Les Sangakus

La bataille de Sekigahara s'est déroulée les 20 et 21 octobre 1600 sous une pluie battante. Elle allait décider de l'avenir du pays pour 2 siècles et demi. Le vainqueur, Ieyasu Tokugawa, s'empara du pouvoir et transféra la capitale dans une petite bourgade tranquille promise à un certain avenir : l'ancienne Edo devint finalement Tokyo. Sous l'ère Edo donc, les dirigeants successifs appliquèrent une stricte politique d'isolement qui permit de maintenir la paix. Commerçants chinois, missionnaires européens, tous ces fauteurs de troubles porteurs d'idées nouvelles n'étaient pas les bienvenus. Ceci engendra le développement de particularités culturelles originales dans tous les domaines, du théâtre à la poésie, en passant par la musique...  et les mathématiques. Certains prirent l'habitude d'accrocher au fronton des temples des planches de bois décorées exposant des énigmes mathématiques, les sangakus. Exposés aux intempéries et à l'indifférence, beaucoup de ces sangakus du XVII^e au XIX^e siècle se sont perdus : environ 800 seulement ont été conservés. Les auteurs viennent de toutes les classes sociales, jeunes ou vieux, hommes ou femmes. Offrande aux Dieux, ex-voto, publicité, ostentation ou simple amusement ? Si le sens religieux ou mystique s'est perdu, en revanche l'intérêt esthétique et la signification mathématique restent parfaitement clairs. Jusque de nos jours, des passionnés affichent encore leurs énigmes, et il en est même qui en proposent sur le web. Ce sont en général des problèmes de géométrie euclidienne, à base de cercles, de carrés et de triangles.

Nous vous proposons celui de la figure 14. Dans un cercle de rayon $R$ on trace 4 cercles dans chacun des quarts du cercle initial, tangents entre eux et au grand cercle. Entre ces 4 cercles, on considère le cercle tangent aux 4, concentrique au grand cercle. Soit $r$ son rayon : quel est le rapport de $r$ à $R$ ? Essayez de jouer le jeu : pas de logiciel de calcul, pas d'équation algébrique, pas de nombres complexes...  Après tout peu importe : faites comme vous voulez, mais trouvez $3-2\sqrt{2}$.

Figure 14: Sangaku du temple d'Isaniwa Jinjya, $107\times 77$ cm (1937)