Vrai ou faux

Vrai-Faux 1   Soit $ \vec{u}$ un vecteur non nul dans un espace vectoriel et $ A$ un point d'un espace affine associé. On pose $ B=A+\vec{u}$ et $ C=A-\vec{u}$. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?
  1. $ \square\;$ Les vecteurs $ \overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{AC}$ sont égaux.
  2. $ \boxtimes\;$ Les vecteurs $ \overrightarrow{BA}$ et $ \overrightarrow{AC}$ sont égaux.
  3. $ \square\;$ $ (A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ est un repère affine.
  4. $ \boxtimes\;$ $ (A,\overrightarrow{AB})$ est un repère affine de la droite passant par $ B$ et $ C$.
  5. $ \square\;$ Le point $ B$ est le milieu du segment $ [AC]$.
  6. $ \boxtimes\;$ Le point $ B$ est un barycentre de $ A$ et $ C$.
  7. $ \boxtimes\;$ Le point $ A$ est l'isobarycentre de $ B$ et $ C$.
  8. $ \square\;$ $ C=B+2\vec{u}$.
  9. $ \boxtimes\;$ $ A= C+\frac{1}{2} \overrightarrow{CB}$.
  10. $ \boxtimes\;$ $ \overrightarrow{AB}=-\vec{u}+2\overrightarrow{CA}$.

Vrai-Faux 2   Soient $ A,B,C$ trois points d'un plan affine $ {\cal P}$. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$ Si les vecteurs $ \overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{AC}$ forment une famille libre, alors $ (A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ est un repère de $ {\cal P}$.
  2. $ \square\;$ Si $ B\neq C$ alors $ (A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ est un repère de $ {\cal P}$.
  3. $ \boxtimes\;$ Si $ (A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ est un repère de $ {\cal P}$, alors $ (C,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ est un repère de $ {\cal P}$.
  4. $ \boxtimes\;$ Si $ (A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ est un repère de $ {\cal P}$, alors $ (C,\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AB})$ est un repère de $ {\cal P}$.
  5. $ \square\;$ $ (B,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA})$ est un repère de $ {\cal P}$.
  6. $ \square\;$ Si $ (A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ est un repère de $ {\cal P}$, alors $ C$ est un barycentre de $ A$ et $ B$.
  7. $ \boxtimes\;$ $ (A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ est un repère de $ {\cal P}$, si et seulement si $ C$ n'est pas un barycentre de $ A$ et $ B$.
  8. $ \boxtimes\;$ L'isobarycentre de $ A,B,C$ appartient à une droite passant par $ C$ et le milieu du segment $ [A,B]$.
  9. $ \square\;$ L'isobarycentre de $ A,B,C$ appartient à une droite passant par $ B$ et le milieu du segment $ [A,B]$.
  10. $ \boxtimes\;$ L'isobarycentre de $ A,B,C$ appartient à la droite joignant $ B$ au milieu du segment $ [A,B]$ si et seulement si $ (A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ n'est pas un repère de $ {\cal P}$.

Vrai-Faux 3   On note $ {\cal F}$ l'ensemble des points $ M$ d'un espace affine $ {\cal E}$ de dimension $ 3$ dont les coordonnées $ (x,y,z)$ dans un repère $ (O,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$ de $ {\cal E}$ vérifient $ x+2y+3=0$. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?
  1. $ \square\;$ $ {\cal F}$ est une droite affine.
  2. $ \square\;$ $ {\cal F}$ contient le point $ O$.
  3. $ \boxtimes\;$ Si $ {\cal F}$ contient un point $ M$, alors il contient le point $ M+\vec{k}$.
  4. $ \boxtimes\;$ $ \vec{k}$ appartient à l'espace vectoriel associé à $ {\cal F}$.
  5. $ \square\;$ $ \vec{\imath}+2\vec{\jmath}$ appartient au plan vectoriel associé à $ {\cal F}$.
  6. $ \boxtimes\;$ $ 2\vec{\imath}-\vec{\jmath}-3\vec{k}$ appartient au plan vectoriel associé à $ {\cal F}$.
  7. $ \boxtimes\;$ $ (2\vec{\imath}-\vec{\jmath},3\vec{k})$ est une base du plan vectoriel associé à $ {\cal F}$.
  8. $ \square\;$ $ (2\vec{\imath}-\vec{\jmath}+3\vec{k},
-4\vec{\imath}+2\vec{\jmath}-6\vec{k})$ est une base du plan vectoriel associé à $ {\cal F}$.

Vrai-Faux 4   On considère un espace vectoriel $ E$, muni d'un repère orthonormé. Soient $ \vec{u}$ et $ \vec{v}$ deux vecteurs de $ E$. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?
  1. $ \square\;$ Si $ \vec{u}$ et $ \vec{v}$ sont orthogonaux, alors $ (\vec{u},\vec{v})$ est une famille libre dans $ E$.
  2. $ \square\;$ Si $ \vec{u}$ et $ \vec{v}$ sont colinéaires, alors $ \vec{u}\cdot\vec{v}=
\Vert\vec{u}\Vert \Vert\vec{v}\Vert$.
  3. $ \boxtimes\;$ Si $ \Vert\vec{u}\Vert=\Vert\vec{v}\Vert$ et $ \vec{u}\cdot\vec{v}=
\Vert\vec{u}\Vert^2$, alors $ \vec{u}=\vec{v}$.
  4. $ \square\;$ $ \vec{u}\cdot(\vec{u}-\vec{v})
=\Vert\vec{u}\Vert^2-\Vert\vec{v}\Vert^2$
  5. $ \square\;$ $ (\vec{v}-\vec{u})
\cdot(\vec{u}-\vec{v})
=\Vert\vec{u}\Vert^2-\Vert\vec{v}\Vert^2$
  6. $ \boxtimes\;$ $ (\vec{u}+\vec{v})
\cdot(\vec{u}-\vec{v})
=\Vert\vec{u}\Vert^2-\Vert\vec{v}\Vert^2$
  7. $ \boxtimes\;$ $ \vec{u}+\vec{v}$ et $ \vec{u}-\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $ \Vert\vec{u}\Vert=\Vert\vec{v}\Vert$.
  8. $ \square\;$ Si $ \Vert\vec{u}-\vec{v}\Vert=0$ alors $ \Vert\vec{u}\Vert=\Vert\vec{v}\Vert=0$.
  9. $ \boxtimes\;$ Si $ \Vert\vec{u}+\vec{v}\Vert=0$ alors $ \Vert\vec{u}\Vert=\Vert\vec{v}\Vert$.

Vrai-Faux 5   Dans un espace affine euclidien de dimension $ 3$, que l'on munit d'un repère orthonormé $ (O,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$, on note $ {\cal P}$ le plan d'équation implicite $ 2x+2y+z+3=0$, et $ H$ la projection orthogonale de $ O$ sur $ {\cal P}$. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?
  1. $ \square\;$ $ O\in {\cal P}$.
  2. $ \square\;$le vecteur de coordonnées $ (2,2,1)$ appartient à l'espace vectoriel associé à $ {\cal P}$.
  3. $ \boxtimes\;$ Toute droite de vecteur directeur $ (2,2,1)$ est perpendiculaire à $ {\cal P}$.
  4. $ \square\;$ $ H$ est le point de coordonnées $ (2,2,1)$.
  5. $ \boxtimes\;$ La distance de $ O$ à $ {\cal P}$ est la norme du vecteur $ \overrightarrow{OH}$.
  6. $ \boxtimes\;$ La distance de $ O$ à $ {\cal P}$ vaut $ 1$.
  7. $ \boxtimes\;$ Le vecteur de coordonnées $ (1,0,-2)$ appartient à l'espace vectoriel associé à $ {\cal P}$.
  8. $ \square\;$ La distance de $ O$ à la droite passant par $ H$ dont un vecteur directeur a pour coordonnées $ (1,0,-2)$ est strictement supérieure à $ 1$.
  9. $ \square\;$ Il existe une droite dans $ {\cal P}$ telle que la distance de $ O$ à cette droite soit strictement inférieure à $ 1$.

Vrai-Faux 6   On considère deux plans $ {\cal P}_1$ et $ {\cal P}_2$ dans un espace affine de dimension $ 3$. On note $ P_1$ et $ P_2$ les plans vectoriels associés. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$ L'intersection de $ {\cal P}_1$ et $ {\cal P}_2$ est une droite affine si et seulement si $ P_1$ et $ P_2$ sont distincts.
  2. $ \boxtimes\;$ Si $ {\cal P}_1\cap {\cal P}_2=\emptyset$, alors la distance à $ {\cal P}_2$ d'un point $ M$ de $ {\cal P}_1$ ne dépend pas de $ M$.
  3. $ \square\;$ Il se peut que tout vecteur de $ P_1$ soit orthogonal à tout vecteur de $ P_2$.
  4. $ \square\;$ Si $ P_2$ contient l'ensemble des vecteurs orthogonaux à $ P_1$ alors $ {\cal P}_1$ et $ {\cal P}_2$ sont parallèles ou confondus.
  5. $ \boxtimes\;$ Si $ P_2$ contient l'ensemble des vecteurs orthogonaux à $ P_1$ alors $ P_1$ contient l'ensemble des vecteurs orthogonaux à $ P_2$.
  6. $ \square\;$ S'il existe deux droites perpendiculaires, une dans $ {\cal P}_1$, l'autre dans $ {\cal P}_2$, alors $ P_1$ contient l'ensemble des vecteurs orthogonaux à $ P_2$.
  7. $ \boxtimes\;$ Si $ {\cal P}_1\cap {\cal P}_2\neq \emptyset$, alors pour toute droite de $ {\cal P}_1$, il existe une droite de $ {\cal P}_2$, telle que ces deux droites sont perpendiculaires.

Vrai-Faux 7   Soient $ \vec{u}$ et $ \vec{v}$ deux vecteurs quelconques dans un espace vectoriel de dimension $ 3$. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$ $ \vec{u}\cdot(\vec{u}\wedge\vec{v})=0$.
  2. $ \square\;$ Si $ (\vec{u}-\vec{v})\wedge
(\vec{u}-\vec{v})=\vec{0}$ alors $ \vec{u}=\vec{v}$.
  3. $ \boxtimes\;$ Si $ \Vert\vec{u}\wedge\vec{v}\Vert=
\Vert\vec{u}\Vert \Vert\vec{v}\Vert$ alors $ \vec{u}\cdot\vec{v}=0$.
  4. $ \boxtimes\;$ Si $ \vec{u}\wedge(\vec{u}\wedge\vec{v})$ est colinéaire à $ \vec{v}$, alors $ \vec{u}\cdot\vec{v}=0$.
  5. $ \square\;$ Si $ \vec{u}\wedge(\vec{u}
\wedge\vec{v})=\vec{0}$, alors $ \vec{u}\cdot\vec{v}=0$.
  6. $ \boxtimes\;$ Si $ \vec{u}\wedge(\vec{u}
\wedge\vec{v})=\vec{0}$, alors $ \vec{u}\wedge\vec{v}=\vec{0}$.
  7. $ \square\;$ Si $ \vec{u}\cdot\vec{v}=
\Vert\vec{u}\Vert \Vert\vec{v}\Vert$ alors $ \vec{u}\wedge\vec{v}=
\Vert\vec{u}\Vert \vec{v}$.
  8. $ \boxtimes\;$ Si $ \vec{u}\cdot\vec{v}=
\Vert\vec{u}\Vert \Vert\vec{v}\Vert$ alors $ \vec{u}\wedge\vec{v}=\vec{0}$.

Vrai-Faux 8   Soient $ \vec{u}$, $ \vec{v}$ et $ \vec{w}$ trois vecteurs quelconques dans un espace vectoriel de dimension $ 3$. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$ Det$ (\vec{u},\vec{v},\vec{w})
=$Det$ (\vec{w},\vec{u},\vec{v})$.
  2. $ \square\;$ Det$ (\vec{u},\vec{v},\vec{w})
=$Det$ (\vec{w},\vec{v},\vec{u})$.
  3. $ \boxtimes\;$ Det$ (\vec{u}+\vec{v},
\vec{v},\vec{w})
=$Det$ (\vec{u},\vec{v},\vec{w})$.
  4. $ \boxtimes\;$ Det$ (\vec{u}+\vec{v},
\vec{v},\vec{u}+\vec{v}+\vec{w})
=$Det$ (\vec{u},\vec{v},\vec{w})$.
  5. $ \square\;$ Det$ (\vec{u}+\vec{v},\vec{v}+
\vec{w},\vec{u}+2\vec{v}+\vec{w})
=$Det$ (\vec{u},\vec{v},\vec{w})$.
  6. $ \boxtimes\;$ Det$ (\vec{u}+2\vec{v},
\vec{v},\vec{u}+2\vec{v}+\vec{w})
=$Det$ (\vec{u},\vec{v},\vec{w})$.
  7. $ \boxtimes\;$ Det$ (\vec{u}+\vec{v},
\vec{v}+\vec{w},
\vec{u}+\vec{w})
=2$Det$ (\vec{u},\vec{v},\vec{w})$.


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