Exercices

Exercice 3   On considère les couples de polynômes $(P,Q)$ suivants dans $\mathbb{R}[X]$.

$\bullet$

$P=X$, $Q=X-1$

$\bullet$

$P=X$, $Q=X^2-1$

$\bullet$

$P=X^2$, $Q=X^2-1$

$\bullet$

$P=X^2-1$, $Q=X^2+X+1$

$\bullet$

$P=X^2-2X+1$, $Q=X^2+X+1$

$\bullet$

$P=X^2-1$, $Q=X^3-1$

$\bullet$

$P=X^3-X^2+2X-2$, $Q=X^3-1$

Pour chacun de ces couples :

1. Écrire les polynômes $P'$ et $Q'$.
2. Calculer le polynôme $PQ$.
3. Calculer les polynômes $P'Q$ et $PQ'$.
4. Vérifier la formule $(PQ)'=P'Q+PQ'$
5. Calculer les polynômes $P\circ Q$ et $Q\circ P$.
6. Vérifier les formules
   $$(P\circ Q)'=Q'(P'\circ Q)$$   et$$\quad (Q\circ P)'=P'(Q'\circ P)$$

Exercice 4    

1. Déterminer l'ensemble des polynômes $P$ de $\mathbb{R}[X]$, de degrés au plus $2$, tels que
   $$P(X+1)P(X)=-P(X^2)$$

2. Déterminer l'ensemble des polynômes $P$ de $\mathbb{R}[X]$ tels que
   $$P(2X)=P'P''$$

3. Déterminer l'ensemble des polynômes $P$ de $\mathbb{R}[X]$ tels que
   $$P(X^2)=(X^2+1)P(X)$$

4. Déterminer l'ensemble des polynômes $P$ de $\mathbb{R}[X]$ tels que
   $$X(X+1)P'' +(X+2)P'-P=0$$

5. Déterminer l'ensemble des polynômes $P$ de $\mathbb{C}[X]$ tels que
   $$18P=P'P''$$

6. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, il existe un polynôme unique $P_n$ de $\mathbb{R}[X]$ tel que
   $$P_n-P'_n=X^n$$
   et calculer $P_n$.

Exercice 5   On pose $C_0=1$, $C_1=X$ et pour $n\geqslant 2$, on définit le $n$-ième polynôme de Chebyshev $C_n$ par la relation de récurrence :

$$C_n = 2XC_{n-1}-C_{n-2}.$$

1. Calculer $C_2$, $C_3$ et $C_4$.
2. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, le polynôme $C_n$ est de degré $n$ et calculer son coefficient dominant.
3. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, et pour tout $\theta\in\mathbb{R}$, $\cos(n\theta)=C_n(\cos(\theta))$.
4. En déduire les racines de $C_n$.
5. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$,
   $$(1-X^2)C'' _n -X C'_n +n^2C_n=0\;.$$

Exercice 6   Soit $n$ un entier strictement positif.

1. Montrer que pour tout polynôme $P$ de $\mathbb{R}_n[X]$, il existe un unique polynôme $Q$ de $\mathbb{R}_n[X]$ tel que
   $$P(X)P(-X)=Q(X^2)$$
   Dans toute la suite, on note $\phi$ l'application de $\mathbb{R}_n[X]$ dans lui-même qui à un polynôme $P$ associe le polynôme $Q$ tel que $P(X)P(-X)=Q(X^2)$.
2. Calculer $\phi(1)$, $\phi(X)$, $\phi(X+1)$, $\phi(X-1)$, $\phi(X^2-1)$, $\phi(X^2+2X+1)$.
3. Démontrer que
   $$\forall P_1,P_2\in\mathbb{R}_n[X]\;,\quad \phi(P_1P_2)=\phi(P_1)\phi(P_2)$$

4. Trouver deux polynômes $P_1$ et $P_2$ tels que $\phi(P_1+P_2)\neq \phi(P_1)+\phi(P_2)$.

Exercice 7   Soit $n$ un entier strictement positif. On se place dans l'anneau des polynômes à coefficients réels $\mathbb{R}[X]$.

1. Montrer que $X-1$ divise $X^n-1$.
2. Montrer $X^2+2X$ divise $(X+1)^{2n}-1$.
3. Montrer que $X^2$ divise $(X+1)^n-nX-1$.
4. Montrer que $(X-1)^2$ divise $X^n-nX+n-1$.
5. Montrer que $(X-1)^2$ divise $nX^{n+1}-(n+1)X^n+1$.
6. Montrer que $(X-1)^2$ divise
   $$\left(\sum_{k=0}^{n-1} X^k\right)^2-n^2X^{n-1}$$

7. Montrer que $(X-1)^3$ divise $nX^{n+2}-(n+2)X^{n+1}(n+2)X-n$
8. Soit $P$ un polynôme quelconque. Montrer que si $X-1$ divise $P(X^n)$ alors
   $$\sum_{k=0}^{2n-1} X^k$$ divise $$P(X^{2n})$$

Exercice 8   On se place dans l'anneau de polynômes $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[X]$.

1. Ecrire tous les polynômes de degrés inférieurs ou égaux à $2$.
2. Parmi tous les polynômes de degrés inférieurs ou égaux à $2$, lesquels sont irréductibles ?
3. Pour chacun des polynômes de degrés inférieurs ou égaux à $2$, écrire sa valeur en $\mathfrak{cl}(0)$ et $\mathfrak{cl}(1)$.
4. Soit $P$ un polynôme de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[X]$. Montrer que l'application associée à $P$ est l'application nulle, si et seulement si $P$ est divisible par $X^2+X$.
5. Montrer que l'application associée à $P$ est l'application identique, si et seulement si la division euclidienne de $P$ par $X^2+X$ a pour reste $X$.
6. Si $P$ est de degré au moins $2$ et irréductible, montrer que l'application associée à $P$ est l'application constante égale à $\mathfrak{cl}(1)$.

Exercice 9   Dans $\mathbb{R}[X]$, effectuer la division euclidienne de $P$ par $Q$ pour les couples $(P,Q)$ suivants.

1. $P=X^2-1$, $Q=X-1$
2. $P=X^3-1$, $Q=X^2+1$
3. $P=X^4-1$, $Q=X^2+1$
4. $P=X^4-2X^2+1$, $Q=X^2-2X+1$
5. $P=X^4-X^3+X-2$, $Q=X^2-2X+4$
6. $P=X^4+2X^3-X+6$, $Q=X^3-6X^2+X+4$
7. $P=3X^5+4X^2+1$, $Q=X^2+2X+3$
8. $P=3X^5+2X^4-X^2+1$, $Q=X^3+X+2$
9. $P=X^5-X^4+2X^3+X^2+4$, $Q=X^2-1$
10. $P=X^6-3X^4+3X^2-1$, $Q=X^2-X$
11. $P=X^6-X^5+X^2-1$, $Q=X^3-X$
12. $P=X^6-2X^4+X^3+1$, $Q=X^3+X^2+1$

Exercice 10   On considère les couples de polynômes $(P,Q)$ suivants dans $\mathbb{R}[X]$.

$\bullet$

$P=X-1$, $Q=X$

$\bullet$

$P=X-1$, $Q=X-2$

$\bullet$

$P=X^3-2$, $Q=X^2-1$

$\bullet$

$P=X^3-1$, $Q=X^2+1$

$\bullet$

$P=X^3+1$, $Q=X^2+X+1$

$\bullet$

$P=X^4-1$, $Q=X^2-4$

Pour chacun de ces couples :

1. Effectuer la division euclidienne de $P$ par $Q$.
2. Vérifier, en utilisant l'algorithme d'Euclide, que $P$ et $Q$ sont premiers entre eux.
3. Déterminer l'ensemble des couples de polynômes $(S,T)$ tels que $S P+T Q=1$.

Exercice 11   Soient $A$ et $B$ deux polynômes de $\mathbb{R}[X]$, $Q$ et $R$ le quotient et le reste de la division euclidienne de $A$ par $B$. Soit $P$ un polynôme de degré au moins égal à $1$. Démontrer que le quotient de la division euclidienne de $A\circ P$ par $B\circ P$ est $Q\circ P$ et que le reste est $R\circ P$.

Exercice 12   Soit $(P_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite de polynômes définie par $P_0=1$, $P_1=X$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

$$P_{n+2}=XP_{n+1}-P_n.$$

1. Calculer $P_2$ et $P_3$.
2. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $P_n$ est de degré $n$.
3. Montrer que $P_n$ est un polynôme pair si $n$ est pair, impair si $n$ est impair.
4. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$ :
   $$P^2_{n+1}-P_nP_{n+2}=1.$$

5. En déduire que pour tout $n\in\mathbb{N}$, les polynômes $P_n$ et $P_{n+1}$ sont premiers entre eux.

Exercice 13   On considère les couples de polynômes $(P,Q)$ suivants dans $\mathbb{R}[X]$.

$\bullet$

$P=X^4-1$, $Q=X^2-1$

$\bullet$

$P=X^6-1$, $Q=X^4-1$

$\bullet$

$P=X^3+1$, $Q=X^2-1$

$\bullet$

$P=X^3-2X^2-X+2$, $Q=X^3-6X^2+11X-6$

$\bullet$

$P=X^3-X^2-X-2$, $Q=X^3-1$

$\bullet$

$P=X^4+X^3-2X+1$, $Q=X^3+X+1$

$\bullet$

$P=X^4+X^3-3X^2-4X-1$, $Q=X^3+X^2-X-1$

$\bullet$

$P=X^4+X^3+2X^2+X+1$, $Q=X^4-1$

$\bullet$

$P=X^3-X^2-X-2$, $Q=X^5-2X^4+X^2-X-2$

$\bullet$

$P=X^5+5X^4+9X^3+7X^2+5X+3$, $Q=X^4-2X^3+2X^2+X+1$

Pour chacun de ces couples :

1. Utiliser l'algorithme d'Euclide pour calculer $\mathrm{pgcd}(P,Q)$.
2. Decomposer $P$ et $Q$ en facteurs irréductibles.
3. En déduire la décomposition en facteurs irréductibles de $\mathrm{pgcd}(P,Q)$ et retrouver le résultat de la première question.

Exercice 14   On considère les triplets de polynômes de $\mathbb{R}[X]$ suivants.

$\bullet$

$A=X^2-X$, $B=X^2-X$, $C=X^2-1$

$\bullet$

$A=(X+3)^2(X+1)(X^2+1)^3$, $B=(X+3)^2(X+2)^2(X^2+1)$, $C=(X+3)(X+2)(X^2+1)^2$

$\bullet$

$A=X^2+3X+2$, $B=X^3+2X^2+X+2$, $C=X^5+4X^4+6X^3+6X^2+5X+2$

Pour chacun de ces triplets :

1. Calculer $\mathrm{pgcd}(A,B)$, $\mathrm{pgcd}(A,C)$ et $\mathrm{pgcd}(B,C)$.
2. Calculer $\mathrm{pgcd}(A,B,C)$.

Exercice 15   Soient $a$ et $b$ deux nombres complexes distincts. Soit $P\in\mathbb{C}[X]$ un polynôme.

1. Montrer que si $P$ est divisible par $X-a$ et par $X-b$, alors $P$ est divisible par $(X-a)(X-b)$.
2. On suppose que les restes des divisions euclidiennes de $P$ par $X-a$ et par $X-b$ sont tous les deux égaux à $1$. Montrer que le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)(X-b)$ est $1$.
3. On suppose que les restes des divisions euclidiennes de $P$ par $X-1$ et $X+5$ sont respectivement $7$ et $3$. Quel est le reste de la division euclidienne de $P$ par $X^2+4X-5$ ?

Exercice 16   Ecrire la décomposition en facteurs irréductibles des polynômes suivants, dans $\mathbb{R}[X]$ et dans $\mathbb{C}[X]$.

1. $X^4-1$
2. $X^6+1$
3. $X^8+X^4+1$
4. $(X^2+X+1)^2-1$
5. $X^3-5X^2+3X+9$
6. $(X^2-X+2)^2+(X-2)^2$
7. $6X^5+15X^4+20X^3+15X^2+6X+1$
8. $X^5-7X^3-2X^2+12X+8$

Exercice 17   Soit $P\in\mathbb{C}[X]$ un polynôme à coefficients complexes et $a$ un complexe. En utilisant la formule de Taylor, calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de $P$ par $X-a$, puis par $(X-a)^2$.

Exercice 18   Ecrire la formule de Taylor pour les polynômes suivants, en $a=1$, puis $a=-1$.

1. $X^4-1$
2. $X^6+1$
3. $X^8+X^4+1$
4. $(X^2+X+1)^2+1$
5. $X^3-5X^2+3X+9$
6. $(X^2-X+2)^2+(X-2)^2$
7. $6X^5+15X^4+20X^3+15X^2+6X+1$
8. $X^5-7X^3-2X^2+12X+8$

Exercice 19   Décomposer les fractions rationnelles suivantes, dans $\mathbb{R}(X)$ :

$$\frac{1}{X(X-1)}\quad;\quad\frac{X}{X^2-1} \quad;\quad\frac{X^3-2X+1}{X^2-1}\quad;$$

$$\frac{X(X^2+1)^2}{(X^2-1)^2} \quad;\quad\frac{X^3+1}{(X-2)^4} \quad;\quad\frac{X^5+1}{(X^2+1)^3}\quad;$$

$$\frac{X^2+1}{(X-2)(X-1)}\quad; \quad\frac{X^3-2}{X^2-4}\quad;\quad\frac{X^3-2X+1}{X^3-X}\quad;$$

$$\frac{X}{(X^2-1)(X-2)}\quad;\quad\frac{X}{(X-1)^2(X-2)} \quad;\quad\frac{X^4}{(X-1)^2(X-2)}\quad;$$

$$\frac{2X^2+5}{(X^2-1)^3}\quad;\quad\frac{X^5+1}{X^3(X-2)} \quad;\quad\frac{X^8-X^4+2}{(X^2+X+1)^3}\quad;$$

$$\frac{X^3+X}{(X-1)(X^6+1)}\quad;\quad \frac{X^6-X^5+2X^4+X^2+1}{X^3(X^2+1)^2}\quad;$$

$$\frac{X^5+6X^4+17X^3+25X^2+19X+7}{(X+1)^2(X^2+X+1)^2}.$$

Exercice 20   Décomposer les fractions rationnelles suivantes, dans $\mathbb{C}(X)$ puis dans $\mathbb{R}(X)$ :

$$\frac{1}{X^3+X} \quad;\quad\frac{X^4+1}{X^3+X} \quad;\quad\frac{X}{(X^2+1)(X^2+4)}\quad;$$

$$\frac{X^3+1}{X^2+1}\quad;\quad\frac{X^5-1}{X^4-1} \quad;\quad\frac{X^2+1}{X^4+1}\quad;$$

$$\frac{X-1}{X^3-1}\quad;\quad\frac{X-1}{X^3+X} \quad;\quad\frac{X^2-1}{(X^2+1)^2}\quad;$$

$$\frac{X}{X^4+1} \quad;\quad\frac{X^2+1}{X^4+1} \quad;\quad\frac{X^2+X+1}{X^4-1}\quad;$$

$$\frac{X^3}{X^4+1}\quad;\quad \frac{X}{(X-1)^2(X^2+1)^2}\quad;\quad \frac{X^2-1}{X^6-1}.$$