Combinaisons linéaires et barycentres

Soit

un espace vectoriel, et ${\cal E}$ un espace affine de direction

. Rappelons que la combinaison linéaire des

vecteurs $\vec{u}_1,\ldots,\vec{u}_n$ affectés des coefficients réels $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ est le vecteur :

$\displaystyle \sum_{i=1}^n\lambda_i \vec{u}_i\;.$

Passons de l'espace vectoriel à l'espace affine, c'est-à-dire des vecteurs aux points. Dès qu'une origine

a été choisie, on peut associer à

points $A_1,\ldots,A_n$ et

réels $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ le point

tel que $\overrightarrow{OM}$ soit la combinaison linéaire :

$\displaystyle \overrightarrow{OM} = \sum_{i=1}^n\lambda_i \overrightarrow{OA_i}\;.$

La proposition suivante montre que ce point

ne dépend pas du choix de l'origine, quand la somme des coefficients vaut

Proposition 4 Soient $A_1,\ldots,A_n$ points dans un espace affine ${\cal E}$ , $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ réels tels que $\lambda_1+\cdots+\lambda_n=1$ . Soit un point de ${\cal E}$ , et le point défini par :

$\displaystyle \overrightarrow{OM} = \sum_{i=1}^n\lambda_i \overrightarrow{OA_i}\;.$

Pour tout point de ${\cal E}$ ,

$\displaystyle \overrightarrow{O'M} = \sum_{i=1}^n\lambda_i \overrightarrow{O'A_i}\;.$

Démonstration : Il suffit d'utiliser la relation de Chasles:

$\displaystyle \displaystyle{\sum_{i=1}^n\lambda_i \overrightarrow{O'A_i}}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \displaystyle{ \sum_{i=1}^n\lambda_i (\overrightarrow{O'O}+\overrightarrow{O'A_i})}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \displaystyle{ \left(\sum_{i=1}^n\lambda_i \right)\overrightarrow{O'O}+ \left(\sum_{i=1}^n \lambda_i \overrightarrow{OA_i}\right)}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \overrightarrow{O'O}+\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{O'M}\;.$

$\square$

Vous avez sans doute reconnu dans la proposition précédente la notion de barycentre d'une famille de points affectés de coefficients (ou pondérations). Elle vous a été présentée comme suit.

Définition 8 Soient $A_1,\ldots,A_n$ points dans un espace affine ${\cal E}$ , $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ réels tels que $\lambda_1+\cdots+\lambda_n\neq 0$ . On appelle barycentre des points $A_1,\ldots,A_n$ affectés des pondérations $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ le point tel que pour tout point :

$\displaystyle \overrightarrow{OM} = \frac{1}{\sum \lambda_i} \left(\sum_{i=1}^n\lambda_i \overrightarrow{OA_i}\right)\;.$

(1)

En remplaçant

par

dans (1), on obtient

$\displaystyle \sum_{i=1}^n\lambda_i \overrightarrow{MA_i} = \vec{0}\;.$

Le barycentre

est le seul point de l'espace tel que la combinaison linéaire des vecteurs $\overrightarrow{MA_i}$ affectés des coefficients $\lambda_i$ soit nulle.

Quand les coefficients $\lambda_i$ sont tous égaux, on parle d'isobarycentre. En physique, la notion de barycentre se réfère à des coefficients tous positifs, que l'on comprend comme des masses placées aux points $A_1,\ldots,A_n$ . Le barycentre, ou centre de gravité, est un point d'équilibre pour l'ensemble des masses. Insistons sur le fait que dans la définition 8, les coefficients sont de signe quelconque.

Proposition 5 Soient deux points distincts d'un espace affine. La droite affine passant par et est l'ensemble des barycentres de et , affectés de coefficients $\lambda$ et $\mu$ tels que $\lambda+\mu\neq 0$ .

Démonstration : La droite passant par

peut être vue comme la droite passant par

de vecteur directeur $\overrightarrow{AB}$ :

$\displaystyle {\cal D} = \{ A+\lambda\overrightarrow{AB} ,\;\lambda\in\mathbb{R} \}\;.$

Soit

une origine quelconque. Le point

appartient à la droite ${\cal D}$ si et seulement si

$\displaystyle \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA}+\lambda\overrightarrow{AB} =(1-\lambda)\overrightarrow{OA}+\lambda\overrightarrow{OB}\;,$

pour un certain réel $\lambda$ . Donc

est le barycentre de

affectés des coefficients $(1-\lambda)$ et $\lambda$ . Réciproquement, si

est le barycentre de

affectés des coefficients $\lambda_1$ et $\lambda_2$ , alors :

$\begin{displaymath} \begin{array}{lcl} \overrightarrow{OM} &=& \displaystyle{\f... ...bda_2}{\lambda_1+\lambda_2} \overrightarrow{AB}\;.} \end{array}\end{displaymath}$

$\square$

De façon analogue, l'ensemble des barycentres de points est le plan passant par ces points.

Proposition 6 Soient trois points non alignés d'un espace affine. Le plan affine contenant , et est l'ensemble des barycentres de , , affectés de coefficients $\lambda$ , $\mu$ , $\nu$ tels que $\lambda+\mu+\nu\neq 0$ .