Combinaisons linéaires et barycentres

Soit $E$ un espace vectoriel, et ${\cal E}$ un espace affine de direction $E$. Rappelons que la combinaison linéaire des $n$ vecteurs $\vec{u}_1,\ldots,\vec{u}_n$ affectés des coefficients réels $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ est le vecteur :

$$\sum_{i=1}^n\lambda_i \vec{u}_i\;.$$

Passons de l'espace vectoriel à l'espace affine, c'est-à-dire des vecteurs aux points. Dès qu'une origine $O$ a été choisie, on peut associer à $n$ points $A_1,\ldots,A_n$ et $n$ réels $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ le point $M$ tel que $\overrightarrow{OM}$ soit la combinaison linéaire :

$$\overrightarrow{OM} = \sum_{i=1}^n\lambda_i \overrightarrow{OA_i}\;.$$

La proposition suivante montre que ce point $M$ ne dépend pas du choix de l'origine, quand la somme des coefficients vaut $1$.

Proposition 4   Soient $A_1,\ldots,A_n$ $n$ points dans un espace affine ${\cal E}$, $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ $n$ réels tels que $\lambda_1+\cdots+\lambda_n=1$. Soit $O$ un point de ${\cal E}$, et $M$ le point défini par :

$$\overrightarrow{OM} = \sum_{i=1}^n\lambda_i \overrightarrow{OA_i}\;.$$

Pour tout point $O'$ de ${\cal E}$,

$$\overrightarrow{O'M} = \sum_{i=1}^n\lambda_i \overrightarrow{O'A_i}\;.$$

Démonstration : Il suffit d'utiliser la relation de Chasles:

$$\displaystyle{\sum_{i=1}^n\lambda_i \overrightarrow{O'A_i}} = \displaystyle{ \sum_{i=1}^n\lambda_i (\overrightarrow{O'O}+\overrightarrow{O'A_i})}$$

$$= \displaystyle{ \left(\sum_{i=1}^n\lambda_i \right)\overrightarrow{O'O}+ \left(\sum_{i=1}^n \lambda_i \overrightarrow{OA_i}\right)}$$

$$= \overrightarrow{O'O}+\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{O'M}\;.$$

$\square$

Vous avez sans doute reconnu dans la proposition précédente la notion de barycentre d'une famille de points affectés de coefficients (ou pondérations). Elle vous a été présentée comme suit.

Définition 8   Soient $A_1,\ldots,A_n$ $n$ points dans un espace affine ${\cal E}$, $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ $n$ réels tels que $\lambda_1+\cdots+\lambda_n\neq 0$. On appelle barycentre des points $A_1,\ldots,A_n$ affectés des pondérations $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ le point $M$ tel que pour tout point $O$ :

$$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{\sum \lambda_i} \left(\sum_{i=1}^n\lambda_i \overrightarrow{OA_i}\right)\;.$$ (1)

En remplaçant $O$ par $M$ dans (1), on obtient

$$\sum_{i=1}^n\lambda_i \overrightarrow{MA_i} = \vec{0}\;.$$

Le barycentre $M$ est le seul point de l'espace tel que la combinaison linéaire des vecteurs $\overrightarrow{MA_i}$ affectés des coefficients $\lambda_i$ soit nulle.

Quand les coefficients $\lambda_i$ sont tous égaux, on parle d'isobarycentre. En physique, la notion de barycentre se réfère à des coefficients tous positifs, que l'on comprend comme des masses placées aux points $A_1,\ldots,A_n$. Le barycentre, ou centre de gravité, est un point d'équilibre pour l'ensemble des masses. Insistons sur le fait que dans la définition 8, les coefficients sont de signe quelconque.

Proposition 5   Soient $A,B$ deux points distincts d'un espace affine. La droite affine passant par $A$ et $B$ est l'ensemble des barycentres de $A$ et $B$, affectés de coefficients $\lambda$ et $\mu$ tels que $\lambda+\mu\neq 0$.

Démonstration : La droite passant par $A$ et $B$ peut être vue comme la droite passant par $A$ de vecteur directeur $\overrightarrow{AB}$:

$${\cal D} = \{ A+\lambda\overrightarrow{AB} ,\;\lambda\in\mathbb{R} \}\;.$$

Soit $O$ une origine quelconque. Le point $M$ appartient à la droite ${\cal D}$ si et seulement si

$$\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA}+\lambda\overrightarrow{AB} =(1-\lambda)\overrightarrow{OA}+\lambda\overrightarrow{OB}\;,$$

pour un certain réel $\lambda$. Donc $M$ est le barycentre de $A$ et $B$ affectés des coefficients $(1-\lambda)$ et $\lambda$. Réciproquement, si $M$ est le barycentre de $A$ et $B$ affectés des coefficients $\lambda_1$ et $\lambda_2$, alors :

$$\begin{array}{lcl} \overrightarrow{OM} &=& \displaystyle{\f... ...bda_2}{\lambda_1+\lambda_2} \overrightarrow{AB}\;.} \end{array}$$

$\square$

De façon analogue, l'ensemble des barycentres de $3$ points est le plan passant par ces $3$ points.

Proposition 6   Soient $A,B,C$ trois points non alignés d'un espace affine. Le plan affine contenant $A$, $B$ et $C$ est l'ensemble des barycentres de $A$, $B$, $C$ affectés de coefficients $\lambda$, $\mu$, $\nu$ tels que $\lambda+\mu+\nu\neq 0$.