Vrai ou Faux

Vrai-Faux 1   Soit $P\in\mathbb{R}[X]$ un polynôme non nul à coefficients réels, et $d$ un entier. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\square\;$ Si le degré de $P$ est $d$, alors le degré de $P'$ est $d-1$.
2. $\boxtimes\;$ Si le degré de $P$ est $d$, alors celui de $P(X^2)$ est $2d$.
3. $\boxtimes\;$ Si le degré de $P$ est $d$, alors celui de $X^2P(X+2)$ est $d+2$.
4. $\square\;$ Si le degré de $P$ est $2$, alors celui de $X^2+P$ est $2$.
5. $\boxtimes\;$ Si le degré de $P$ est $4$, alors celui de $X^2+P$ est $4$.

Vrai-Faux 2   Soient $P,Q\in\mathbb{R}[X]$ deux polynômes non nuls à coefficients réels. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\square\;$ Le degré de $P+Q$ est toujorus la somme des degrés de $P$ et de $Q$
2. $\square\;$ Le degré de $P+Q$ est toujours égal soit au degré de $P$ soit au degré de $Q$
3. $\boxtimes\;$ Le degré de $PQ$ est la somme des degrés de $P$ et de $Q$.
4. $\square\;$ Le degré de $PQ'$ est toujours égal au degré de $QP'$
5. $\boxtimes\;$ Le degré de $P(X^2)Q(X^2)$ est le double de la somme des degrés de $P$ et de $Q$.

Vrai-Faux 3   Soit $P\in\mathbb{R}[X]$ un polynôme à coefficients réels. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ Si $P$ est divisible par $X^2-X$ alors $P(1)=0$.
2. $\square\;$ Si $P$ est divisible par $X^2-X$ alors $P'(0)=0$.
3. $\boxtimes\;$ Si $P$ est divisible par $(X-1)^2$ alors $P'(1)=0$.
4. $\boxtimes\;$ Si $P(1)=P'(1)=0$ alors $P$ est divisible par $(X-1)^2$.
5. $\square\;$ Si $P'(1)=0$ alors $P$ est divisible par $(X-1)$.
6. $\square\;$ Si $P$ est irréductible alors $P$ ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$.
7. $\boxtimes\;$ Si $P$ est irréductible alors $P'$ est de degré 0 ou $1$.
8. $\square\;$ Si $P$ ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$, alors $P$ est irréductible.

Vrai-Faux 4   Soient $P$ et $Q$ deux polynômes non nuls à coefficients réels. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ Si $P$ est premier avec $Q$, alors $P$ est premier avec $P+Q$.
2. $\square\;$ Si $P$ ne divise pas $Q$, alors $P$ ne divise pas $Q^2$.
3. $\square\;$ Si $P$ ne divise pas $Q^2$, alors $P$ est premier avec $Q$.
4. $\boxtimes\;$ Si $P$ est premier avec $Q$, alors $P^2$ est premier avec $Q^2$.
5. $\boxtimes\;$ Si $P^2-Q^2=1$, alors $P$ est premier avec $Q$.

Vrai-Faux 5   Soit $P\in\mathbb{R}[X]$ un polynôme à coefficients réels. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ Le reste de la division euclidienne de $P$ par $X-1$ est $P(1)$.
2. $\square\;$ Le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-1)^2$ est $P'(1)$.
3. $\boxtimes\;$ Le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-1)^2$ est $P'(1)(X-1)+P(1)$.
4. $\boxtimes\;$ Si les restes des divisions euclidiennes de $P$ par $X$ et $X-1$ sont nuls, alors $P$ est divisible par $X^2-X$.
5. $\square\;$ Si les restes des divisions euclidiennes de $P$ par $X^2$ et $(X-1)^2$ sont égaux, alors $P$ est divisible par $X^2-X$.
6. $\boxtimes\;$ Si les restes des divisions euclidiennes de $P$ par $X^2$ et $(X-1)^2$ sont égaux à $R$, alors $P-R$ est divisible par $(X^2-X)^2$.

Vrai-Faux 6   Soit $P\in\mathbb{R}[X]$ un polynôme à coefficients réels. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ Si le degré de $P$ est impair, alors $P$ possède au moins une racine réelle.
2. $\square\;$ Si le degré de $P$ est pair, alors $P$ ne possède aucune racine réelle.
3. $\square\;$ Si $P$ est de degré $d$, alors $P$ a $d$ racines complexes distinctes.
4. $\boxtimes\;$ Si $P$ n'est pas constant et divise $X^{24}-1$ alors toutes les racines de $P$ sont distinctes.
5. $\square\;$ Si $P$ n'est pas premier avec $X^{24}-1$ alors toutes les racines de $P$ sont distinctes.
6. $\boxtimes\;$ Si $P$ n'est pas premier avec $X^{24}-1$ alors au moins une racine de $P$ est de module $1$.
7. $\boxtimes\;$ Si $P$ et $P'$ sont premiers entre eux, alors les racines de $P$ sont distinctes.

Vrai-Faux 7   Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$$X^2+4$ est irréductible dans $\mathbb{R}[X]$
2. $\square\;$$X^2+4$ est irréductible dans $\mathbb{C}[X]$
3. $\square\;$$X^2-4$ est irréductible dans $\mathbb{Q}[X]$
4. $\boxtimes\;$$X^2-2$ est irréductible dans $\mathbb{Q}[X]$
5. $\square\;$$X^2-2$ est irréductible dans $\mathbb{R}[X]$
6. $\boxtimes\;$$X^2+1$ est irréductible dans $\mathbb{R}[X]$
7. $\square\;$$X^2+1$ est irréductible dans $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[X]$

Vrai-Faux 8   On considère la fraction rationnelle suivante.

$$\frac{P}{Q}=\frac{X^4}{X^4-1}\;.$$

Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\square\;$ Les décompositions en éléments simples de $P/Q$ dans $\mathbb{R}(X)$ et $\mathbb{C}(X)$ sont identiques.
2. $\boxtimes\;$ La partie entière de la décomposition en éléments simples de $P/Q$ dans $\mathbb{C}(X)$ est $1$.
3. $\square\;$ Une décomposition en éléments simples de $P/Q$ dans $\mathbb{R}(X)$ est
   $$\frac{P}{Q}=\frac{1}{2} \frac{X^2}{X^2-1}+ \frac{1}{2} \frac{X^2}{X^2-1}\;.$$

4. $\boxtimes\;$ Dans la décomposition en éléments simples de $P/Q$ dans $\mathbb{R}(x)$, on trouve un élément simple du type $a/(X^2+1)$, où $a$ est un réel.
5. $\boxtimes\;$ Les décompositions en éléments simples de $P/Q$ dans $\mathbb{C}(x)$ et dans $\mathbb{R}(X)$ contiennent l'élément $(1/4)/(X-1)$.
6. $\square\;$ Dans la décomposition en éléments simples de $P/Q$ dans $\mathbb{C}(x)$, on trouve un élément simple du type $a/(X-\mathrm{i})$, où $a$ est un réel.
7. $\boxtimes\;$ Dans la décomposition en éléments simples de $P/Q$ dans $\mathbb{C}(x)$, on trouve deux éléments simples du type $a/(X-\mathrm{i})$ et $b/(X+\mathrm{i})$, où $a$ et $b$ sont deux complexes conjugués.