Approximation des réels

Nous définissons d'abord les outils de base de l'approximation que sont la valeur absolue, la distance et la partie entière.

La valeur absolue d'un réel $x$, notée $\vert x\vert$, est $\max \{x,-x\}$. Elle est égale à $x$ si $x$ est positif, $-x$ si $x$ est négatif.

Si $x$ et $y$ sont deux réels quelconques, la valeur absolue du produit $xy$ est le produit des valeurs absolues ; $\vert xy\vert=\vert x\vert\vert y\vert$. Par contre, on peut seulement encadrer la valeur absolue de la somme.

Proposition 5   Soient $x$ et $y$ deux réels quelconques. La valeur absolue de leur somme est majorée par la somme des valeurs absolues, et minorée par la différence des valeurs absolues.

$$\forall x,y\in \mathbb{R}\;,\quad \big\vert \vert x\vert-\vert y\vert \big\vert\leqslant \vert x+y\vert\leqslant \vert x\vert+\vert y\vert\;.$$ (1)

Démonstration : Quitte à échanger $x$ et $y$, nous pouvons supposer sans perte de généralité que $\vert x\vert\geqslant \vert y\vert$. Si l'un des deux est nul, alors les inégalités sont vérifiées : ce sont des égalités. Sinon, il suffit d'examiner les 4 cas possibles selon le signe de $x$ et $y$.

1. $x>0$ et $y>0$ : $\vert x+y\vert=x+y=\vert x\vert+\vert y\vert>\vert x\vert-\vert y\vert$
2. $x>0$ et $y<0$ : $\vert x+y\vert=x+y=\vert x\vert-\vert y\vert<\vert x\vert+\vert y\vert$
3. $x<0$ et $y>0$ : $\vert x+y\vert=-x-y=\vert x\vert-\vert y\vert<\vert x\vert+\vert y\vert$
4. $x<0$ et $y<0$ : $\vert x+y\vert=-x-y=\vert x\vert+\vert y\vert>\vert x\vert-\vert y\vert$

Observez que dans tous les cas, l'une des deux inégalités est une égalité, mais ce n'est pas toujours la même.$\square$ En remplaçant $y$ par $-y$, on obtient le même encadrement pour la valeur absolue d'une différence.

$$\big\vert \vert x\vert-\vert y\vert \big\vert \leqslant \vert x-y\vert\leqslant \vert x\vert+\vert y\vert$$

On appelle distance entre deux réels $x$ et $y$ la valeur absolue de leur différence. La proposition 5, appliquée à $(x-y)+(y-z)$, entraîne :

$$\forall x,y,z\in \mathbb{R}\;,\quad \vert x-z\vert\leqslant \vert x-y\vert+\vert y-z\vert\;.$$

Pour aller d'un point à un autre, on ne peut qu'allonger le parcours si on s'impose de passer par un troisième : c'est l'inégalité triangulaire.

Étant donné un réel $x$ et un réel $\varepsilon$ strictement positif, nous dirons que $a$ est une approximation (ou une valeur approchée) de $x$ «à $\varepsilon$ près»  si la distance de $a$ à $x$ est inférieure à $\varepsilon$, ce qui équivaut à dire que $x$ appartient à l'intervalle $]a-\varepsilon ,a+\varepsilon [$.

$$\vert x-a\vert<\varepsilon \;\Longleftrightarrow\; x\in ]a-\var... ...\varepsilon [ \;\Longleftrightarrow\; a\in ]x-\varepsilon ,x+\varepsilon [\;.$$

Les approximations décimales se construisent à l'aide de la partie entière. La partie entière d'un réel $x$ est le plus grand entier inférieur ou égal à $x$. On le note $\lfloor x \rfloor$ :

$$\lfloor x \rfloor\leqslant x <\lfloor x \rfloor +1\;.$$

On en déduit :

$$x-1< \lfloor x \rfloor \leqslant x\;.$$

La partie entière de $\pi$ est $3$. Attention : la partie entière de $-\pi$ est $-4$, et non $-3$. On appelle partie décimale de $x$ et on note $D(x)$, la différence de $x$ avec sa partie entière.

$$D(x)=x-\lfloor x\rfloor \in [0,1[\;.$$

Soit $x$ un réel, et $n$ un entier. Considérons la partie entière de $10^nx$ :

$$\lfloor 10^nx \rfloor\leqslant 10^nx <\lfloor 10^nx \rfloor +1\;,$$

donc,

$$10^{-n}\lfloor 10^nx \rfloor \leqslant x < 10^{-n}\lfloor 10^nx \rfloor +10^{-n}\;,$$

Le nombre décimal $d_n= 10^{-n}\lfloor 10^nx \rfloor$ est l'approximation de $x$ par défaut à $10^{-n}$ près. Observez que $d_n$ et $d_{n+1}$ coïncident jusqu'à la dernière décimale de $d_n$ :

$$d_n\leqslant d_{n+1}\leqslant x < d_{n+1}+10^{-(n+1)}<d_n+10^{-n}$$

Par exemple, pour $x=\pi$,

$$d_0=3 ,\;d_1=3.1 ,;d_2=3.14 ,\;d_3=3.141 ,\;d_4=3.1415 ,\; d_5=3.14159\ldots{}$$

Réciproquement, la donnée d'une suite de décimaux $(d_n)_{n\in\mathbb{N}}$, telle que

1. $\forall n\in \mathbb{N} ,\; 10^nd_n\in \mathbb{N}$
2. $\forall n\in \mathbb{N} ,\; d_n\leqslant d_{n+1}<d_n+10^{-n}$

détermine un réel $x$ tel que pour tout $n$ $d_n\leqslant x\leqslant d_n+10^{-n}$. La suite $(d_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est croissante et converge vers $x$. Notez $(d_n)$ peut déterminer un réel dont elle n'est pas la suite d'approximations décimales, dans le cas où $x$ est lui même décimal :

$$1=0.99999999\ldots$$

En théorie, on peut approcher un réel $x$ par un nombre décimal à n'importe quelle précision. En pratique, la précision habituelle sur des calculs d'ordinateurs est de l'ordre de $10^{-15}$.