$ et $\times$ définies comme suit : pour tous $(P_1,Q_1)$ et $(P_2,Q_2)$ de $C$, on pose

$$(P_1,Q_1) \times(P_2,Q_2)=(P_1P_2,Q_1Q_2)\qquad (P_1,Q_1)+ (P_2,Q_2)=(P_1Q_2+P_2Q_1,Q_1Q_2).$$

On notera qu'on utilise très discrètement l'intégrité de $A$ pour justifier que le produit $Q_1Q_2$ qui intervient dans les formules n'est pas nul, donc que la somme et le produit d'éléments de $C$ appartiennent effectivement à $C$.

Signalons une fois encore que les deux formules de la définition précédente se comprennent aisément si on a en tête qu'un couple $(P,Q)$ a vocation à décrire la fraction $$\frac{P}{Q}$$ (qui n'aura un sens propre qu'une fois la construction terminée) : elles sont les reproductions des formules qu'on sait bien utiliser pour multiplier ou additionner des fractions.

L'ensemble $C$ a une bonne tête vu de loin, mais de près il est trop gros. Pour le faire maigrir, introduisons une relation d'équivalence $\mathcal{R}$ sur $C$.

Définition 19   Pour tous $(P_1,Q_1)$ et $(P_2,Q_2)$ de $C$,

$$(P_1,Q_1)\mathcal{R}(P_2,Q_2)\qquad{\rm lorsque}\qquad P_1Q_2=P_2Q_1.$$

Si nous savions déjà donner un sens aux barres de fractions, nous aurions écrit la condition sous la forme $$\frac{P_1}{Q_1}=\frac{P_2}{Q_2}$$, la rendant ainsi compréhensible, mais comme ce symbole ne nous sera disponible qu'une fois finie la construction, on a dû donner une forme moins limpide.

Proposition 16   La relation $\mathcal{R}$ est une relation d'équivalence sur $C$.

Démonstration : En effet, $P_1Q_2=P_2Q_1$ et $P_2Q_3=P_3Q_2$ impliquent $P_1Q_3=P_3Q_1$, voyez-vous. (Indication : comme $Q_{2}\neq0$, on calcule $P_{1}Q_{3}Q_{2}$.)$\square$

Notation 8   On note $B$ l'ensemble-quotient $C/\mathcal{R}$ et $\mathfrak{cl}(P,Q)$ la classe d'un élément $(P,Q)$ de $C$.

On va alors définir des opérations $+$ et $\times$ sur $B$ ; le principe est le même que celui qui nous a permis de définir addition et multiplication sur $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ : on définit simplement ces opérations sur des représentants des classes d'équivalence, et on vérifie méthodiquement que le résultat obtenu ne dépend pas de la classe utilisée.

Définition 20   Pour $\mathfrak{cl}(P_1,Q_1)$ et $\mathfrak{cl}(P_2,Q_2)$ éléments de $B$, on note

$$\mathfrak{cl}(P_1,Q_1) +\mathfrak{cl}(P_2,Q_2)= \mathfrak{cl}\left((P_1,Q_1)+(P_2,Q_2)\right).$$

et

$$\mathfrak{cl}(P_1,Q_1) \times\mathfrak{cl}(P_2,Q_2)= \mathfrak{cl}\left((P_1,Q_1) \times(P_2,Q_2)\right),$$

Cette «définition»  n'en sera une qu'une fois vérifiée la proposition suivante.

Proposition 17   Le résultat des opérations $+$ et $\times$ définies sur $C$ ne dépend pas des représentants choisis.

Démonstration : On fait la vérification soigneusement pour l'addition, avec «renvoi au lecteur»  pour la multiplication.

Soit $(P_3,Q_3)$ un représentant quelconque de la classe de $(P_1,Q_1)$ et $(P_4,Q_4)$ un représentant quelconque de la classe de $(P_2,Q_2)$. Il faut vérifier que

$$(P_1,Q_1)+ (P_2,Q_2)=(P_1Q_2+P_2Q_1,Q_1Q_2)$$

et

$$(P_3,Q_3)+ (P_4,Q_4)=(P_3Q_4+P_4Q_3,Q_3Q_4),$$

sont bien dans la même classe.

Cela revient à comparer les produits $P_{5}$ et $P_{6}$ définis par :

$$P_{5}=(P_1Q_2+P_2Q_1)Q_3Q_4,\qquad P_{6}=(P_3Q_4+P_4Q_3)Q_1Q_2.$$

On dispose pour ce faire des égalités $P_1Q_3=P_3Q_1$ et $P_2Q_4=P_4Q_2$, issues respectivement des relations $(P_1,Q_1)\mathcal{R}(P_3,Q_3)$ et $(P_2,Q_2)\mathcal{R}(P_4,Q_4)$. La vérification est alors directe :

$$P_{5}=P_1Q_3Q_2Q_4+P_2Q_4Q_1Q_3= P_3Q_1Q_2Q_4+P_4Q_2Q_1Q_3=P_{6}.$$

$\square$

Notation 9   Quand $A=\mathbb{K}[X]$, on note $\mathbb{K}(X)$ l'ensemble $B=C/\mathcal{R}$ ainsi construit.

On a donc bien construit un ensemble $\mathbb{K}(X)$ puis une addition et une multiplication sur cet ensemble.

Théorème 5   L'ensemble $\mathbb{K}(X)$ muni des lois $+$ et $\times$ est un corps commutatif.

Démonstration : La vérification de toutes les propriétés de la définition d'un corps commutatif est simple, méthodique et lourde. On se bornera ici à justifier l'existence de l'inverse.

Si une classe $\mathfrak{cl}(P_1,Q_1)$ n'est pas nulle, on remarque d'abord que $P_1\not=0$, puisque $\mathfrak{cl}(P_1,Q_1)\not=\mathfrak{cl}(0,1)$. La classe $\mathfrak{cl}(Q_1,P_1)$ existe donc ; ce sera l'inverse de $\mathfrak{cl}(P_1,Q_1)$ : en effet le produit des deux est $\mathfrak{cl}(Q_1P_1,P_1Q_1)$ qui est égal à la classe de $(1,1)$ qui est le neutre pour la multiplication.$\square$

Proposition 18   L'anneau $\mathbb{K}[X]$ est inclus dans $\mathbb{K}(X)$ ; plus précisément, il existe un morphisme d'anneaux $j:\mathbb{K}[X]\to\mathbb{K}(X)$ qui est injectif. Tout élément de $\mathbb{K}(X)$ peut s'écrire comme $j(P)j(Q)^{-1}$ pour $P$ et $Q$ dans $\mathbb{K}[X]$ et $Q\neq0$.

Démonstration : Soit $j$ l'application définie par $j(P)=\mathfrak{cl}(P,1)$. Il est très facile de vérifier que $j$ transforme addition en addition et multiplication en multiplication ; son injectivité peut seule interpeller. Mais puisque cette transformation est un morphisme de groupes additifs, l'injectivité se laisse montrer à coups de noyaux ; et effectivement si un polynôme $P$ est envoyé sur le neutre additif de $\mathbb{K}(X)$ qui est la classe de $(0,1)$, c'est que $(P,1)\mathcal{R}(0,1)$ et donc que $P=0$ : le noyau est bien réduit au seul polynôme nul. Enfin,

$$\mathfrak{cl}(P,Q)=\mathfrak{cl}(P,1)\mathfrak{cl}(1,Q) =\mathfrak{cl}(P,1)\left[\mathfrak{cl}(Q,1)\right]^{-1} =j(P)j(Q)^{-1}.$$

$\square$

Notation 10   On note $P/Q$ ou $$\frac{P}{Q}$$ l'élément $\mathfrak{cl}(P,Q)$ de $\mathbb{K}(X)$.