Bornes

Définition 1   Soit $ A$ une partie de $ \mathbb{R}$ et $ M$ un réel. On dit que $ M$ est un majorant de $ A$ si :

$\displaystyle \forall x\in A\;,\quad x\leqslant M\;.
$

De même, $ m\in \mathbb{R}$ est un minorant de $ A$ si :

$\displaystyle \forall x\in A\;,\quad m\leqslant x\;.
$

On dit qu'un ensemble de réels $ A$ admet un plus grand élément (respectivement plus petit élément) s'il existe $ x\in A$ tel que pour tout $ y\in A$, $ y\leqslant x$ (respectivement : $ y \geqslant x$). Donc le plus grand élément (s'il existe il est nécessairement unique) est à la fois un majorant de $ A$ et un élément de $ A$. Le fait que l'ordre sur $ \mathbb{R}$ soit total entraîne que tout ensemble fini de réels admet un plus petit élément et un plus grand élément. Si $ \{a_1,\ldots,a_n\}$ est un ensemble fini de réels, nous noterons $ \min\{a_1,\ldots,a_n\}$ le plus petit et $ \max\{a_1,\ldots,a_n\}$ le plus grand élément. Nous réserverons les notations $ \min$ et $ \max$ aux ensembles finis. Un ensemble infini de réels n'admet pas nécessairement de plus petit ou de plus grand élément. Voici quelques exemples.
Ensemble Plus petit élément Plus grand élément
$ \mathbb{N}$ 0 Non
$ \mathbb{Z}$ Non Non
$ \{1/n ,\;n\in\mathbb{N}^*\}$ Non $ 1$
$ \{(-1)^n(1-1/n) ,\;n\in\mathbb{N}^*\}$ Non Non
$ \{(-1)^n(1+1/n) ,\;n\in\mathbb{N}^*\}$ $ -2$ $ 3/2$
$ \{(-1)^n+1/n ,\;n\in\mathbb{N}^*\}$ Non $ 3/2$
$ \{(-1)^n-1/n ,\;n\in\mathbb{N}^*\}$ $ -2$ Non
Non seulement $ \mathbb{N}$ n'a pas de plus grand élément mais de plus aucun réel n'est plus grand que tous les éléments de $ \mathbb{N}$. Par contre, les 5 derniers ensembles du tableau ci-dessus sont bornés au sens suivant.

Définition 2   Soit $ A$ une partie de $ \mathbb{R}$ (un ensemble de réels). On dit que $ A$ est :
$ \bullet$
majorée s'il existe un majorant de $ A$,
$ \bullet$
minorée s'il existe un minorant de $ A$,
$ \bullet$
bornée si $ A$ est à la fois majorée et minorée.

Si $ M$ est un majorant de $ A$, alors $ M+1$, $ M+2$ et plus généralement tout réel plus grand que $ M$ sont aussi des majorants. Nous admettrons pour l'instant le théorème suivant, dont nous donnerons une démonstration dans la section 1.6.

Théorème 1   Soit $ A$ une partie non vide de $ \mathbb{R}$.
  1. Si $ A$ est majorée, alors l'ensemble des majorants de $ A$ admet un plus petit élément.
  2. Si $ A$ est minorée, alors l'ensemble des minorants de $ A$ admet un plus grand élément.

Définition 3   Soit $ A$ une partie non vide de $ \mathbb{R}$.
  1. Si $ A$ est majorée, on appelle borne supérieure de $ A$ et on note $ \sup(A)$ le plus petit des majorants de $ A$.
  2. Si $ A$ est minorée, on appelle borne inférieure de $ A$ et on note $ \inf(A)$ le plus grand des minorants de $ A$.

Du fait que l'ordre des réels est total, la borne supérieure et la borne inférieure, si elles existent, sont nécessairement uniques. Lorsque $ A$ admet un plus grand élément, la borne supérieure de $ A$ est ce plus grand élément. Lorsque $ A$ admet un plus petit élément, la borne inférieure de $ A$ est ce plus petit élément. On étend la définition de $ \sup$ et $ \inf$ aux ensembles non majorés et non minorés par la convention suivante.
  1. Si $ A$ n'est pas majorée, $ \sup(A) = +\infty$
  2. Si $ A$ n'est pas minorée, $ \inf(A) = -\infty$
Reprenons comme exemples les 6 ensembles du tableau précédent.
Ensemble Borne inférieure Borne supérieure
$ \mathbb{N}$ 0 $ +\infty$
$ \mathbb{Z}$ $ -\infty$ $ +\infty$
$ \{1/n ,\;n\in\mathbb{N}^*\}$ 0 $ 1$
$ \{(-1)^n(1-1/n) ,\;n\in\mathbb{N}^*\}$ $ -1$ $ 1$
$ \{(-1)^n(1+1/n) ,\;n\in\mathbb{N}^*\}$ $ -2$ $ 3/2$
$ \{(-1)^n+1/n ,\;n\in\mathbb{N}^*\}$ $ -1$ $ 3/2$
$ \{(-1)^n-1/n ,\;n\in\mathbb{N}^*\}$ $ -2$ $ 1$
Dans le cas où $ A$ est majorée et n'admet pas de plus grand élément, alors $ \sup(A)$ n'appartient pas à $ A$, mais on trouve néanmoins des éléments de $ A$ arbitrairement proches de la borne supérieure.

Proposition 1   Soit $ A$ une partie non vide de $ \mathbb{R}$.
  1. Si $ A$ est majorée, alors

    $\displaystyle \forall\varepsilon >0 ,\;\exists a\in A\;,\quad
\sup(A) - \varepsilon \leqslant a \leqslant \sup(A)
$

  2. Si $ A$ est minorée, alors

    $\displaystyle \forall\varepsilon >0 ,\;\exists a\in A\;,\quad
\inf(A) \leqslant a \leqslant \inf(A) +\varepsilon
$

Démonstration : Comme $ \sup(A)$ est le plus petit des majorants, $ \sup(A)-\varepsilon $ ne peut pas être un majorant. Il existe donc un élément de $ A$ supérieur à $ \sup(A)-\varepsilon $. Comme $ \sup(A)$ est un majorant, cet élément est inférieur à $ \sup(A)$. Le raisonnement pour $ \inf(A)$ est analogue.$ \square$

Nous allons souvent rencontrer dans ce cours des réels $ \varepsilon $ strictement positifs arbitrairement petits. On peut s'en faire une idée concrète en pensant $ \varepsilon =0.001$, ou bien $ \varepsilon =10^{-6}$. Prenons comme exemple $ A=
\{ 1/n^2 ,\;n\in \mathbb{N}^*\}$. La borne inférieure est $ \inf(A)=0$. La proposition 1 permet d'affirmer que pour tout $ \varepsilon >0$, il existe un élément de l'ensemble inférieur à $ \varepsilon $. Et d'ailleurs l'équivalence ci-dessous permet de l'exhiber.

$\displaystyle 1/n^2\leqslant \varepsilon \;\Longleftrightarrow\;
n\geqslant \sqrt{1/\varepsilon }\;.
$

Pour $ \varepsilon =0.001$, $ 1/40^2<\varepsilon $. La proposition 1 admet la réciproque suivante.

Proposition 2   Soit $ A$ une partie non vide de $ \mathbb{R}$.
  1. Si $ x$ est un majorant de $ A$ tel que

    $\displaystyle \forall\varepsilon >0 ,\;\exists a\in A\;,\quad
x - \varepsilon \leqslant a\;,
$

    alors $ x=\sup(A)$.
  2. Si $ x$ est un minorant de $ A$ tel que

    $\displaystyle \forall\varepsilon >0 ,\;\exists a\in A\;,\quad
a \leqslant x+\varepsilon \;,
$

    alors $ x=\inf(A)$.

Démonstration : Si

$\displaystyle \forall\varepsilon >0 ,\;\exists a\in A\;,\quad
x - \varepsilon \leqslant a\;,
$

alors pour tout $ \varepsilon >0$, $ x-\varepsilon $ n'est pas un majorant de $ A$, donc si $ x$ est un majorant, c'est bien le plus petit. Le raisonnement pour $ \inf(A)$ est analogue.$ \square$ La borne supérieure peut donc être caractérisée de deux manières différentes.
$ \bullet$
$ \sup(A)$ est le plus petit des majorants de $ A$
$ \bullet$
$ \sup(A)$ est le seul majorant $ x$ de $ A$ tel que pour tout $ \varepsilon >0$, il existe un élément de $ A$ entre $ x-\varepsilon $ et $ x$.
De manière analogue,
$ \bullet$
$ \inf(A)$ est le plus grand des minorants de $ A$
$ \bullet$
$ \inf(A)$ est le seul minorant $ x$ de $ A$ tel que pour tout $ \varepsilon >0$, il existe un élément de $ A$ entre $ x$ et $ x+\varepsilon $.
En liaison avec la proposition précédente, voici pour terminer cette section une application simple des notions de borne supérieure et inférieure, que l'on retrouve dans beaucoup de démonstrations.

Proposition 3   Soient $ a$ et $ b$ deux réels.
  1. Si pour tout $ \varepsilon >0$, $ a\geqslant b-\varepsilon $ alors $ a\geqslant b$.
  2. Si pour tout $ \varepsilon >0$, $ a\leqslant b+\varepsilon $ alors $ a\leqslant b$.

Démonstration : Considérons la première affirmation. l'ensemble $ \{b-\varepsilon  ,\;\varepsilon >0\}$ a pour borne supérieure $ b$. L'hypothèse affirme que $ a$ est un majorant de cet ensemble. Il est donc supérieur ou égal à la borne supérieure, par définition de celle-ci. Or d'après la proposition 2, la borne supérieure de $ \{b-\varepsilon  ,\;\varepsilon >0\}$ est $ b$. La seconde affirmation est analogue. $ \square$

L'ensemble $ \{b-\varepsilon  ,\;\varepsilon >0\}$ de la démonstration précédente est un intervalle de $ \mathbb{R}$. Nous les décrivons dans la section suivante.


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