Suites de Sturm

Soit $P$ un polynôme à coefficients réels n'ayant que des racines simples. La suite de Sturm de ce polynôme est une suite de polynômes qui permet de déterminer le nombre de racines de $P$ dans un intervalle donné. Elle est définie de la façon suivante : on pose $P_0=P$ et $P_1=P'$, où $P'$ désigne le polynôme dérivé de $P$. Ensuite, pour calculer $P_2$, on effectue la division euclidienne de $P_0$ par $P_1$. Le résultat peut s'écrire comme

$$P_0=P_1Q_1-P_2,$$

où le degré de $P_2$ est strictement inférieur à celui de $P_1$. En d'autres termes, $P_2$ est l'opposé du reste dans la division euclidienne de $P_0$ par $P_1$. Puis on recommence pour calculer $P_3$, donc

$$P_1=P_2Q_2-P_3,$$

et le degré de $P_3$ est strictement inférieur à celui de $P_2$, etc. On s'arrête lorsqu'on obtient un polynôme constant $P_n$, ce qui arrive forcément puisque le degré des polynômes obtenus diminue à chaque division. La suite de Sturm du polynôme $P$ est alors

$$S=(P_0,P_1,\ldots,P_n).$$

Ensuite, pour chaque nombre réel $x$, on note $V(x)$ le nombre de changements de signes dans la suite $S(x)=(P_0(x),P_1(x),\ldots,P_n(x))$.

Le théorème de Sturm, démontré par Charles Sturm (1803-1855) en 1829, affirme que le nombre de racines de $P$ dans l'intervalle $[a,b]$ est égal à la différence $V(a)-V(b)$.

Un exemple, un exemple ! Soit $P=X^3 +6X^2 -16$. Sa suite de Sturm est

$$S=(X^3 +6X^2 -16,3X^2 +12X,8X+16,12).$$

En particulier, $S(-7)=(-65,63,-40,12)$ et il y a 3 changements de signe dans cette suite, donc $V(-7)=3$. De même, $S(2)=(16,36,32,12)$ et cette fois, il n'y a pas de changement de signe, donc $V(2)=0$. Par conséquent, $V(-7)-V(2)=3$ donc les 3 racines de $P$ sont dans l'intervalle $[-7,2]$. Étonnant, non ?