Opérations

Nous ne présenterons pas de construction axiomatique de l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels. Cette section rappelle quelques notations, les propriétés des opérations (addition, multiplication) et de la relation d'ordre.

Nous utilisons les notations classiques suivantes pour les ensembles emboîtés de nombres $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}$.

Notation	Ensemble	Exemples
$\mathbb{N}$	Entiers naturels	$0,1,2,3,\ldots$
$\mathbb{Z}$	Entiers relatifs	$-2,-1,0,1,2,\ldots$
$\mathbb{Q}$	Rationnels	$1.2, 1/2, 0.0012,\frac{355}{113},\ldots$
$\mathbb{R}$	Réels	$\sqrt{2}, \pi, \mathrm{e},\ldots$
$\mathbb{C}$	Complexes	$1+2\mathrm{i}, 1+\mathrm{i}\sqrt{3}, 2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3},\ldots$

L'exposant $^*$ signifie «privé de 0». Ainsi, $\mathbb{R}^* = \mathbb{R}\setminus \{0\}$, $\mathbb{N}^*=\{1,2,3,\ldots\}$. Pour les calculs usuels (à la main, sur les calculettes ou par ordinateur), ce sont forcément des nombres décimaux, donc rationnels, que l'on manipule. Pourtant l'ensemble $\mathbb{Q}$ n'est pas un cadre de calcul mathématiquement suffisant, pour plusieurs raisons, qui seront énoncées dans la suite de ce chapitre. La première, reconnue dès l'antiquité grecque, est que certaines quantités, qui pourtant apparaissent couramment en géométrie élémentaire, ne s'expriment pas comme rapports d'entiers. La plus simple est la diagonale d'un carré de côté $1$, à savoir $\sqrt{2}$ : nous verrons plus loin que $\sqrt{2}$ n'est pas un nombre rationnel; $\sqrt[3]{5}$, $\pi$, ou $\mathrm{e}$ n'en sont pas non plus.

Les propriétés de l'addition, de la multiplication et de la relation d'ordre sont rappelées ci-dessous.

Addition

$\bullet$

Associativité : $\quad\forall x,y,z\in\mathbb{R}\;,\quad x+(y+z)=(x+y)+z$

$\bullet$

Élément neutre : $\quad\forall x\in \mathbb{R}\;,\quad x+0=0+x=x$

$\bullet$

Opposé : $\quad\forall x\in\mathbb{R}\;,\quad x+(-x)=x-x=0$

$\bullet$

Commutativité : $\quad\forall x,y\in\mathbb{R}\;,\quad x+y=y+x$

L'ensemble des réels muni de l'addition est un groupe commutatif.

Multiplication L'ensemble $\mathbb{R}^*$ (ensemble des réels privé de 0), muni de la multiplication, est un autre groupe commutatif.

$\bullet$

Associativité : $\quad\forall x,y,z\in\mathbb{R}\;,\quad x(yz)=(xy)z$

$\bullet$

Élément neutre : $\quad\forall x\in \mathbb{R}\;,\quad x 1=1 x=x$

$\bullet$

Inverse : $\quad\forall x\in\mathbb{R}^*\;,\quad x (1/x)=(1/x) x=1$

$\bullet$

Commutativité : $\quad\forall x,y\in\mathbb{R}\;,\quad xy=yx$

$\bullet$

Distributivité : $\quad\forall x,y,z\in\mathbb{R}\;,\quad x(y+z)=(xy)+(xz)$

L'ensemble des réels muni de l'addition et de la multiplication est un corps commutatif. Relation d'ordre

$\bullet$

Réflexivité : $\quad\forall x\in \mathbb{R}\;,\quad x\leqslant x$

$\bullet$

Transitivité : $\quad\forall x,y,z\in\mathbb{R}\;,\quad (x\leqslant y$    et $y\leqslant z) \Longrightarrow x\leqslant z$

$\bullet$

Antisymétrie : $\quad\forall x,y\in \mathbb{R}\;,\quad (x\leqslant y$    et $y\leqslant x) \Longrightarrow x=y$

$\bullet$

Ordre total : $\quad\forall x,y\in \mathbb{R}\;,\quad x\leqslant y$    ou $y\leqslant x$

Les trois premières propriétés définissent une relation d'ordre. Ici l'ordre est total car deux réels quelconques peuvent toujours être comparés.

Pour des raisons de commodité, on utilise aussi couramment les notations $\geqslant, <, >$ :

Notation	Définition
$x\geqslant y$	$y\leqslant x$
$x<y$	$x\leqslant y$ et $x\neq y$
$x>y$	$x\geqslant y$ et $x\neq y$

On utilise aussi les ensembles de réels notés $\mathbb{R}^+$, $\mathbb{R}^-$, $\mathbb{R}^{+*}$ et $\mathbb{R}^{-*}$.

Ensemble	Définition	Notation
Réels positifs ou nuls	$\{x\in\mathbb{R}\;,\quad x\geqslant 0\}$	$\mathbb{R}^+$
Réels strictement positifs	$\{x\in\mathbb{R}\;,\quad x> 0\}$	$\mathbb{R}^{+*}$
Réels négatifs ou nuls	$\{x\in\mathbb{R}\;,\quad x\leqslant 0\}$	$\mathbb{R}^-$
Réels strictement négatifs	$\{x\in\mathbb{R}\;,\quad x< 0\}$	$\mathbb{R}^{-*}$

La relation d'ordre est compatible avec l'addition par un réel quelconque, et avec la multiplication entre réels positifs.

$\bullet$

$\quad\forall x,y,z\in\mathbb{R}\;,\quad x\leqslant y \Longrightarrow x+z\leqslant y+z$

$\bullet$

$\quad\forall x,y,z\in\mathbb{R}\;,\quad x< y \Longrightarrow x+z< y+z$

$\bullet$

$\quad\forall x,y\in\mathbb{R} ,\; \forall z\in\mathbb{R}^{+}\;,\quad x\leqslant y \Longrightarrow x z\leqslant y z$

$\bullet$

$\quad\forall x,y\in\mathbb{R}^{+*} ,\; \forall z\in\mathbb{R}^{+*}\;,\quad x< y \Longrightarrow x z< y z$

Comme conséquence de ces relations de compatibilité, on obtient les règles suivantes qui permettent de combiner des inégalités.

$$\forall x,y,z,t\in \mathbb{R}\;,\quad (x\leqslant y$$    et $$z\leqslant t) \Longrightarrow x+z\leqslant y+t$$

On peut donc ajouter deux inégalités de même sens (attention : on ne peut pas ajouter deux inégalités de sens opposés ni soustraire deux inégalités de même sens).

$$\forall x,y\in \mathbb{R} ,\; \forall z,t\in \mathbb{R}^+\;,\quad (x\leqslant y$$    et $$z\leqslant t) \Longrightarrow x z\leqslant y t$$

On peut multiplier deux inégalités de même sens, si elles concernent des réels positifs ou nuls. (attention : on ne peut pas mutiplier deux inégalités de sens opposés, ni diviser des inégalités de même sens, ni multiplier des inégalités qui concernent des réels négatifs). Pour se ramener à des inégalités de même sens, ou à des réels positifs, il peut être utile de changer de signe ou de passer à l'inverse.

$\bullet$

$\quad\forall x,y\in \mathbb{R}\;,\quad (x\leqslant y) \Longrightarrow (-x\geqslant -y)$

$\bullet$

$\quad\forall x,y\in \mathbb{R}^{+*}\;,\quad (x\leqslant y)\Longrightarrow (1/x \geqslant 1/y)$