Vrai ou faux

Vrai-Faux 1   Soit $\vec{u}$ un vecteur non nul dans un espace vectoriel et $A$ un point d'un espace affine associé. On pose $B=A+\vec{u}$ et $C=A-\vec{u}$. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\square\;$ Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont égaux.
2. $\boxtimes\;$ Les vecteurs $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont égaux.
3. $\square\;$ $(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ est un repère affine.
4. $\boxtimes\;$ $(A,\overrightarrow{AB})$ est un repère affine de la droite passant par $B$ et $C$.
5. $\square\;$ Le point $B$ est le milieu du segment $[AC]$.
6. $\boxtimes\;$ Le point $B$ est un barycentre de $A$ et $C$.
7. $\boxtimes\;$ Le point $A$ est l'isobarycentre de $B$ et $C$.
8. $\square\;$ $C=B+2\vec{u}$.
9. $\boxtimes\;$ $A= C+\frac{1}{2} \overrightarrow{CB}$.
10. $\boxtimes\;$ $\overrightarrow{AB}=-\vec{u}+2\overrightarrow{CA}$.

Vrai-Faux 2   Soient $A,B,C$ trois points d'un plan affine ${\cal P}$. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ Si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ forment une famille libre, alors $(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ est un repère de ${\cal P}$.
2. $\square\;$ Si $B\neq C$ alors $(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ est un repère de ${\cal P}$.
3. $\boxtimes\;$ Si $(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ est un repère de ${\cal P}$, alors $(C,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ est un repère de ${\cal P}$.
4. $\boxtimes\;$ Si $(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ est un repère de ${\cal P}$, alors $(C,\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AB})$ est un repère de ${\cal P}$.
5. $\square\;$ $(B,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA})$ est un repère de ${\cal P}$.
6. $\square\;$ Si $(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ est un repère de ${\cal P}$, alors $C$ est un barycentre de $A$ et $B$.
7. $\boxtimes\;$ $(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ est un repère de ${\cal P}$, si et seulement si $C$ n'est pas un barycentre de $A$ et $B$.
8. $\boxtimes\;$ L'isobarycentre de $A,B,C$ appartient à une droite passant par $C$ et le milieu du segment $[A,B]$.
9. $\square\;$ L'isobarycentre de $A,B,C$ appartient à une droite passant par $B$ et le milieu du segment $[A,B]$.
10. $\boxtimes\;$ L'isobarycentre de $A,B,C$ appartient à la droite joignant $B$ au milieu du segment $[A,B]$ si et seulement si $(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ n'est pas un repère de ${\cal P}$.

Vrai-Faux 3   On note ${\cal F}$ l'ensemble des points $M$ d'un espace affine ${\cal E}$ de dimension $3$ dont les coordonnées $(x,y,z)$ dans un repère $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$ de ${\cal E}$ vérifient $x+2y+3=0$. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\square\;$ ${\cal F}$ est une droite affine.
2. $\square\;$ ${\cal F}$ contient le point $O$.
3. $\boxtimes\;$ Si ${\cal F}$ contient un point $M$, alors il contient le point $M+\vec{k}$.
4. $\boxtimes\;$ $\vec{k}$ appartient à l'espace vectoriel associé à ${\cal F}$.
5. $\square\;$ $\vec{\imath}+2\vec{\jmath}$ appartient au plan vectoriel associé à ${\cal F}$.
6. $\boxtimes\;$ $2\vec{\imath}-\vec{\jmath}-3\vec{k}$ appartient au plan vectoriel associé à ${\cal F}$.
7. $\boxtimes\;$ $(2\vec{\imath}-\vec{\jmath},3\vec{k})$ est une base du plan vectoriel associé à ${\cal F}$.
8. $\square\;$ $(2\vec{\imath}-\vec{\jmath}+3\vec{k}, -4\vec{\imath}+2\vec{\jmath}-6\vec{k})$ est une base du plan vectoriel associé à ${\cal F}$.

Vrai-Faux 4   On considère un espace vectoriel $E$, muni d'un repère orthonormé. Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de $E$. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\square\;$ Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux, alors $(\vec{u},\vec{v})$ est une famille libre dans $E$.
2. $\square\;$ Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, alors $\vec{u}\cdot\vec{v}= \Vert\vec{u}\Vert \Vert\vec{v}\Vert$.
3. $\boxtimes\;$ Si $\Vert\vec{u}\Vert=\Vert\vec{v}\Vert$ et $\vec{u}\cdot\vec{v}= \Vert\vec{u}\Vert^2$, alors $\vec{u}=\vec{v}$.
4. $\square\;$ $\vec{u}\cdot(\vec{u}-\vec{v}) =\Vert\vec{u}\Vert^2-\Vert\vec{v}\Vert^2$
5. $\square\;$ $(\vec{v}-\vec{u}) \cdot(\vec{u}-\vec{v}) =\Vert\vec{u}\Vert^2-\Vert\vec{v}\Vert^2$
6. $\boxtimes\;$ $(\vec{u}+\vec{v}) \cdot(\vec{u}-\vec{v}) =\Vert\vec{u}\Vert^2-\Vert\vec{v}\Vert^2$
7. $\boxtimes\;$ $\vec{u}+\vec{v}$ et $\vec{u}-\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $\Vert\vec{u}\Vert=\Vert\vec{v}\Vert$.
8. $\square\;$ Si $\Vert\vec{u}-\vec{v}\Vert=0$ alors $\Vert\vec{u}\Vert=\Vert\vec{v}\Vert=0$.
9. $\boxtimes\;$ Si $\Vert\vec{u}+\vec{v}\Vert=0$ alors $\Vert\vec{u}\Vert=\Vert\vec{v}\Vert$.

Vrai-Faux 5   Dans un espace affine euclidien de dimension $3$, que l'on munit d'un repère orthonormé $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$, on note ${\cal P}$ le plan d'équation implicite $2x+2y+z+3=0$, et $H$ la projection orthogonale de $O$ sur ${\cal P}$. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\square\;$ $O\in {\cal P}$.
2. $\square\;$le vecteur de coordonnées $(2,2,1)$ appartient à l'espace vectoriel associé à ${\cal P}$.
3. $\boxtimes\;$ Toute droite de vecteur directeur $(2,2,1)$ est perpendiculaire à ${\cal P}$.
4. $\square\;$ $H$ est le point de coordonnées $(2,2,1)$.
5. $\boxtimes\;$ La distance de $O$ à ${\cal P}$ est la norme du vecteur $\overrightarrow{OH}$.
6. $\boxtimes\;$ La distance de $O$ à ${\cal P}$ vaut $1$.
7. $\boxtimes\;$ Le vecteur de coordonnées $(1,0,-2)$ appartient à l'espace vectoriel associé à ${\cal P}$.
8. $\square\;$ La distance de $O$ à la droite passant par $H$ dont un vecteur directeur a pour coordonnées $(1,0,-2)$ est strictement supérieure à $1$.
9. $\square\;$ Il existe une droite dans ${\cal P}$ telle que la distance de $O$ à cette droite soit strictement inférieure à $1$.

Vrai-Faux 6   On considère deux plans ${\cal P}_1$ et ${\cal P}_2$ dans un espace affine de dimension $3$. On note $P_1$ et $P_2$ les plans vectoriels associés. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ L'intersection de ${\cal P}_1$ et ${\cal P}_2$ est une droite affine si et seulement si $P_1$ et $P_2$ sont distincts.
2. $\boxtimes\;$ Si ${\cal P}_1\cap {\cal P}_2=\emptyset$, alors la distance à ${\cal P}_2$ d'un point $M$ de ${\cal P}_1$ ne dépend pas de $M$.
3. $\square\;$ Il se peut que tout vecteur de $P_1$ soit orthogonal à tout vecteur de $P_2$.
4. $\square\;$ Si $P_2$ contient l'ensemble des vecteurs orthogonaux à $P_1$ alors ${\cal P}_1$ et ${\cal P}_2$ sont parallèles ou confondus.
5. $\boxtimes\;$ Si $P_2$ contient l'ensemble des vecteurs orthogonaux à $P_1$ alors $P_1$ contient l'ensemble des vecteurs orthogonaux à $P_2$.
6. $\square\;$ S'il existe deux droites perpendiculaires, une dans ${\cal P}_1$, l'autre dans ${\cal P}_2$, alors $P_1$ contient l'ensemble des vecteurs orthogonaux à $P_2$.
7. $\boxtimes\;$ Si ${\cal P}_1\cap {\cal P}_2\neq \emptyset$, alors pour toute droite de ${\cal P}_1$, il existe une droite de ${\cal P}_2$, telle que ces deux droites sont perpendiculaires.

Vrai-Faux 7   Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs quelconques dans un espace vectoriel de dimension $3$. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ $\vec{u}\cdot(\vec{u}\wedge\vec{v})=0$.
2. $\square\;$ Si $(\vec{u}-\vec{v})\wedge (\vec{u}-\vec{v})=\vec{0}$ alors $\vec{u}=\vec{v}$.
3. $\boxtimes\;$ Si $\Vert\vec{u}\wedge\vec{v}\Vert= \Vert\vec{u}\Vert \Vert\vec{v}\Vert$ alors $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$.
4. $\boxtimes\;$ Si $\vec{u}\wedge(\vec{u}\wedge\vec{v})$ est colinéaire à $\vec{v}$, alors $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$.
5. $\square\;$ Si $\vec{u}\wedge(\vec{u} \wedge\vec{v})=\vec{0}$, alors $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$.
6. $\boxtimes\;$ Si $\vec{u}\wedge(\vec{u} \wedge\vec{v})=\vec{0}$, alors $\vec{u}\wedge\vec{v}=\vec{0}$.
7. $\square\;$ Si $\vec{u}\cdot\vec{v}= \Vert\vec{u}\Vert \Vert\vec{v}\Vert$ alors $\vec{u}\wedge\vec{v}= \Vert\vec{u}\Vert \vec{v}$.
8. $\boxtimes\;$ Si $\vec{u}\cdot\vec{v}= \Vert\vec{u}\Vert \Vert\vec{v}\Vert$ alors $\vec{u}\wedge\vec{v}=\vec{0}$.

Vrai-Faux 8   Soient $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ trois vecteurs quelconques dans un espace vectoriel de dimension $3$. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ Det$(\vec{u},\vec{v},\vec{w}) =$Det$(\vec{w},\vec{u},\vec{v})$.
2. $\square\;$ Det$(\vec{u},\vec{v},\vec{w}) =$Det$(\vec{w},\vec{v},\vec{u})$.
3. $\boxtimes\;$ Det$(\vec{u}+\vec{v}, \vec{v},\vec{w}) =$Det$(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$.
4. $\boxtimes\;$ Det$(\vec{u}+\vec{v}, \vec{v},\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}) =$Det$(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$.
5. $\square\;$ Det$(\vec{u}+\vec{v},\vec{v}+ \vec{w},\vec{u}+2\vec{v}+\vec{w}) =$Det$(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$.
6. $\boxtimes\;$ Det$(\vec{u}+2\vec{v}, \vec{v},\vec{u}+2\vec{v}+\vec{w}) =$Det$(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$.
7. $\boxtimes\;$ Det$(\vec{u}+\vec{v}, \vec{v}+\vec{w}, \vec{u}+\vec{w}) =2$Det$(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$.