Intervalles

Définition 4   Une partie $I$ de $\mathbb{R}$ est un intervalle si, dès qu'elle contient deux réels, elle contient tous les réels intermédiaires :

$$\forall c,d\in I ,\;\forall x\in \mathbb{R}\;,\quad (c\leqslant x\leqslant d) \;\Longrightarrow\; (x\in I)\;.$$

Par exemple, $\mathbb{R}^+$ est un intervalle, car tout réel compris entre deux réels positifs est positif. Mais $\mathbb{R}^*$ n'en est pas un, car il contient $1$ et $-1$ sans contenir 0. L'ensemble vide et les singletons sont des cas très particuliers d'intervalles. Nous allons utiliser $\sup$ et $\inf$ pour caractériser tous les intervalles contenant au moins deux éléments. Ils se répartissent en 9 types, décrits dans le tableau ci-dessous. Dans ce tableau, $a$ et $b$ désignent deux réels tels que $a<b$.

Description	Définition	Notation
fermé borné (segment)	$\{x\in\mathbb{R} ,\;a\leqslant x\leqslant b\}$	$[a,b]$
borné, semi-ouvert à droite	$\{x\in\mathbb{R} ,\;a\leqslant x< b\}$	$[a,b[$
borné, semi-ouvert à gauche	$\{x\in\mathbb{R} ,\;a<x\leqslant b\}$	$]a,b]$
ouvert borné	$\{x\in\mathbb{R} ,\;a<x< b\}$	$]a,b[$
fermé non majoré	$\{x\in\mathbb{R} ,\;a\leqslant x\}$	$[a,+\infty[$
ouvert non majoré	$\{x\in\mathbb{R} ,\;a< x\}$	$]a,+\infty[$
fermé non minoré	$\{x\in\mathbb{R} ,\; x\leqslant b\}$	$]-\infty,b]$
ouvert non minoré	$\{x\in\mathbb{R} ,\;x<b\}$	$]-\infty,b[$
droite réelle	$\mathbb{R}$	$]-\infty,+\infty[$

Voici la discussion pour les intervalles bornés. Si un intervalle $I$ est borné et contient deux éléments, il admet une borne inférieure et une borne supérieure distinctes. Notons

$$a = \inf(I)$$   et$$\quad b=\sup(I)\;.$$

Par définition de $\sup$ et $\inf$, tout élément $x$ de $I$ est entre $a$ et $b$ :

$$\forall x\in I\;,\quad a\leqslant x\leqslant b\;.$$

Nous allons montrer que tout réel $x$ tel que $a<x<b$ appartient à $I$. En effet, si $a<x<b$, $x$ n'est ni un majorant, ni un minorant de $I$. Il existe donc deux éléments $y$ et $z$ de $I$ tels que $y< x<z$. Par la définition 4, $x$ appartient à $I$. Selon que $a$ et $b$ appartiennent ou non à $I$, on obtient les 4 premiers types du tableau.

Considérons maintenant un intervalle minoré mais non majoré. Soit $a$ la borne inférieure. Tout élément de $I$ est supérieur ou égal à $a$. Montrons que $I$ contient tous les réels $x$ strictement supérieurs à $a$. Comme $x$ n'est pas un minorant, $I$ contient un élément $y<x$, et comme $I$ n'est pas majoré, il contient un élément $z>x$. Donc $x$ appartient à $I$. Selon que $a$ appartient ou non à $I$, on obtient $2$ types d'intervalles non majorés. Les deux types d'intervalles non minorés sont analogues.

Enfin, si un intervalle $I$ n'est ni majoré, ni minoré, pour tout réel $x$, on peut trouver deux réels $y$ et $z$ dans $I$ tels que $y< x<z$, ce qui entraîne $x\in I$. Donc $I=\mathbb{R}$.