Bornes

Définition 1   Soit $A$ une partie de $\mathbb{R}$ et $M$ un réel. On dit que $M$ est un majorant de $A$ si :

$$\forall x\in A\;,\quad x\leqslant M\;.$$

De même, $m\in \mathbb{R}$ est un minorant de $A$ si :

$$\forall x\in A\;,\quad m\leqslant x\;.$$

On dit qu'un ensemble de réels $A$ admet un plus grand élément (respectivement plus petit élément) s'il existe $x\in A$ tel que pour tout $y\in A$, $y\leqslant x$ (respectivement : $y \geqslant x$). Donc le plus grand élément (s'il existe il est nécessairement unique) est à la fois un majorant de $A$ et un élément de $A$. Le fait que l'ordre sur $\mathbb{R}$ soit total entraîne que tout ensemble fini de réels admet un plus petit élément et un plus grand élément. Si $\{a_1,\ldots,a_n\}$ est un ensemble fini de réels, nous noterons $\min\{a_1,\ldots,a_n\}$ le plus petit et $\max\{a_1,\ldots,a_n\}$ le plus grand élément. Nous réserverons les notations $\min$ et $\max$ aux ensembles finis. Un ensemble infini de réels n'admet pas nécessairement de plus petit ou de plus grand élément. Voici quelques exemples.

Ensemble	Plus petit élément	Plus grand élément
$\mathbb{N}$	0	Non
$\mathbb{Z}$	Non	Non
$\{1/n ,\;n\in\mathbb{N}^*\}$	Non	$1$
$\{(-1)^n(1-1/n) ,\;n\in\mathbb{N}^*\}$	Non	Non
$\{(-1)^n(1+1/n) ,\;n\in\mathbb{N}^*\}$	$-2$	$3/2$
$\{(-1)^n+1/n ,\;n\in\mathbb{N}^*\}$	Non	$3/2$
$\{(-1)^n-1/n ,\;n\in\mathbb{N}^*\}$	$-2$	Non

Non seulement $\mathbb{N}$ n'a pas de plus grand élément mais de plus aucun réel n'est plus grand que tous les éléments de $\mathbb{N}$. Par contre, les 5 derniers ensembles du tableau ci-dessus sont bornés au sens suivant.

Définition 2   Soit $A$ une partie de $\mathbb{R}$ (un ensemble de réels). On dit que $A$ est :

$\bullet$

majorée s'il existe un majorant de $A$,

$\bullet$

minorée s'il existe un minorant de $A$,

$\bullet$

bornée si $A$ est à la fois majorée et minorée.

Si $M$ est un majorant de $A$, alors $M+1$, $M+2$ et plus généralement tout réel plus grand que $M$ sont aussi des majorants. Nous admettrons pour l'instant le théorème suivant, dont nous donnerons une démonstration dans la section 1.6.

Théorème 1   Soit $A$ une partie non vide de $\mathbb{R}$.

1. Si $A$ est majorée, alors l'ensemble des majorants de $A$ admet un plus petit élément.
2. Si $A$ est minorée, alors l'ensemble des minorants de $A$ admet un plus grand élément.

Définition 3   Soit $A$ une partie non vide de $\mathbb{R}$.

1. Si $A$ est majorée, on appelle borne supérieure de $A$ et on note $\sup(A)$ le plus petit des majorants de $A$.
2. Si $A$ est minorée, on appelle borne inférieure de $A$ et on note $\inf(A)$ le plus grand des minorants de $A$.

Du fait que l'ordre des réels est total, la borne supérieure et la borne inférieure, si elles existent, sont nécessairement uniques. Lorsque $A$ admet un plus grand élément, la borne supérieure de $A$ est ce plus grand élément. Lorsque $A$ admet un plus petit élément, la borne inférieure de $A$ est ce plus petit élément. On étend la définition de $\sup$ et $\inf$ aux ensembles non majorés et non minorés par la convention suivante.

1. Si $A$ n'est pas majorée, $\sup(A) = +\infty$
2. Si $A$ n'est pas minorée, $\inf(A) = -\infty$

Reprenons comme exemples les 6 ensembles du tableau précédent.

Ensemble	Borne inférieure	Borne supérieure
$\mathbb{N}$	0	$+\infty$
$\mathbb{Z}$	$-\infty$	$+\infty$
$\{1/n ,\;n\in\mathbb{N}^*\}$	0	$1$
$\{(-1)^n(1-1/n) ,\;n\in\mathbb{N}^*\}$	$-1$	$1$
$\{(-1)^n(1+1/n) ,\;n\in\mathbb{N}^*\}$	$-2$	$3/2$
$\{(-1)^n+1/n ,\;n\in\mathbb{N}^*\}$	$-1$	$3/2$
$\{(-1)^n-1/n ,\;n\in\mathbb{N}^*\}$	$-2$	$1$

Dans le cas où $A$ est majorée et n'admet pas de plus grand élément, alors $\sup(A)$ n'appartient pas à $A$, mais on trouve néanmoins des éléments de $A$ arbitrairement proches de la borne supérieure.

Proposition 1   Soit $A$ une partie non vide de $\mathbb{R}$.

1. Si $A$ est majorée, alors
   $$\forall\varepsilon >0 ,\;\exists a\in A\;,\quad \sup(A) - \varepsilon \leqslant a \leqslant \sup(A)$$

2. Si $A$ est minorée, alors
   $$\forall\varepsilon >0 ,\;\exists a\in A\;,\quad \inf(A) \leqslant a \leqslant \inf(A) +\varepsilon$$

Démonstration : Comme $\sup(A)$ est le plus petit des majorants, $\sup(A)-\varepsilon$ ne peut pas être un majorant. Il existe donc un élément de $A$ supérieur à $\sup(A)-\varepsilon$. Comme $\sup(A)$ est un majorant, cet élément est inférieur à $\sup(A)$. Le raisonnement pour $\inf(A)$ est analogue.$\square$

Nous allons souvent rencontrer dans ce cours des réels $\varepsilon$ strictement positifs arbitrairement petits. On peut s'en faire une idée concrète en pensant $\varepsilon =0.001$, ou bien $\varepsilon =10^{-6}$. Prenons comme exemple $A= \{ 1/n^2 ,\;n\in \mathbb{N}^*\}$. La borne inférieure est $\inf(A)=0$. La proposition 1 permet d'affirmer que pour tout $\varepsilon >0$, il existe un élément de l'ensemble inférieur à $\varepsilon$. Et d'ailleurs l'équivalence ci-dessous permet de l'exhiber.

$$1/n^2\leqslant \varepsilon \;\Longleftrightarrow\; n\geqslant \sqrt{1/\varepsilon }\;.$$

Pour $\varepsilon =0.001$, $1/40^2<\varepsilon$. La proposition 1 admet la réciproque suivante.

Proposition 2   Soit $A$ une partie non vide de $\mathbb{R}$.

1. Si $x$ est un majorant de $A$ tel que
   $$\forall\varepsilon >0 ,\;\exists a\in A\;,\quad x - \varepsilon \leqslant a\;,$$
   alors $x=\sup(A)$.
2. Si $x$ est un minorant de $A$ tel que
   $$\forall\varepsilon >0 ,\;\exists a\in A\;,\quad a \leqslant x+\varepsilon \;,$$
   alors $x=\inf(A)$.

Démonstration : Si

$$\forall\varepsilon >0 ,\;\exists a\in A\;,\quad x - \varepsilon \leqslant a\;,$$

alors pour tout $\varepsilon >0$, $x-\varepsilon$ n'est pas un majorant de $A$, donc si $x$ est un majorant, c'est bien le plus petit. Le raisonnement pour $\inf(A)$ est analogue.$\square$ La borne supérieure peut donc être caractérisée de deux manières différentes.

$\bullet$

$\sup(A)$ est le plus petit des majorants de $A$

$\bullet$

$\sup(A)$ est le seul majorant $x$ de $A$ tel que pour tout $\varepsilon >0$, il existe un élément de $A$ entre $x-\varepsilon$ et $x$.

De manière analogue,

$\bullet$

$\inf(A)$ est le plus grand des minorants de $A$

$\bullet$

$\inf(A)$ est le seul minorant $x$ de $A$ tel que pour tout $\varepsilon >0$, il existe un élément de $A$ entre $x$ et $x+\varepsilon$.

En liaison avec la proposition précédente, voici pour terminer cette section une application simple des notions de borne supérieure et inférieure, que l'on retrouve dans beaucoup de démonstrations.

Proposition 3   Soient $a$ et $b$ deux réels.

1. Si pour tout $\varepsilon >0$, $a\geqslant b-\varepsilon$ alors $a\geqslant b$.
2. Si pour tout $\varepsilon >0$, $a\leqslant b+\varepsilon$ alors $a\leqslant b$.

Démonstration : Considérons la première affirmation. l'ensemble $\{b-\varepsilon ,\;\varepsilon >0\}$ a pour borne supérieure $b$. L'hypothèse affirme que $a$ est un majorant de cet ensemble. Il est donc supérieur ou égal à la borne supérieure, par définition de celle-ci. Or d'après la proposition 2, la borne supérieure de $\{b-\varepsilon ,\;\varepsilon >0\}$ est $b$. La seconde affirmation est analogue. $\square$

L'ensemble $\{b-\varepsilon ,\;\varepsilon >0\}$ de la démonstration précédente est un intervalle de $\mathbb{R}$. Nous les décrivons dans la section suivante.