Suites de Sturm

Soit un polynôme à coefficients réels n'ayant que des racines simples. La suite de Sturm de ce polynôme est une suite de polynômes qui permet de déterminer le nombre de racines de dans un intervalle donné. Elle est définie de la façon suivante : on pose et , où désigne le polynôme dérivé de . Ensuite, pour calculer , on effectue la division euclidienne de par . Le résultat peut s'écrire comme

$\displaystyle P_0=P_1Q_1-P_2,$

où le degré de

est strictement inférieur à celui de

. En d'autres termes,

est l'opposé du reste dans la division euclidienne de

par

. Puis on recommence pour calculer

, donc

$\displaystyle P_1=P_2Q_2-P_3,$

et le degré de

est strictement inférieur à celui de

, etc. On s'arrête lorsqu'on obtient un polynôme constant

, ce qui arrive forcément puisque le degré des polynômes obtenus diminue à chaque division. La suite de Sturm du polynôme

est alors

$\displaystyle S=(P_0,P_1,\ldots,P_n).$

Ensuite, pour chaque nombre réel

, on note

le nombre de changements de signes dans la suite $S(x)=(P_0(x),P_1(x),\ldots,P_n(x))$ .

Le théorème de Sturm, démontré par Charles Sturm (1803-1855) en 1829, affirme que le nombre de racines de dans l'intervalle est égal à la différence .