Intervalles

Définition 4 Une partie de $\mathbb{R}$ est un intervalle si, dès qu'elle contient deux réels, elle contient tous les réels intermédiaires :

$\displaystyle \forall c,d\in I ,\;\forall x\in \mathbb{R}\;,\quad (c\leqslant x\leqslant d) \;\Longrightarrow\; (x\in I)\;.$

Par exemple, $\mathbb{R}^+$ est un intervalle, car tout réel compris entre deux réels positifs est positif. Mais $\mathbb{R}^*$ n'en est pas un, car il contient

sans contenir 0. L'ensemble vide et les singletons sont des cas très particuliers d'intervalles. Nous allons utiliser $\sup$ et $\inf$ pour caractériser tous les intervalles contenant au moins deux éléments. Ils se répartissent en 9 types, décrits dans le tableau ci-dessous. Dans ce tableau,

désignent deux réels tels que


Description	Définition	Notation

fermé borné (segment)	$\{x\in\mathbb{R} ,\;a\leqslant x\leqslant b\}$
borné, semi-ouvert à droite	$\{x\in\mathbb{R} ,\;a\leqslant x< b\}$
borné, semi-ouvert à gauche	$\{x\in\mathbb{R} ,\;a<x\leqslant b\}$
ouvert borné	$\{x\in\mathbb{R} ,\;a<x< b\}$

fermé non majoré	$\{x\in\mathbb{R} ,\;a\leqslant x\}$	$[a,+\infty[$
ouvert non majoré	$\{x\in\mathbb{R} ,\;a< x\}$	$]a,+\infty[$

fermé non minoré	$\{x\in\mathbb{R} ,\; x\leqslant b\}$	$]-\infty,b]$
ouvert non minoré	$\{x\in\mathbb{R} ,\;x<b\}$	$]-\infty,b[$

droite réelle	$\mathbb{R}$	$]-\infty,+\infty[$

Voici la discussion pour les intervalles bornés. Si un intervalle

est borné et contient deux éléments, il admet une borne inférieure et une borne supérieure distinctes. Notons

$\displaystyle a = \inf(I)$ et $\displaystyle \quad b=\sup(I)\;.$

Par définition de $\sup$ et $\inf$ , tout élément

est entre

$\displaystyle \forall x\in I\;,\quad a\leqslant x\leqslant b\;.$

Nous allons montrer que tout réel

tel que

appartient à

. En effet, si

n'est ni un majorant, ni un minorant de

. Il existe donc deux éléments

tels que

. Par la définition 4,

appartient à

. Selon que

appartiennent ou non à

, on obtient les 4 premiers types du tableau.

Considérons maintenant un intervalle minoré mais non majoré. Soit la borne inférieure. Tout élément de est supérieur ou égal à . Montrons que contient tous les réels strictement supérieurs à . Comme n'est pas un minorant, contient un élément , et comme n'est pas majoré, il contient un élément . Donc appartient à . Selon que appartient ou non à , on obtient types d'intervalles non majorés. Les deux types d'intervalles non minorés sont analogues.

Enfin, si un intervalle n'est ni majoré, ni minoré, pour tout réel , on peut trouver deux réels et dans tels que , ce qui entraîne $x\in I$ . Donc $I=\mathbb{R}$ .