Bornes

Définition 1 Soit une partie de $\mathbb{R}$ et un réel. On dit que est un majorant de si :

$\displaystyle \forall x\in A\;,\quad x\leqslant M\;.$

De même, $m\in \mathbb{R}$ est un minorant de si :

$\displaystyle \forall x\in A\;,\quad m\leqslant x\;.$

On dit qu'un ensemble de réels

admet un plus grand élément (respectivement plus petit élément) s'il existe $x\in A$ tel que pour tout $y\in A$ , $y\leqslant x$ (respectivement : $y \geqslant x$ ). Donc le plus grand élément (s'il existe il est nécessairement unique) est à la fois un majorant de

et un élément de

. Le fait que l'ordre sur $\mathbb{R}$ soit total entraîne que tout ensemble fini de réels admet un plus petit élément et un plus grand élément. Si $\{a_1,\ldots,a_n\}$ est un ensemble fini de réels, nous noterons $\min\{a_1,\ldots,a_n\}$ le plus petit et $\max\{a_1,\ldots,a_n\}$ le plus grand élément. Nous réserverons les notations $\min$ et $\max$ aux ensembles finis. Un ensemble infini de réels n'admet pas nécessairement de plus petit ou de plus grand élément. Voici quelques exemples.

Ensemble	Plus petit élément	Plus grand élément
$\mathbb{N}$	0	Non
$\mathbb{Z}$	Non	Non
$\{1/n ,\;n\in\mathbb{N}^*\}$	Non
$\{(-1)^n(1-1/n) ,\;n\in\mathbb{N}^*\}$	Non	Non
$\{(-1)^n(1+1/n) ,\;n\in\mathbb{N}^*\}$
$\{(-1)^n+1/n ,\;n\in\mathbb{N}^*\}$	Non
$\{(-1)^n-1/n ,\;n\in\mathbb{N}^*\}$		Non

Non seulement $\mathbb{N}$ n'a pas de plus grand élément mais de plus aucun réel n'est plus grand que tous les éléments de $\mathbb{N}$ . Par contre, les 5 derniers ensembles du tableau ci-dessus sont bornés au sens suivant.

Définition 2 Soit une partie de $\mathbb{R}$ (un ensemble de réels). On dit que est :

$\bullet$: majorée s'il existe un majorant de ,
$\bullet$: minorée s'il existe un minorant de ,
$\bullet$: bornée si est à la fois majorée et minorée.

est un majorant de

, alors

et plus généralement tout réel plus grand que

sont aussi des majorants. Nous admettrons pour l'instant le théorème suivant, dont nous donnerons une démonstration dans la section 1.6.

Théorème 1 Soit une partie non vide de $\mathbb{R}$ .

Si est majorée, alors l'ensemble des majorants de admet un plus petit élément.
Si est minorée, alors l'ensemble des minorants de admet un plus grand élément.

Définition 3 Soit une partie non vide de $\mathbb{R}$ .

Si est majorée, on appelle borne supérieure de et on note $\sup(A)$ le plus petit des majorants de .
Si est minorée, on appelle borne inférieure de et on note $\inf(A)$ le plus grand des minorants de .

Du fait que l'ordre des réels est total, la borne supérieure et la borne inférieure, si elles existent, sont nécessairement uniques. Lorsque

admet un plus grand élément, la borne supérieure de

est ce plus grand élément. Lorsque

admet un plus petit élément, la borne inférieure de

est ce plus petit élément. On étend la définition de $\sup$ et $\inf$ aux ensembles non majorés et non minorés par la convention suivante.

Si n'est pas majorée, $\sup(A) = +\infty$
Si n'est pas minorée, $\inf(A) = -\infty$

Reprenons comme exemples les 6 ensembles du tableau précédent.

Ensemble	Borne inférieure	Borne supérieure
$\mathbb{N}$	0	$+\infty$
$\mathbb{Z}$	$-\infty$	$+\infty$
$\{1/n ,\;n\in\mathbb{N}^*\}$	0
$\{(-1)^n(1-1/n) ,\;n\in\mathbb{N}^*\}$
$\{(-1)^n(1+1/n) ,\;n\in\mathbb{N}^*\}$
$\{(-1)^n+1/n ,\;n\in\mathbb{N}^*\}$
$\{(-1)^n-1/n ,\;n\in\mathbb{N}^*\}$

Dans le cas où

est majorée et n'admet pas de plus grand élément, alors $\sup(A)$ n'appartient pas à

, mais on trouve néanmoins des éléments de

arbitrairement proches de la borne supérieure.

Proposition 1 Soit une partie non vide de $\mathbb{R}$ .

Si est majorée, alors

$\displaystyle \forall\varepsilon >0 ,\;\exists a\in A\;,\quad \sup(A) - \varepsilon \leqslant a \leqslant \sup(A)$
Si est minorée, alors

$\displaystyle \forall\varepsilon >0 ,\;\exists a\in A\;,\quad \inf(A) \leqslant a \leqslant \inf(A) +\varepsilon$

Démonstration : Comme $\sup(A)$ est le plus petit des majorants, $\sup(A)-\varepsilon$ ne peut pas être un majorant. Il existe donc un élément de

supérieur à $\sup(A)-\varepsilon$ . Comme $\sup(A)$ est un majorant, cet élément est inférieur à $\sup(A)$ . Le raisonnement pour $\inf(A)$ est analogue. $\square$

Nous allons souvent rencontrer dans ce cours des réels $\varepsilon$ strictement positifs arbitrairement petits. On peut s'en faire une idée concrète en pensant $\varepsilon =0.001$ , ou bien $\varepsilon =10^{-6}$ . Prenons comme exemple $A= \{ 1/n^2 ,\;n\in \mathbb{N}^*\}$ . La borne inférieure est $\inf(A)=0$ . La proposition 1 permet d'affirmer que pour tout $\varepsilon >0$ , il existe un élément de l'ensemble inférieur à $\varepsilon$ . Et d'ailleurs l'équivalence ci-dessous permet de l'exhiber.

$\displaystyle 1/n^2\leqslant \varepsilon \;\Longleftrightarrow\; n\geqslant \sqrt{1/\varepsilon }\;.$

Pour $\varepsilon =0.001$ , $1/40^2<\varepsilon$ . La proposition 1 admet la réciproque suivante.

Proposition 2 Soit une partie non vide de $\mathbb{R}$ .

Si est un majorant de tel que

$\displaystyle \forall\varepsilon >0 ,\;\exists a\in A\;,\quad x - \varepsilon \leqslant a\;,$
alors $x=\sup(A)$ .
Si est un minorant de tel que

$\displaystyle \forall\varepsilon >0 ,\;\exists a\in A\;,\quad a \leqslant x+\varepsilon \;,$
alors $x=\inf(A)$ .

Démonstration : Si

$\displaystyle \forall\varepsilon >0 ,\;\exists a\in A\;,\quad x - \varepsilon \leqslant a\;,$

alors pour tout $\varepsilon >0$ , $x-\varepsilon$ n'est pas un majorant de

, donc si

est un majorant, c'est bien le plus petit. Le raisonnement pour $\inf(A)$ est analogue. $\square$ La borne supérieure peut donc être caractérisée de deux manières différentes.

$\bullet$: $\sup(A)$ est le plus petit des majorants de
$\bullet$: $\sup(A)$ est le seul majorant de tel que pour tout $\varepsilon >0$ , il existe un élément de entre $x-\varepsilon$ et .

De manière analogue,

$\bullet$: $\inf(A)$ est le plus grand des minorants de
$\bullet$: $\inf(A)$ est le seul minorant de tel que pour tout $\varepsilon >0$ , il existe un élément de entre et $x+\varepsilon$ .

En liaison avec la proposition précédente, voici pour terminer cette section une application simple des notions de borne supérieure et inférieure, que l'on retrouve dans beaucoup de démonstrations.

Proposition 3 Soient et deux réels.

Si pour tout $\varepsilon >0$ , $a\geqslant b-\varepsilon$ alors $a\geqslant b$ .
Si pour tout $\varepsilon >0$ , $a\leqslant b+\varepsilon$ alors $a\leqslant b$ .

Démonstration : Considérons la première affirmation. l'ensemble $\{b-\varepsilon ,\;\varepsilon >0\}$ a pour borne supérieure

. L'hypothèse affirme que

est un majorant de cet ensemble. Il est donc supérieur ou égal à la borne supérieure, par définition de celle-ci. Or d'après la proposition 2, la borne supérieure de $\{b-\varepsilon ,\;\varepsilon >0\}$ est

. La seconde affirmation est analogue. $\square$

L'ensemble $\{b-\varepsilon ,\;\varepsilon >0\}$ de la démonstration précédente est un intervalle de $\mathbb{R}$ . Nous les décrivons dans la section suivante.