Exercices

Exercice 1   Soient ${\cal D}_1$ et ${\cal D}_2$ deux droites dans le plan, données par leurs équations implicites ou paramétriques. Déterminer si les droites sont sécantes, parallèles ou confondues. Dans le cas ou elles sont sécantes, donner les coordonnées de leur point d'intersection.

$${\cal D}_1:3x+5y-2=0\;;\quad {\cal D}_2:x-2y+3=0\;.$$

$${\cal D}_1:2x-4y+1=0\;;\quad {\cal D}_2:-5x+10y+3=0\;.$$

$${\cal D}_1: \left \{\begin{array}{lcl} x&=&3+4\lambda\\ y&=&2-\l... ...}_2: \left \{\begin{array}{lcl} x&=&5-\mu\\ y&=&2+3\mu \end{array}\right. \;.$$

$${\cal D}_1: \left \{\begin{array}{lcl} x&=&1+2\lambda\\ y&=&2-3\... ...2: \left \{\begin{array}{lcl} x&=&3-4\mu\\ y&=&-1+6\mu \end{array}\right. \;.$$

$${\cal D}_1:x-2y+3=0 \;;\quad {\cal D}_2: \left \{\begin{array}{lcl} x&=&2+\mu\\ y&=&3-2\mu \end{array}\right. \;.$$

$${\cal D}_1: 3x-2y+1=0 \;;\quad {\cal D}_2: \left \{\begin{array}{lcl} x&=&1-4\mu\\ y&=&2-6\mu \end{array}\right. \;.$$

Exercice 2   Soit $A$ un point du plan, donné par ses coordonnées dans un repère orthonormé $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$. Soit $\vec{u}$ un vecteur non nul, déterminé par ses coordonnées dans la base $(\vec{\imath},\vec{\jmath})$. On considérera les cas suivants.

$$A:(-1,1)\;,\quad \vec{u}:(1,0)\;.$$

$$A:(2,1)\;,\quad \vec{u}:(-3,-1)\;.$$

$$A:(0,1)\;,\quad \vec{u}:(1,2)\;.$$

$$A:(-3,1)\;,\quad \vec{u}:(1,-1)\;.$$

1. Donner des équations paramétriques et implicites de la droite ${\cal D}$ passant par $A$, admettant $\vec{u}$ comme vecteur directeur.
2. Donner des équations paramétriques et implicites de la droite ${\cal D}'$ passant par $A$, et perpendiculaire à ${\cal D}$.

Exercice 3   On considère trois points $A,B,C$ non alignés d'un plan affine. On note ${\cal D}_1$ (respectivement ${\cal D}_2$, ${\cal D}_3$) la droite $(B,C)$ (respectivement $(A,C)$, $(A,B)$).

1. Montrer que $(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ est un repère du plan.
2. Donner les équations des $3$ droites ${\cal D}_1$, ${\cal D}_2$, ${\cal D}_3$, dans le repère $(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$.
3. Donner les équations des $3$ médianes du triangle $ABC$ dans le même repère.
4. Donner les coordonnées de l'isobarycentre de $A,B,C$ dans le même repère, et vérifier qu'il est le point d'intersection des trois médianes.
5. Montrer que $(B,\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})$ est un repère du plan et déterminer l'ensemble des points ayant les mêmes coordonnées dans les deux repères $(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ et
   $(B,\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})$.
6. Soit ${\cal D}$ une droite du plan affine, dont une équation implicite dans le repère $(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ est $ax+by+c$. A quelles conditions portant sur les réels $a,b,c$ la droite ${\cal D}$ est-elle sécante avec les trois droites ${\cal D}_1$, ${\cal D}_2$ et ${\cal D}_3$ ?
   On suppose ces conditions réalisées et on note $I$ (respectivement $J$, $K$) le point d'intersection de ${\cal D}$ avec ${\cal D}_1$ (respectivement ${\cal D}_2$, ${\cal D}_3$).
7. On appelle «diagonales»  les segments $[A,I]$, $[B,J]$, $[C,K]$. Donner les coordonnées des milieux des 3 diagonales dans le repère $(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$, et vérifier que ces trois points sont alignés.

Exercice 4   Soient $A,B,C$ trois points du plan affine, donnés par leurs coordonnées dans un repère $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$. On considérera les cas suivants.

$$A:(0,0)\;,\quad B:(0,1)\;,\quad C:(1,0)\;.$$

$$A:(0,3)\;,\quad B:(-2,0)\;,\quad C:(0,2)\;.$$

$$A:(1,0)\;,\quad B:(-1,0)\;,\quad C:(2,3)\;.$$

$$A:(2,0)\;,\quad B:(-1,4)\;,\quad C:(-4,3)\;.$$

1. Donner des équations paramétriques et implicites des trois droites passant par $(A,B)$, $(A,C)$, $(B,C)$.
2. Donner des équations paramétriques et implicites des trois médianes du triangle $ABC$ et vérifier que l'isobarycentre $G$ de $A,B,C$ est leur point d'intersection.
3. Donner des équations paramétriques et implicites des trois hauteurs du triangle $ABC$. Vérifier qu'elles sont concourantes et donner les coordonnées de leur point d'intersection $H$.
4. Donner des équations paramétriques et implicites des trois médiatrices du triangle $ABC$. Vérifier qu'elles sont concourantes et donner les coordonnées de leur point d'intersection $M$.
5. Vérifier que les trois points $G$, $H$, $M$ sont alignés et que $\overrightarrow{MH}=3\overrightarrow{MG}$.

Exercice 5   Soient $A,B,C,D$ quatre points d'un plan affine. Soient $I,J,K,L,M,N$ les milieux respectifs des segments $[A,B]$, $[B,C]$, $[C,D]$, $[D,A]$, $[A,C]$, $[B,D]$.

1. Montrer que les segments $[I,K]$, $[J,L]$ et $[M,N]$ ont le même milieu.
2. Montrer que le quadrilatère de sommets $I,J,K,L$ est un parallélogramme.

Exercice 6   Dans un plan affine, muni d'un repère orthonormé, on considère deux droites sécantes, ${\cal D}_1$ et ${\cal D}_2$, données par leurs équations implicites:

$$a_1x+b_1y+c_1=0$$   et$$\quad a_2x+b_2y+c_2=0$$

1. Soit $M$ un point équidistant des deux droites ${\cal D}_1$ et ${\cal D}_2$. Quelle équation vérifient les coordonnées $(x,y)$ de $M$ ?
2. En déduire que l'ensemble des points équidistants de ${\cal D}_1$ et ${\cal D}_2$ est la réunion de deux droites $\Delta_1$ et $\Delta_2$, dont on donnera une équation implicite.
3. Vérifier que $\Delta_1$ et $\Delta_2$ sont orthogonales.
4. Pour $i=1,2$, soit $\vec{u}_i$ un vecteur directeur de $D_i$, $\vec{v}_i$ un vecteur directeur de $\Delta_i$. On suppose que ces 4 vecteurs ont tous la même norme. Montrer que :
   $$\vert\vec{u_1}\cdot \vec{v_1}\vert=\vert\vec{u_2}\cdot \vec{v_1}\vert$$   et$$\quad \vert\vec{u_1}\cdot \vec{v_2}\vert=\vert\vec{u_2}\cdot \vec{v_2}\vert$$

5. Donner des équations paramétriques et implicites des droites $\Delta_1$ et $\Delta_2$ dans les cas suivants.
   $${\cal D}_1:x=1\;;\quad {\cal D}_2:y=1\;.$$
   $${\cal D}_1:x+y=2\;;\quad {\cal D}_2:x-y=2\;.$$
   $${\cal D}_1:x+y=2\;;\quad {\cal D}_2:y=1\;.$$
   $${\cal D}_1:2x+y=3\;;\quad {\cal D}_2:x-2y=-1\;.$$

Exercice 7   Soit $a,b$ deux réels. Soit $D_{1}$ la droite d'équation $2x+ay-1=0$ et $D_{2}$ la droite d'équations paramétriques $x=b-\lambda$, $y=\lambda$, $\lambda\in\mathbb{R}$. Discuter suivant les valeurs de $a$ et $b$ si $D_{1}$ et $D_{2}$ sont sécantes, parallèles ou confondues.

Exercice 8   On considère le triangle $ABC$ dont les côtés ont pour équations $(AB) : x + 2y = 3$, $(AC) : x + y = 2$, $(BC) : 2x + 3y = 4$.

1. Donnez les coordonnées des points $A,B,C$.
2. Donnez les coordonnées des milieux $A' , B' , C'$ de $(BC )$, $(AC )$ et $(AB)$ respectivement.
3. Donnez une équation de chaque médiane et vérifiez qu'elles sont concourantes.

Exercice 9   Soit $A$ un point donné par ses coordonnées dans un repère orthonormé $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$. Soit $\vec{u}$ un vecteur non nul donné par ses coordonnées dans la base $(\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$. On considérera les cas suivants.

$$A:(1,0,0)\;,\quad \vec{u}:(1,1,1)\;.$$

$$A:(1,-1,1)\;,\quad \vec{u}:(1,1,1)\;.$$

$$A:(1,0,0)\;,\quad \vec{u}:(1,-1,1)\;.$$

$$A:(1,2,3)\;,\quad \vec{u}:(3,2,1)\;.$$

1. Donner des équations paramétriques et implicites pour la droite ${\cal D}$, de vecteur directeur $\vec{u}$, passant par $A$.
2. Donner des équations paramétriques et implicites pour le plan ${\cal P}$ passant par $A$ et orthogonal à ${\cal D}$.
3. Calculer la distance de $O$ à ${\cal P}$ et de $O$ à ${\cal D}$.

Exercice 10   Soient $A,B,C,D$ quatre points d'un espace affine de dimension $3$, muni d'un repère orthonormé $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$. Les points sont donnés par leur coordonnées. On considérera les cas suivants.

$$A:(0,0,0)\;,\quad B:(1,0,0)\;,\quad C:(0,1,0)\;,\quad D:(0,0,1)\;.$$

$$A:(0,0,0)\;,\quad B:(1,0,0)\;,\quad C:(1,1,0)\;,\quad D:(1,1,1)\;.$$

$$A:(1,0,0)\;,\quad B:(1,2,-1)\;,\quad C:(-1,1,2)\;,\quad D:(2,-1,1)\;.$$

$$A:(1,2,3)\;,\quad B:(1,3,2)\;,\quad C:(3,1,2)\;,\quad D:(3,3,3)\;.$$

1. Vérifier que $(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})$ est un repère.
2. On pose $A'=A+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}$. Calculer les coordonnées de $A'$. Vérifier que $(A',\overrightarrow{A'B},\overrightarrow{A'C},\overrightarrow{A'D})$ est un repère.
3. Donner les coordonnées de $A'$ dans le repère $(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})$.
4. Déterminer des équations paramétriques et implicites des $3$ plans, contenant respectivement $(A,B,C)$, $(A,B,D)$, $(A,C,D)$, dans le repère $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$.
5. Déterminer des équations paramétriques et implicites des $3$ plans, contenant respectivement $(A,B,C)$, $(A,B,D)$, $(A,C,D)$, dans le repère $(A',\overrightarrow{A'B},\overrightarrow{A'C},\overrightarrow{A'D})$.
6. En supposant le repère $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$ orthonormé, calculer la distance de $A'$ à chacun des trois plans de la question précédente.
7. Calculer la distance de $A'$ à chacune des $3$ droites, contenant respectivement $(A,B)$, $(A,C)$, $(A,D)$.
8. Reprendre les questions 3 à 7 en échangeant les rôles de $A$ et $A'$.

Exercice 11   Soient ${\cal P}_1$ et ${\cal P}_2$ deux plans non parallèles et $A$ un point n'appartenant ni à ${\cal P}_1$ ni à ${\cal P}_2$ dans un espace de dimension $3$, muni d'un repère orthonormé. Les deux plans sont donnés par des équations implicites et $A$ par ses coordonnées. On note ${\cal D}$ la droite intersection de ${\cal P}_1$ et ${\cal P}_2$. On considérera les cas suivants.

$${\cal P}_1: z=0 \;;\quad {\cal P}_2: y=0 \;,\quad A:(1,1,1)\;.$$

$${\cal P}_1: x+y=0 \;;\quad {\cal P}_2: x+z+1=0 \;,\quad A:(1,1,1)\;.$$

$${\cal P}_1: x+y+z+2=0 \;;\quad {\cal P}_2: 2x-y+3z-4=0 \;,\quad A:(2,1,0)\;.$$

$${\cal P}_1: 2x+y-z-2=0 \;;\quad {\cal P}_2: x+3y+7z-11=0 \;,\quad A:(1,2,1)\;.$$

$${\cal P}_1: 2x-y+1=0 \;;\quad {\cal P}_2: 3y-z-2=0 \;,\quad A:(3,-1,2)\;.$$

$${\cal P}_1: x+y+z-1=0 \;;\quad {\cal P}_2: -x+y-z+1=0 \;,\quad A:(1,1,2)\;.$$

1. Vérifier que ${\cal P}_1$ et ${\cal P}_2$ ne sont pas parallèles.
2. Donner des équations paramétriques de ${\cal P}_1$ et ${\cal P}_2$.
3. Donner des équations paramétriques de ${\cal D}$.
4. Donner des équations paramétriques et implicites de la droite orthogonale à ${\cal P}_1$ passant par $A$.
5. Donner des équations paramétriques et implicites de la droite orthogonale à ${\cal P}_2$ passant par $A$.
6. Donner des équations paramétriques et implicites du plan orthogonal à ${\cal D}$ passant par $A$.
7. Calculer la distance de $A$ à ${\cal P}_1$, puis à ${\cal P}_2$, puis à ${\cal D}$.

Exercice 12   Soient $\vec{u},\vec{v},\vec{w}$, trois vecteurs déterminés par leurs coordonnées dans un repère orthonormé $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$. On considérera les cas suivants.

$$\vec{u}:(1,0,0) \;,\quad \vec{v}:(1,1,0) \;,\quad \vec{w}:(1,1,1)\;.$$

$$\vec{u}:(0,2,2) \;,\quad \vec{v}:(1,0,1) \;,\quad \vec{w}:(1,2,0)\;.$$

$$\vec{u}:(0,2,1) \;,\quad \vec{v}:(2,1,-1) \;,\quad \vec{w}:(-1,2,1)\;.$$

$$\vec{u}:(1,1,-2) \;,\quad \vec{v}:(1,-2,1) \;,\quad \vec{w}:(-2,1,1)\;.$$

$$\vec{u}:(1,2,3) \;,\quad \vec{v}:(4,5,6) \;,\quad \vec{w}:(7,8,9)\;.$$

$$\vec{u}:(1,-3,2) \;,\quad \vec{v}:(-5,3,4) \;,\quad \vec{w}:(-2,3,-1)\;.$$

1. Calculer les trois produits scalaires $\vec{u}\cdot\vec{v}$, $\vec{u}\cdot\vec{w}$, $\vec{v}\cdot\vec{w}$.
2. Calculer les trois produits vectoriels $\vec{u}\wedge \vec{v}$, $\vec{u}\wedge\vec{w}$, $\vec{v}\wedge\vec{w}$.
3. Calculer les trois produits scalaires $\vec{u}\cdot(\vec{v}\wedge\vec{w})$, $\vec{v}\cdot(\vec{w}\wedge\vec{u})$, $\vec{w}\cdot(\vec{u}\wedge\vec{v})$.
4. Calculer le déterminant Det$(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ par la règle de Sarrus.

Exercice 13   Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt. Soient $\vec{u},\vec{v},\vec{w}$, trois vecteurs non coplanaires, donnés par leurs coordonnées dans un repère orthonormé
$(O,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$. On considérera les cas suivants.

$$\vec{u}:(1,0,0) \;,\quad \vec{v}:(1,1,0) \;,\quad \vec{w}:(1,1,1)\;.$$

$$\vec{u}:(0,2,2) \;,\quad \vec{v}:(1,0,1) \;,\quad \vec{w}:(1,2,0)\;.$$

$$\vec{u}:(0,2,1) \;,\quad \vec{v}:(2,1,-1) \;,\quad \vec{w}:(-1,2,1)\;.$$

$$\vec{u}:(1,-3,2) \;,\quad \vec{v}:(-5,3,4) \;,\quad \vec{w}:(-2,3,-1)\;.$$

1. Calculer $\Vert\vec{u}\Vert$. On pose $\vec{u}'=(1/\Vert\vec{u}\Vert)\vec{u}$. Calculer les coordonnées de $\vec{u}'$.
2. On pose :
   $$\vec{v}_1= \vec{v}-(\vec{u}'\cdot\vec{v}) \vec{u}'\;,$$
   puis $\vec{v}'=(1/\Vert\vec{v}_1\Vert)\vec{v}_1$. Calculer les coordonnées de $\vec{v}'$.
3. On pose :
   $$\overrightarrow{w_1}= \vec{w}-(\vec{u}'\cdot\vec{w}) \vec{u}' -(\vec{v}'\cdot\vec{w}) \vec{v}'\;,$$
   puis $\vec{w}'=(1/\Vert\overrightarrow{w_1}\Vert)\overrightarrow{w_1}$. Calculer les coordonnées de $\vec{w}'$.
4. Vérifier que $(\vec{u}',\vec{v}', \vec{w}')$ est une base orthonormée.
5. Démontrer que si $(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ est une base quelconque de l'espace vectoriel, alors $(\vec{u}',\vec{v}', \vec{w}')$ est une base orthonormée.

Exercice 14   Soit $A$ un point d'un espace de dimension $3$, donné par ses coordonnées dans un repère orthonormé $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$. On considérera les cas suivants.

$$A:(1,0,0)\;,\quad A:(0,1,0)\;,\quad A:(0,0,1)\;,\quad A:(-1,0,0)\;,$$

$$A:(1,0,1)\;,\quad A:(1,1,0)\;,\quad A:(1,1,\sqrt{2})\;, \quad A:(-1,1,-\sqrt{2})\;,$$

$$A:(1,1,-\sqrt{6})\;,\quad A:(1,\sqrt{3},-2)\;, \quad A:(-\sqrt{3},1,2)\;,\quad A:(-\sqrt{3},\sqrt{3},-\sqrt{2})\;.$$

1. Donner les coordonnées cylindriques de $A$.
2. Donner les coordonnées sphériques de $A$.